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Theorem fimaxre2 11267
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
Distinct variable group:   x, A, y
Proof of Theorem fimaxre2
Dummy variables s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3193 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( w C_ RR <-> (/) C_ RR ) )
2 raleq 2686 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. (/) y <_ x ) )
32rexbidv 2491 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x ) )
41, 3imbi12d 234 . . 3 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( (/) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x ) ) )
5 sseq1 3193 . . . 4 |- ( w = u -> ( w C_ RR <-> u C_ RR ) )
6 raleq 2686 . . . . 5 |- ( w = u -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. u y <_ x ) )
76rexbidv 2491 . . . 4 |- ( w = u -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
85, 7imbi12d 234 . . 3 |- ( w = u -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) )
9 sseq1 3193 . . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( w C_ RR <-> ( u u. { v } ) C_ RR ) )
10 raleq 2686 . . . . 5 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) )
1110rexbidv 2491 . . . 4 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) )
129, 11imbi12d 234 . . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( ( u u. { v } ) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) ) )
13 sseq1 3193 . . . 4 |- ( w = A -> ( w C_ RR <-> A C_ RR ) )
14 raleq 2686 . . . . 5 |- ( w = A -> ( A. y e. w y <_ x <-> A. y e. A y <_ x ) )
1514rexbidv 2491 . . . 4 |- ( w = A -> ( E. x e. RR A. y e. w y <_ x <-> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
1613, 15imbi12d 234 . . 3 |- ( w = A -> ( ( w C_ RR -> E. x e. RR A. y e. w y <_ x ) <-> ( A C_ RR -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) ) )
17 0re 7987 . . . . 5 |- 0 e. RR
18 ral0 3539 . . . . 5 |- A. y e. (/) y <_ 0
19 breq2 4022 . . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( y <_ x <-> y <_ 0 ) )
2019ralbidv 2490 . . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( A. y e. (/) y <_ x <-> A. y e. (/) y <_ 0 ) )
2120rspcev 2856 . . . . 5 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. (/) y <_ 0 ) -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x )
2217, 18, 21mp2an 426 . . . 4 |- E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x
2322a1i 9 . . 3 |- ( (/) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. (/) y <_ x )
24 unss 3324 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u C_ RR /\ { v } C_ RR ) <-> ( u u. { v } ) C_ RR )
2524biimpri 133 . . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> ( u C_ RR /\ { v } C_ RR ) )
2625simpld 112 . . . . . . . 8 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> u C_ RR )
2726adantl 277 . . . . . . 7 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> u C_ RR )
28 simplr 528 . . . . . . 7 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
2927, 28mpd 13 . . . . . 6 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x )
30 breq2 4022 . . . . . . . 8 |- ( x = s -> ( y <_ x <-> y <_ s ) )
3130ralbidv 2490 . . . . . . 7 |- ( x = s -> ( A. y e. u y <_ x <-> A. y e. u y <_ s ) )
3231cbvrexv 2719 . . . . . 6 |- ( E. x e. RR A. y e. u y <_ x <-> E. s e. RR A. y e. u y <_ s )
3329, 32sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. s e. RR A. y e. u y <_ s )
34 simprl 529 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> s e. RR )
3525simprd 114 . . . . . . . . 9 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> { v } C_ RR )
36 vex 2755 . . . . . . . . . 10 |- v e. _V
3736snss 3742 . . . . . . . . 9 |- ( v e. RR <-> { v } C_ RR )
3835, 37sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( u u. { v } ) C_ RR -> v e. RR )
3938ad2antlr 489 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> v e. RR )
40 maxcl 11251 . . . . . . 7 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
4134, 39, 40syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
42 nfv 1539 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y u e. Fin
43 nfv 1539 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ y u C_ RR
44 nfcv 2332 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y RR
45 nfra1 2521 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ y A. y e. u y <_ x
4644, 45nfrexxy 2529 . . . . . . . . . . . 12 |- F/ y E. x e. RR A. y e. u y <_ x
4743, 46nfim 1583 . . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x )
4842, 47nfan 1576 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) )
49 nfv 1539 . . . . . . . . . 10 |- F/ y ( u u. { v } ) C_ RR
5048, 49nfan 1576 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR )
51 nfv 1539 . . . . . . . . . 10 |- F/ y s e. RR
52 nfra1 2521 . . . . . . . . . 10 |- F/ y A. y e. u y <_ s
5351, 52nfan 1576 . . . . . . . . 9 |- F/ y ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s )
5450, 53nfan 1576 . . . . . . . 8 |- F/ y ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) )
55 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u y <_ s )
56 maxle1 11252 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
5734, 39, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
58 r19.27av 2625 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. u y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> A. y e. u ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6059r19.21bi 2578 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6127ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> u C_ RR )
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y e. u )
6361, 62sseldd 3171 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y e. RR )
6434adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> s e. RR )
6541adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR )
66 letr 8070 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ s e. RR /\ sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR ) -> ( ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> ( ( y <_ s /\ s <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
6860, 67mpd 13 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) /\ y e. u ) -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
6968ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> ( y e. u -> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7054, 69ralrimi 2561 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. u y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
71 maxle2 11253 . . . . . . . . 9 |- ( ( s e. RR /\ v e. RR ) -> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
7234, 39, 71syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
73 breq1 4021 . . . . . . . . . 10 |- ( y = v -> ( y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7473ralsng 3647 . . . . . . . . 9 |- ( v e. RR -> ( A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7539, 74syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> ( A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) <-> v <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
7672, 75mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
77 ralun 3332 . . . . . . 7 |- ( ( A. y e. u y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) /\ A. y e. { v } y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
7870, 76, 77syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) )
79 breq2 4022 . . . . . . . 8 |- ( x = sup ( { s , v } , RR , < ) -> ( y <_ x <-> y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
8079ralbidv 2490 . . . . . . 7 |- ( x = sup ( { s , v } , RR , < ) -> ( A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x <-> A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) )
8180rspcev 2856 . . . . . 6 |- ( ( sup ( { s , v } , RR , < ) e. RR /\ A. y e. ( u u. { v } ) y <_ sup ( { s , v } , RR , < ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8241, 78, 81syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) /\ ( s e. RR /\ A. y e. u y <_ s ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8333, 82rexlimddv 2612 . . . 4 |- ( ( ( u e. Fin /\ ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) ) /\ ( u u. { v } ) C_ RR ) -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x )
8483exp31 364 . . 3 |- ( u e. Fin -> ( ( u C_ RR -> E. x e. RR A. y e. u y <_ x ) -> ( ( u u. { v } ) C_ RR -> E. x e. RR A. y e. ( u u. { v } ) y <_ x ) ) )
854, 8, 12, 16, 23, 84findcard2 6917 . 2 |- ( A e. Fin -> ( A C_ RR -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) )
8685impcom 125 1 |- ( ( A C_ RR /\ A e. Fin ) -> E. x e. RR A. y e. A y <_ x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   u. cun 3142   C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   {cpr 3608   class class class wbr 4018   Fincfn 6766   supcsup 7011   RRcr 7840   0cc0 7841   < clt 8022   <_ cle 8023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-er 6559  df-en 6767  df-fin 6769  df-sup 7013  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-rp 9684  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040
This theorem is referenced by:  fsum3cvg3  11436
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