Theorem smoiun 6354

Description: The value of a strictly monotone ordinal function contains its indexed union. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoiun	|- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> U_ x e. A ( B ` x ) C_ ( B ` A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem smoiun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3916	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B ` x ) <-> E. x e. A y e. ( B ` x ) )
2		smofvon 6352	. . . . 5 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( B ` A ) e. On )
3		smoel 6353	. . . . . 6 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ x e. A ) -> ( B ` x ) e. ( B ` A ) )
4	3	3expia 1207	. . . . 5 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( x e. A -> ( B ` x ) e. ( B ` A ) ) )
5		ontr1 4420	. . . . . 6 |- ( ( B ` A ) e. On -> ( ( y e. ( B ` x ) /\ ( B ` x ) e. ( B ` A ) ) -> y e. ( B ` A ) ) )
6	5	expcomd 1452	. . . . 5 |- ( ( B ` A ) e. On -> ( ( B ` x ) e. ( B ` A ) -> ( y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) ) )
7	2, 4, 6	sylsyld 58	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( x e. A -> ( y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) ) )
8	7	rexlimdv 2610	. . 3 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( E. x e. A y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) )
9	1, 8	biimtrid 152	. 2 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( y e. U_ x e. A ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) )
10	9	ssrdv 3185	1 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> U_ x e. A ( B ` x ) C_ ( B ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   E.wrex 2473   C_ wss 3153   U_ciun 3912   Oncon0 4394   dom cdm 4659   ` cfv 5254   Smo wsmo 6338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-smo 6339

This theorem is referenced by: (None)