Theorem snss 3850

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (inference form of snssg 3849). Theorem 7.4 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.) (Proof shortened by BJ, 1-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
snss.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
snss	|- ( A e. B <-> { A } C_ B )

Proof of Theorem snss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snss.1	. 2 |- A e. _V
2		snssg 3849	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. B <-> { A } C_ B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A e. B <-> { A } C_ B )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715

This theorem is used by:  snssgOLD  3851  prss  3871  tpss  3883  snelpw  4352  sspwb  4356  mss  4366  exss  4367  reg2exmidlema  4681  elomssom  4752  relsn  4880  fnressn  5901  un0mulcl  9597  nn0ssz  9662  hashfibclem  11282  hashf1lem1  11285  hashf1lem2  11286  fimaxre2  11993  fsum2dlemstep  12201  fsumabs  12232  fsumiun  12244  fprod2dlemstep  12389  dvmptfsum  15826  elply2  15836  elplyd  15842  ply1term  15844  plymullem  15851  bdsnss  16899