Theorem smoiun 6400

Description: The value of a strictly monotone ordinal function contains its indexed union. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoiun	|- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> U_ x e. A ( B ` x ) C_ ( B ` A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem smoiun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3937	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B ` x ) <-> E. x e. A y e. ( B ` x ) )
2		smofvon 6398	. . . . 5 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( B ` A ) e. On )
3		smoel 6399	. . . . . 6 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ x e. A ) -> ( B ` x ) e. ( B ` A ) )
4	3	3expia 1208	. . . . 5 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( x e. A -> ( B ` x ) e. ( B ` A ) ) )
5		ontr1 4444	. . . . . 6 |- ( ( B ` A ) e. On -> ( ( y e. ( B ` x ) /\ ( B ` x ) e. ( B ` A ) ) -> y e. ( B ` A ) ) )
6	5	expcomd 1462	. . . . 5 |- ( ( B ` A ) e. On -> ( ( B ` x ) e. ( B ` A ) -> ( y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) ) )
7	2, 4, 6	sylsyld 58	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( x e. A -> ( y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) ) )
8	7	rexlimdv 2623	. . 3 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( E. x e. A y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) )
9	1, 8	biimtrid 152	. 2 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( y e. U_ x e. A ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) )
10	9	ssrdv 3203	1 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> U_ x e. A ( B ` x ) C_ ( B ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2177   E.wrex 2486   C_ wss 3170   U_ciun 3933   Oncon0 4418   dom cdm 4683   ` cfv 5280   Smo wsmo 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-smo 6385

This theorem is referenced by: (None)