ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxre2 Unicode version

Theorem fimaxre2 11010
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxre2
Dummy variables  s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3120 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  RR  <->  (/)  C_  RR )
)
2 raleq 2626 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  (/)  y  <_  x ) )
32rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x ) )
41, 3imbi12d 233 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x )  <->  ( (/)  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x ) ) )
5 sseq1 3120 . . . 4  |-  ( w  =  u  ->  (
w  C_  RR  <->  u  C_  RR ) )
6 raleq 2626 . . . . 5  |-  ( w  =  u  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  u  y  <_  x ) )
76rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( w  =  u  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )
85, 7imbi12d 233 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  (
( w  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x )  <->  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) ) )
9 sseq1 3120 . . . 4  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( w  C_  RR 
<->  ( u  u.  {
v } )  C_  RR ) )
10 raleq 2626 . . . . 5  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  (
u  u.  { v } ) y  <_  x ) )
1110rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x )
)
129, 11imbi12d 233 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( ( w 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x
)  <->  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x )
) )
13 sseq1 3120 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
14 raleq 2626 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
1514rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
1613, 15imbi12d 233 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x )  <->  ( A  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) ) )
17 0re 7778 . . . . 5  |-  0  e.  RR
18 ral0 3464 . . . . 5  |-  A. y  e.  (/)  y  <_  0
19 breq2 3933 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  0 ) )
2019ralbidv 2437 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  (/)  y  <_  x 
<-> 
A. y  e.  (/)  y  <_  0 ) )
2120rspcev 2789 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  (/)  y  <_ 
0 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x )
2217, 18, 21mp2an 422 . . . 4  |-  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x
2322a1i 9 . . 3  |-  ( (/)  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x )
24 unss 3250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  C_  RR  /\  {
v }  C_  RR ) 
<->  ( u  u.  {
v } )  C_  RR )
2524biimpri 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  ( u  C_  RR  /\ 
{ v }  C_  RR ) )
2625simpld 111 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  u  C_  RR )
2726adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  u  C_  RR )
28 simplr 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  -> 
( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )
2927, 28mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x )
30 breq2 3933 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  s ) )
3130ralbidv 2437 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  ( A. y  e.  u  y  <_  x  <->  A. y  e.  u  y  <_  s ) )
3231cbvrexv 2655 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x  <->  E. s  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  s )
3329, 32sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  E. s  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  s )
34 simprl 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  s  e.  RR )
3525simprd 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  { v }  C_  RR )
36 vex 2689 . . . . . . . . . 10  |-  v  e. 
_V
3736snss 3649 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  RR  <->  { v }  C_  RR )
3835, 37sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  v  e.  RR )
3938ad2antlr 480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  v  e.  RR )
40 maxcl 10994 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4134, 39, 40syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
42 nfv 1508 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  u  e.  Fin
43 nfv 1508 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  u  C_  RR
44 nfcv 2281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y RR
45 nfra1 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y A. y  e.  u  y  <_  x
4644, 45nfrexxy 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
4743, 46nfim 1551 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x )
4842, 47nfan 1544 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )
49 nfv 1508 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( u  u.  {
v } )  C_  RR
5048, 49nfan 1544 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )
51 nfv 1508 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  s  e.  RR
52 nfra1 2466 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y  e.  u  y  <_  s
5351, 52nfan 1544 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( s  e.  RR  /\ 
A. y  e.  u  y  <_  s )
5450, 53nfan 1544 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )
55 simprr 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  u  y  <_  s )
56 maxle1 10995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
5734, 39, 56syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
58 r19.27av 2567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  u  y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  A. y  e.  u  ( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  u  ( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6059r19.21bi 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  (
y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6127ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  u  C_  RR )
62 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  y  e.  u )
6361, 62sseldd 3098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  y  e.  RR )
6434adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  s  e.  RR )
6541adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
66 letr 7859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( ( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  (
( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6860, 67mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
6968ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  (
y  e.  u  -> 
y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7054, 69ralrimi 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  u  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
71 maxle2 10996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
7234, 39, 71syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
73 breq1 3932 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  <->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7473ralsng 3564 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  RR  ->  ( A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  <->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7539, 74syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  ( A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  <->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7672, 75mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
77 ralun 3258 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  u  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  /\  A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
7870, 76, 77syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
79 breq2 3933 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  ->  ( y  <_  x 
<->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
8079ralbidv 2437 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  ->  ( A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  x  <->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
8180rspcev 2789 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x
)
8241, 78, 81syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  x )
8333, 82rexlimddv 2554 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x
)
8483exp31 361 . . 3  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x )  -> 
( ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  x ) ) )
854, 8, 12, 16, 23, 84findcard2 6783 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
8685impcom 124 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    u. cun 3069    C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   class class class wbr 3929   Fincfn 6634   supcsup 6869   RRcr 7631   0cc0 7632    < clt 7812    <_ cle 7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637  df-sup 6871  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783
This theorem is referenced by:  fsum3cvg3  11177
  Copyright terms: Public domain W3C validator