Theorem elomssom 4582

Description: A natural number ordinal is, as a set, included in the set of natural number ordinals. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.) Extract this result from the previous proof of elnn 4583. (Revised by BJ, 7-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
elomssom	|- ( A e. om -> A C_ om )

Proof of Theorem elomssom

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3165	. 2 |- ( y = (/) -> ( y C_ om <-> (/) C_ om ) )
2		sseq1 3165	. 2 |- ( y = x -> ( y C_ om <-> x C_ om ) )
3		sseq1 3165	. 2 |- ( y = suc x -> ( y C_ om <-> suc x C_ om ) )
4		sseq1 3165	. 2 |- ( y = A -> ( y C_ om <-> A C_ om ) )
5		0ss 3447	. 2 |- (/) C_ om
6		unss 3296	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ { x } C_ om ) <-> ( x u. { x } ) C_ om )
7		vex 2729	. . . . . . 7 |- x e. _V
8	7	snss 3702	. . . . . 6 |- ( x e. om <-> { x } C_ om )
9	8	anbi2i 453	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> ( x C_ om /\ { x } C_ om ) )
10		df-suc 4349	. . . . . 6 |- suc x = ( x u. { x } )
11	10	sseq1i 3168	. . . . 5 |- ( suc x C_ om <-> ( x u. { x } ) C_ om )
12	6, 9, 11	3bitr4i 211	. . . 4 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> suc x C_ om )
13	12	biimpi 119	. . 3 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) -> suc x C_ om )
14	13	expcom 115	. 2 |- ( x e. om -> ( x C_ om -> suc x C_ om ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	finds 4577	1 |- ( A e. om -> A C_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   u. cun 3114   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   suc csuc 4343   omcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-suc 4349  df-iom 4568

This theorem is referenced by:  elnn  4583  2ssom  13684