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Theorem fimaxre2 11788
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem fimaxre2
Dummy variables s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3250 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( w C_ RR <-> (/) C_ RR ) )
2 raleq 2730 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. (/) y <_ x ) )
32rexbidv 2533 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x ) )
41, 3imbi12d 234 . . 3 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( (/) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x ) ) )
5 sseq1 3250 . . . 4 |- ( w = u -> ( w C_ RR <-> u C_ RR ) )
6 raleq 2730 . . . . 5 |- ( w = u -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. u y <_ x ) )
76rexbidv 2533 . . . 4 |- ( w = u -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
85, 7imbi12d 234 . . 3 |- ( w = u -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) )
9 sseq1 3250 . . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( w C_ RR <-> ( u u. { v } ) C_ RR ) )
10 raleq 2730 . . . . 5 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) )
1110rexbidv 2533 . . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) )
129, 11imbi12d 234 . . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( ( u u. { v } ) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) ) )
13 sseq1 3250 . . . 4 |- ( w = A -> ( w C_ RR <-> A C_ RR ) )
14 raleq 2730 . . . . 5 |- ( w = A -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. A y <_ x ) )
1514rexbidv 2533 . . . 4 |- ( w = A -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
1613, 15imbi12d 234 . . 3 |- ( w = A -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( A C_ RR -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) ) )
17 0re 8179 . . . . 5 |- 0 e. RR
18 ral0 3596 . . . . 5 |- A. y e. (/) y <_ 0
19 breq2 4092 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( y <_ x <-> y <_ 0 ) )
2019ralbidv 2532 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( A. y e. (/) y <_ x <-> A. y e. (/) y <_ 0 ) )
2120rspcev 2910 . . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. (/) y <_ 0 ) -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x )
2217, 18, 21mp2an 426 . . . 4 |- E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x
2322a1i 9 . . 3 |- ( (/) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x )
24 unss 3381 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u C_ RR /\ { v } C_ RR ) <-> ( u u. { v } ) C_ RR )
2524biimpri 133 . . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> ( u C_ RR /\ { v } C_ RR ) )
2625simpld 112 . . . . . . . 8 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> u C_ RR )
2726adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> u C_ RR )
28 simplr 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
2927, 28mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x )
30 breq2 4092 . . . . . . . 8 |- ( x = s -> ( y <_ x <-> y <_ s ) )
3130ralbidv 2532 . . . . . . 7 |- ( x = s -> ( A. y e. u y <_ x <-> A. y e. u y <_ s ) )
3231cbvrexv 2768 . . . . . 6 |- ( E. x e. RR A. y e. u y <_ x <-> E. s e. RR A. y e. u y <_ s )
3329, 32sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. s e. RR A. y e. u y <_ s )
34 simprl 531 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> s e. RR )
3525simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> { v } C_ RR )
36 vex 2805 . . . . . . . . . 10 |- v e. _V
3736snss 3808 . . . . . . . . 9 |- ( v e. RR <-> { v } C_ RR )
3835, 37sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> v e. RR )
3938ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> v e. RR )
40 maxcl 11771 . . . . . . 7 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
4134, 39, 40syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
42 nfv 1576 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y u e. Fin
43 nfv 1576 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ y u C_ RR
44 nfcv 2374 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y RR
45 nfra1 2563 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y A. y e. u y <_ x
4644, 45nfrexw 2571 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ y E. x e. RR A. y e. u y <_ x
4743, 46nfim 1620 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x )
4842, 47nfan 1613 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
49 nfv 1576 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( u u. { v } ) C_ RR
5048, 49nfan 1613 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR )
51 nfv 1576 . . . . . . . . . 10 |- F/ y s e. RR
52 nfra1 2563 . . . . . . . . . 10 |- F/ y A. y e. u y <_ s
5351, 52nfan 1613 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s )
5450, 53nfan 1613 . . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) )
55 simprr 533 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u y <_ s )
56 maxle1 11772 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
5734, 39, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
58 r19.27av 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. u y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> A. y e. u ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6059r19.21bi 2620 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6127ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> u C_ RR )
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y e. u )
6361, 62sseldd 3228 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y e. RR )
6434adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> s e. RR )
6541adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
66 letr 8262 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ s e. RR /\ sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR ) -> ( ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1273 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> ( ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6860, 67mpd 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
6968ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> ( y e. u -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7054, 69ralrimi 2603 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
71 maxle2 11773 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
7234, 39, 71syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
73 breq1 4091 . . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7473ralsng 3709 . . . . . . . . 9 |- ( v e. RR -> ( A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7539, 74syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> ( A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7672, 75mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
77 ralun 3389 . . . . . . 7 |- ( ( A. y e. u y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) /\ A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
7870, 76, 77syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
79 breq2 4092 . . . . . . . 8 |- ( x = sup ( { s , v } , RR , < ) -> ( y <_ x <-> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
8079ralbidv 2532 . . . . . . 7 |- ( x = sup ( { s , v } , RR , < ) -> ( A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
8180rspcev 2910 . . . . . 6 |- ( ( sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR /\ A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8241, 78, 81syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8333, 82rexlimddv 2655 . . . 4 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8483exp31 364 . . 3 |- ( u e. Fin -> ( ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) -> ( ( u u. { v } ) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) ) )
854, 8, 12, 16, 23, 84findcard2 7078 . 2 |- ( A e. Fin -> ( A C_ RR -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
8685impcom 125 1 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   u. cun 3198   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   {cpr 3670   class class class wbr 4088   Fincfn 6909   supcsup 7181   RRcr 8031   0cc0 8032   < clt 8214   <_ cle 8215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-seqfrec 10710  df-exp 10801  df-cj 11403  df-re 11404  df-im 11405  df-rsqrt 11559  df-abs 11560
This theorem is referenced by:  fsum3cvg3  11958
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