Theorem smoiun 6191

Description: The value of a strictly monotone ordinal function contains its indexed union. (Contributed by Andrew Salmon, 22-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
smoiun	|- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> U_ x e. A ( B ` x ) C_ ( B ` A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem smoiun

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 3812	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A ( B ` x ) <-> E. x e. A y e. ( B ` x ) )
2		smofvon 6189	. . . . 5 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( B ` A ) e. On )
3		smoel 6190	. . . . . 6 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B /\ x e. A ) -> ( B ` x ) e. ( B ` A ) )
4	3	3expia 1183	. . . . 5 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( x e. A -> ( B ` x ) e. ( B ` A ) ) )
5		ontr1 4306	. . . . . 6 |- ( ( B ` A ) e. On -> ( ( y e. ( B ` x ) /\ ( B ` x ) e. ( B ` A ) ) -> y e. ( B ` A ) ) )
6	5	expcomd 1417	. . . . 5 |- ( ( B ` A ) e. On -> ( ( B ` x ) e. ( B ` A ) -> ( y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) ) )
7	2, 4, 6	sylsyld 58	. . . 4 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( x e. A -> ( y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) ) )
8	7	rexlimdv 2546	. . 3 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( E. x e. A y e. ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) )
9	1, 8	syl5bi 151	. 2 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> ( y e. U_ x e. A ( B ` x ) -> y e. ( B ` A ) ) )
10	9	ssrdv 3098	1 |- ( ( Smo B /\ A e. dom B ) -> U_ x e. A ( B ` x ) C_ ( B ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   E.wrex 2415   C_ wss 3066   U_ciun 3808   Oncon0 4280   dom cdm 4534   ` cfv 5118   Smo wsmo 6175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126  df-smo 6176

This theorem is referenced by: (None)