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Theorem fimaxre2 12016
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem fimaxre2
Dummy variables s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3271 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( w C_ RR <-> (/) C_ RR ) )
2 raleq 2749 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. (/) y <_ x ) )
32rexbidv 2551 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x ) )
41, 3imbi12d 234 . . 3 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( (/) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x ) ) )
5 sseq1 3271 . . . 4 |- ( w = u -> ( w C_ RR <-> u C_ RR ) )
6 raleq 2749 . . . . 5 |- ( w = u -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. u y <_ x ) )
76rexbidv 2551 . . . 4 |- ( w = u -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
85, 7imbi12d 234 . . 3 |- ( w = u -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) )
9 sseq1 3271 . . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( w C_ RR <-> ( u u. { v } ) C_ RR ) )
10 raleq 2749 . . . . 5 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) )
1110rexbidv 2551 . . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) )
129, 11imbi12d 234 . . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( ( u u. { v } ) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) ) )
13 sseq1 3271 . . . 4 |- ( w = A -> ( w C_ RR <-> A C_ RR ) )
14 raleq 2749 . . . . 5 |- ( w = A -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. A y <_ x ) )
1514rexbidv 2551 . . . 4 |- ( w = A -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
1613, 15imbi12d 234 . . 3 |- ( w = A -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( A C_ RR -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) ) )
17 0re 8332 . . . . 5 |- 0 e. RR
18 ral0 3629 . . . . 5 |- A. y e. (/) y <_ 0
19 breq2 4135 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( y <_ x <-> y <_ 0 ) )
2019ralbidv 2550 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( A. y e. (/) y <_ x <-> A. y e. (/) y <_ 0 ) )
2120rspcev 2929 . . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. (/) y <_ 0 ) -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x )
2217, 18, 21mp2an 430 . . . 4 |- E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x
2322a1i 9 . . 3 |- ( (/) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x )
24 unss 3403 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u C_ RR /\ { v } C_ RR ) <-> ( u u. { v } ) C_ RR )
2524biimpri 133 . . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> ( u C_ RR /\ { v } C_ RR ) )
2625simpld 112 . . . . . . . 8 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> u C_ RR )
2726adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> u C_ RR )
28 simplr 533 . . . . . . 7 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
2927, 28mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x )
30 breq2 4135 . . . . . . . 8 |- ( x = s -> ( y <_ x <-> y <_ s ) )
3130ralbidv 2550 . . . . . . 7 |- ( x = s -> ( A. y e. u y <_ x <-> A. y e. u y <_ s ) )
3231cbvrexv 2787 . . . . . 6 |- ( E. x e. RR A. y e. u y <_ x <-> E. s e. RR A. y e. u y <_ s )
3329, 32sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. s e. RR A. y e. u y <_ s )
34 simprl 535 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> s e. RR )
3525simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> { v } C_ RR )
36 vex 2824 . . . . . . . . . 10 |- v e. _V
3736snss 3850 . . . . . . . . 9 |- ( v e. RR <-> { v } C_ RR )
3835, 37sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> v e. RR )
3938ad2antlr 493 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> v e. RR )
40 maxcl 11999 . . . . . . 7 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
4134, 39, 40syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
42 nfv 1581 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y u e. Fin
43 nfv 1581 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ y u C_ RR
44 nfcv 2392 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y RR
45 nfra1 2581 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y A. y e. u y <_ x
4644, 45nfrexw 2589 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ y E. x e. RR A. y e. u y <_ x
4743, 46nfim 1625 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x )
4842, 47nfan 1618 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
49 nfv 1581 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( u u. { v } ) C_ RR
5048, 49nfan 1618 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR )
51 nfv 1581 . . . . . . . . . 10 |- F/ y s e. RR
52 nfra1 2581 . . . . . . . . . 10 |- F/ y A. y e. u y <_ s
5351, 52nfan 1618 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s )
5450, 53nfan 1618 . . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) )
55 simprr 537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u y <_ s )
56 maxle1 12000 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
5734, 39, 56syl2anc 415 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
58 r19.27av 2686 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. u y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> A. y e. u ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 415 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6059r19.21bi 2638 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6127ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> u C_ RR )
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y e. u )
6361, 62sseldd 3249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y e. RR )
6434adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> s e. RR )
6541adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
66 letr 8414 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ s e. RR /\ sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR ) -> ( ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1278 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> ( ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6860, 67mpd 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
6968ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> ( y e. u -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7054, 69ralrimi 2621 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
71 maxle2 12001 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
7234, 39, 71syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
73 breq1 4134 . . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7473ralsng 3749 . . . . . . . . 9 |- ( v e. RR -> ( A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7539, 74syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> ( A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7672, 75mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
77 ralun 3411 . . . . . . 7 |- ( ( A. y e. u y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) /\ A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
7870, 76, 77syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
79 breq2 4135 . . . . . . . 8 |- ( x = sup ( { s , v } , RR , < ) -> ( y <_ x <-> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
8079ralbidv 2550 . . . . . . 7 |- ( x = sup ( { s , v } , RR , < ) -> ( A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
8180rspcev 2929 . . . . . 6 |- ( ( sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR /\ A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8241, 78, 81syl2anc 415 . . . . 5 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8333, 82rexlimddv 2673 . . . 4 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8483exp31 364 . . 3 |- ( u e. Fin -> ( ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) -> ( ( u u. { v } ) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) ) )
854, 8, 12, 16, 23, 84findcard2 7197 . 2 |- ( A e. Fin -> ( A C_ RR -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
8685impcom 125 1 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   {cpr 3710   class class class wbr 4131   Fincfn 7026   supcsup 7328   RRcr 8184   0cc0 8185   < clt 8366   <_ cle 8367
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-sup 7330  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787
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