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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fimaxre2 | Unicode version |
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
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fimaxre2 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | sseq1 3193 |
. . . 4
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2 | raleq 2686 |
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3 | 2 | rexbidv 2491 |
. . . 4
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4 | 1, 3 | imbi12d 234 |
. . 3
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5 | sseq1 3193 |
. . . 4
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6 | raleq 2686 |
. . . . 5
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7 | 6 | rexbidv 2491 |
. . . 4
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8 | 5, 7 | imbi12d 234 |
. . 3
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9 | sseq1 3193 |
. . . 4
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10 | raleq 2686 |
. . . . 5
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11 | 10 | rexbidv 2491 |
. . . 4
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12 | 9, 11 | imbi12d 234 |
. . 3
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13 | sseq1 3193 |
. . . 4
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14 | raleq 2686 |
. . . . 5
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15 | 14 | rexbidv 2491 |
. . . 4
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16 | 13, 15 | imbi12d 234 |
. . 3
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17 | 0re 7987 |
. . . . 5
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18 | ral0 3539 |
. . . . 5
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19 | breq2 4022 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ralbidv 2490 |
. . . . . 6
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21 | 20 | rspcev 2856 |
. . . . 5
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22 | 17, 18, 21 | mp2an 426 |
. . . 4
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23 | 22 | a1i 9 |
. . 3
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24 | unss 3324 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | biimpri 133 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | simpld 112 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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28 | simplr 528 |
. . . . . . 7
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29 | 27, 28 | mpd 13 |
. . . . . 6
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30 | breq2 4022 |
. . . . . . . 8
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31 | 30 | ralbidv 2490 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | cbvrexv 2719 |
. . . . . 6
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33 | 29, 32 | sylib 122 |
. . . . 5
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34 | simprl 529 |
. . . . . . 7
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35 | 25 | simprd 114 |
. . . . . . . . 9
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36 | vex 2755 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | snss 3742 |
. . . . . . . . 9
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38 | 35, 37 | sylibr 134 |
. . . . . . . 8
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39 | 38 | ad2antlr 489 |
. . . . . . 7
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40 | maxcl 11251 |
. . . . . . 7
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41 | 34, 39, 40 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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42 | nfv 1539 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | nfv 1539 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | nfcv 2332 |
. . . . . . . . . . . . 13
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45 | nfra1 2521 |
. . . . . . . . . . . . 13
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46 | 44, 45 | nfrexxy 2529 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 43, 46 | nfim 1583 |
. . . . . . . . . . 11
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48 | 42, 47 | nfan 1576 |
. . . . . . . . . 10
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49 | nfv 1539 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 48, 49 | nfan 1576 |
. . . . . . . . 9
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51 | nfv 1539 |
. . . . . . . . . 10
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52 | nfra1 2521 |
. . . . . . . . . 10
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53 | 51, 52 | nfan 1576 |
. . . . . . . . 9
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54 | 50, 53 | nfan 1576 |
. . . . . . . 8
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55 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | maxle1 11252 |
. . . . . . . . . . . . 13
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57 | 34, 39, 56 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . 12
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58 | r19.27av 2625 |
. . . . . . . . . . . 12
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59 | 55, 57, 58 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . 11
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60 | 59 | r19.21bi 2578 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 27 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . 12
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62 | simpr 110 |
. . . . . . . . . . . 12
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63 | 61, 62 | sseldd 3171 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 34 | adantr 276 |
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65 | 41 | adantr 276 |
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66 | letr 8070 |
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67 | 63, 64, 65, 66 | syl3anc 1249 |
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68 | 60, 67 | mpd 13 |
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69 | 68 | ex 115 |
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70 | 54, 69 | ralrimi 2561 |
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78 | 70, 76, 77 | syl2anc 411 |
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79 | breq2 4022 |
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80 | 79 | ralbidv 2490 |
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81 | 80 | rspcev 2856 |
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82 | 41, 78, 81 | syl2anc 411 |
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83 | 33, 82 | rexlimddv 2612 |
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84 | 83 | exp31 364 |
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85 | 4, 8, 12, 16, 23, 84 | findcard2 6917 |
. 2
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86 | 85 | impcom 125 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7932 ax-resscn 7933 ax-1cn 7934 ax-1re 7935 ax-icn 7936 ax-addcl 7937 ax-addrcl 7938 ax-mulcl 7939 ax-mulrcl 7940 ax-addcom 7941 ax-mulcom 7942 ax-addass 7943 ax-mulass 7944 ax-distr 7945 ax-i2m1 7946 ax-0lt1 7947 ax-1rid 7948 ax-0id 7949 ax-rnegex 7950 ax-precex 7951 ax-cnre 7952 ax-pre-ltirr 7953 ax-pre-ltwlin 7954 ax-pre-lttrn 7955 ax-pre-apti 7956 ax-pre-ltadd 7957 ax-pre-mulgt0 7958 ax-pre-mulext 7959 ax-arch 7960 ax-caucvg 7961 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5852 df-ov 5899 df-oprab 5900 df-mpo 5901 df-1st 6165 df-2nd 6166 df-recs 6330 df-frec 6416 df-er 6559 df-en 6767 df-fin 6769 df-sup 7013 df-pnf 8024 df-mnf 8025 df-xr 8026 df-ltxr 8027 df-le 8028 df-sub 8160 df-neg 8161 df-reap 8562 df-ap 8569 df-div 8660 df-inn 8950 df-2 9008 df-3 9009 df-4 9010 df-n0 9207 df-z 9284 df-uz 9559 df-rp 9684 df-seqfrec 10477 df-exp 10551 df-cj 10883 df-re 10884 df-im 10885 df-rsqrt 11039 df-abs 11040 |
This theorem is referenced by: fsum3cvg3 11436 |
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