Theorem snss 3850

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (inference form of snssg 3849). Theorem 7.4 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.) (Proof shortened by BJ, 1-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
snss.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
snss	|- ( A e. B <-> { A } C_ B )

Proof of Theorem snss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snss.1	. 2 |- A e. _V
2		snssg 3849	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. B <-> { A } C_ B )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715

This theorem is used by:  snssgOLD  3851  prss  3871  tpss  3883  snelpw  4354  sspwb  4358  mss  4368  exss  4369  reg2exmidlema  4683  elomssom  4754  relsn  4882  fnressn  5904  un0mulcl  9608  nn0ssz  9673  hashfibclem  11304  hashf1lem1  11307  hashf1lem2  11308  fimaxre2  12016  fsum2dlemstep  12226  fsumabs  12257  fsumiun  12269  fprod2dlemstep  12414  dvmptfsum  15951  elply2  15961  elplyd  15967  ply1term  15969  plymullem  15976  bdsnss  17104