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Theorem fimaxre2 10884
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxre2
Dummy variables  s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3084 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  RR  <->  (/)  C_  RR )
)
2 raleq 2598 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  (/)  y  <_  x ) )
32rexbidv 2410 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x ) )
41, 3imbi12d 233 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x )  <->  ( (/)  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x ) ) )
5 sseq1 3084 . . . 4  |-  ( w  =  u  ->  (
w  C_  RR  <->  u  C_  RR ) )
6 raleq 2598 . . . . 5  |-  ( w  =  u  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  u  y  <_  x ) )
76rexbidv 2410 . . . 4  |-  ( w  =  u  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )
85, 7imbi12d 233 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  (
( w  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x )  <->  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) ) )
9 sseq1 3084 . . . 4  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( w  C_  RR 
<->  ( u  u.  {
v } )  C_  RR ) )
10 raleq 2598 . . . . 5  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  (
u  u.  { v } ) y  <_  x ) )
1110rexbidv 2410 . . . 4  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x )
)
129, 11imbi12d 233 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( ( w 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x
)  <->  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x )
) )
13 sseq1 3084 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
14 raleq 2598 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
1514rexbidv 2410 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
1613, 15imbi12d 233 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x )  <->  ( A  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) ) )
17 0re 7684 . . . . 5  |-  0  e.  RR
18 ral0 3428 . . . . 5  |-  A. y  e.  (/)  y  <_  0
19 breq2 3897 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  0 ) )
2019ralbidv 2409 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  (/)  y  <_  x 
<-> 
A. y  e.  (/)  y  <_  0 ) )
2120rspcev 2758 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  (/)  y  <_ 
0 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x )
2217, 18, 21mp2an 420 . . . 4  |-  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x
2322a1i 9 . . 3  |-  ( (/)  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x )
24 unss 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  C_  RR  /\  {
v }  C_  RR ) 
<->  ( u  u.  {
v } )  C_  RR )
2524biimpri 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  ( u  C_  RR  /\ 
{ v }  C_  RR ) )
2625simpld 111 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  u  C_  RR )
2726adantl 273 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  u  C_  RR )
28 simplr 502 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  -> 
( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )
2927, 28mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x )
30 breq2 3897 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  s ) )
3130ralbidv 2409 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  ( A. y  e.  u  y  <_  x  <->  A. y  e.  u  y  <_  s ) )
3231cbvrexv 2627 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x  <->  E. s  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  s )
3329, 32sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  E. s  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  s )
34 simprl 503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  s  e.  RR )
3525simprd 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  { v }  C_  RR )
36 vex 2658 . . . . . . . . . 10  |-  v  e. 
_V
3736snss 3613 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  RR  <->  { v }  C_  RR )
3835, 37sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  v  e.  RR )
3938ad2antlr 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  v  e.  RR )
40 maxcl 10868 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4134, 39, 40syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
42 nfv 1489 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  u  e.  Fin
43 nfv 1489 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  u  C_  RR
44 nfcv 2253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y RR
45 nfra1 2438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y A. y  e.  u  y  <_  x
4644, 45nfrexxy 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
4743, 46nfim 1532 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x )
4842, 47nfan 1525 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )
49 nfv 1489 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( u  u.  {
v } )  C_  RR
5048, 49nfan 1525 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )
51 nfv 1489 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  s  e.  RR
52 nfra1 2438 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y  e.  u  y  <_  s
5351, 52nfan 1525 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( s  e.  RR  /\ 
A. y  e.  u  y  <_  s )
5450, 53nfan 1525 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )
55 simprr 504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  u  y  <_  s )
56 maxle1 10869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
5734, 39, 56syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
58 r19.27av 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  u  y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  A. y  e.  u  ( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  u  ( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6059r19.21bi 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  (
y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6127ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  u  C_  RR )
62 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  y  e.  u )
6361, 62sseldd 3062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  y  e.  RR )
6434adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  s  e.  RR )
6541adantr 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
66 letr 7764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( ( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  (
( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6860, 67mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
6968ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  (
y  e.  u  -> 
y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7054, 69ralrimi 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  u  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
71 maxle2 10870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
7234, 39, 71syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
73 breq1 3896 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  <->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7473ralsng 3528 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  RR  ->  ( A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  <->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7539, 74syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  ( A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  <->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7672, 75mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
77 ralun 3222 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  u  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  /\  A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
7870, 76, 77syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
79 breq2 3897 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  ->  ( y  <_  x 
<->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
8079ralbidv 2409 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  ->  ( A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  x  <->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
8180rspcev 2758 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x
)
8241, 78, 81syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  x )
8333, 82rexlimddv 2526 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x
)
8483exp31 359 . . 3  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x )  -> 
( ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  x ) ) )
854, 8, 12, 16, 23, 84findcard2 6734 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
8685impcom 124 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1312    e. wcel 1461   A.wral 2388   E.wrex 2389    u. cun 3033    C_ wss 3035   (/)c0 3327   {csn 3491   {cpr 3492   class class class wbr 3893   Fincfn 6586   supcsup 6819   RRcr 7540   0cc0 7541    < clt 7718    <_ cle 7719
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657  ax-arch 7658  ax-caucvg 7659
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-er 6381  df-en 6587  df-fin 6589  df-sup 6821  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-rp 9338  df-seqfrec 10106  df-exp 10180  df-cj 10501  df-re 10502  df-im 10503  df-rsqrt 10656  df-abs 10657
This theorem is referenced by:  fsum3cvg3  11051
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