Theorem smoiun 6080

Description: The value of a strictly monotone ordinal function contains its indexed union. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoiun	|- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> U_ x e. A ( B ` x ) C_ ( B ` A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem smoiun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3740	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B ` x ) <-> E. x e. A y e. ( B ` x ) )
2		smofvon 6078	. . . . 5 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( B ` A ) e. On )
3		smoel 6079	. . . . . 6 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ x e. A ) -> ( B ` x ) e. ( B ` A ) )
4	3	3expia 1146	. . . . 5 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( x e. A -> ( B ` x ) e. ( B ` A ) ) )
5		ontr1 4225	. . . . . 6 |- ( ( B ` A ) e. On -> ( ( y e. ( B ` x ) /\ ( B ` x ) e. ( B ` A ) ) -> y e. ( B ` A ) ) )
6	5	expcomd 1376	. . . . 5 |- ( ( B ` A ) e. On -> ( ( B ` x ) e. ( B ` A ) -> ( y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) ) )
7	2, 4, 6	sylsyld 58	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( x e. A -> ( y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) ) )
8	7	rexlimdv 2489	. . 3 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( E. x e. A y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) )
9	1, 8	syl5bi 151	. 2 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( y e. U_ x e. A ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) )
10	9	ssrdv 3032	1 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> U_ x e. A ( B ` x ) C_ ( B ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1439   E.wrex 2361   C_ wss 3000   U_ciun 3736   Oncon0 4199   dom cdm 4452   ` cfv 5028   Smo wsmo 6064

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-smo 6065

This theorem is referenced by: (None)