Theorem elomssom 4589

Description: A natural number ordinal is, as a set, included in the set of natural number ordinals. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.) Extract this result from the previous proof of elnn 4590. (Revised by BJ, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
elomssom	|- ( A e. om -> A C_ om )

Proof of Theorem elomssom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3170	. 2 |- ( y = (/) -> ( y C_ om <-> (/) C_ om ) )
2		sseq1 3170	. 2 |- ( y = x -> ( y C_ om <-> x C_ om ) )
3		sseq1 3170	. 2 |- ( y = suc x -> ( y C_ om <-> suc x C_ om ) )
4		sseq1 3170	. 2 |- ( y = A -> ( y C_ om <-> A C_ om ) )
5		0ss 3453	. 2 |- (/) C_ om
6		unss 3301	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ { x } C_ om ) <-> ( x u. { x } ) C_ om )
7		vex 2733	. . . . . . 7 |- x e. _V
8	7	snss 3709	. . . . . 6 |- ( x e. om <-> { x } C_ om )
9	8	anbi2i 454	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> ( x C_ om /\ { x } C_ om ) )
10		df-suc 4356	. . . . . 6 |- suc x = ( x u. { x } )
11	10	sseq1i 3173	. . . . 5 |- ( suc x C_ om <-> ( x u. { x } ) C_ om )
12	6, 9, 11	3bitr4i 211	. . . 4 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> suc x C_ om )
13	12	biimpi 119	. . 3 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) -> suc x C_ om )
14	13	expcom 115	. 2 |- ( x e. om -> ( x C_ om -> suc x C_ om ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	finds 4584	1 |- ( A e. om -> A C_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   suc csuc 4350   omcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-suc 4356  df-iom 4575

This theorem is referenced by:  elnn  4590  2ssom  6503  nninfwlpoimlemginf  7152