Theorem elomssom 4565

Description: A natural number ordinal is, as a set, included in the set of natural number ordinals. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.) Extract this result from the previous proof of elnn 4566. (Revised by BJ, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
elomssom	|- ( A e. om -> A C_ om )

Proof of Theorem elomssom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3151	. 2 |- ( y = (/) -> ( y C_ om <-> (/) C_ om ) )
2		sseq1 3151	. 2 |- ( y = x -> ( y C_ om <-> x C_ om ) )
3		sseq1 3151	. 2 |- ( y = suc x -> ( y C_ om <-> suc x C_ om ) )
4		sseq1 3151	. 2 |- ( y = A -> ( y C_ om <-> A C_ om ) )
5		0ss 3432	. 2 |- (/) C_ om
6		unss 3281	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ { x } C_ om ) <-> ( x u. { x } ) C_ om )
7		vex 2715	. . . . . . 7 |- x e. _V
8	7	snss 3686	. . . . . 6 |- ( x e. om <-> { x } C_ om )
9	8	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> ( x C_ om /\ { x } C_ om ) )
10		df-suc 4332	. . . . . 6 |- suc x = ( x u. { x } )
11	10	sseq1i 3154	. . . . 5 |- ( suc x C_ om <-> ( x u. { x } ) C_ om )
12	6, 9, 11	3bitr4i 211	. . . 4 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> suc x C_ om )
13	12	biimpi 119	. . 3 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) -> suc x C_ om )
14	13	expcom 115	. 2 |- ( x e. om -> ( x C_ om -> suc x C_ om ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	finds 4560	1 |- ( A e. om -> A C_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   u. cun 3100   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   suc csuc 4326   omcom 4550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3774  df-int 3809  df-suc 4332  df-iom 4551

This theorem is referenced by:  elnn  4566  2ssom  13419