Theorem nn0ssz 9273

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	|- NN0 C_ ZZ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 9179	. 2 |- NN0 = ( NN u. { 0 } )
2		nnssz 9272	. . 3 |- NN C_ ZZ
3		0z 9266	. . . 4 |- 0 e. ZZ
4		c0ex 7953	. . . . 5 |- 0 e. _V
5	4	snss 3729	. . . 4 |- ( 0 e. ZZ <-> { 0 } C_ ZZ )
6	3, 5	mpbi 145	. . 3 |- { 0 } C_ ZZ
7	2, 6	unssi 3312	. 2 |- ( NN u. { 0 } ) C_ ZZ
8	1, 7	eqsstri 3189	1 |- NN0 C_ ZZ

Syntax hints:   e. wcel 2148   u. cun 3129   C_ wss 3131   {csn 3594   0cc0 7813   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  nn0z  9275  nn0zi  9277  nn0zd  9375  nn0ssq  9630  oddnn02np1  11887  evennn02n  11889  eulerthlemrprm  12231  eulerthlema  12232  eulerthlemh  12233  eulerthlemth  12234  pcprecl  12291  pcprendvds  12292  pcpremul  12295