Theorem elomssom 4604

Description: A natural number ordinal is, as a set, included in the set of natural number ordinals. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.) Extract this result from the previous proof of elnn 4605. (Revised by BJ, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
elomssom	|- ( A e. om -> A C_ om )

Proof of Theorem elomssom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3178	. 2 |- ( y = (/) -> ( y C_ om <-> (/) C_ om ) )
2		sseq1 3178	. 2 |- ( y = x -> ( y C_ om <-> x C_ om ) )
3		sseq1 3178	. 2 |- ( y = suc x -> ( y C_ om <-> suc x C_ om ) )
4		sseq1 3178	. 2 |- ( y = A -> ( y C_ om <-> A C_ om ) )
5		0ss 3461	. 2 |- (/) C_ om
6		unss 3309	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ { x } C_ om ) <-> ( x u. { x } ) C_ om )
7		vex 2740	. . . . . . 7 |- x e. _V
8	7	snss 3727	. . . . . 6 |- ( x e. om <-> { x } C_ om )
9	8	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> ( x C_ om /\ { x } C_ om ) )
10		df-suc 4371	. . . . . 6 |- suc x = ( x u. { x } )
11	10	sseq1i 3181	. . . . 5 |- ( suc x C_ om <-> ( x u. { x } ) C_ om )
12	6, 9, 11	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> suc x C_ om )
13	12	biimpi 120	. . 3 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) -> suc x C_ om )
14	13	expcom 116	. 2 |- ( x e. om -> ( x C_ om -> suc x C_ om ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	finds 4599	1 |- ( A e. om -> A C_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   u. cun 3127   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592   suc csuc 4365   omcom 4589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-suc 4371  df-iom 4590

This theorem is referenced by:  elnn  4605  2ssom  6524  nninfwlpoimlemginf  7173  ennnfonelemg  12398