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Theorem fsumabs 11630
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumabs.1 |- ( ph -> A e. Fin )
fsumabs.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
Assertion
Ref Expression
fsumabs |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) )
Distinct variable groups:   A, k   ph, k
Allowed substitution hint:   B( k)
Proof of Theorem fsumabs
Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3203 . 2 |- A C_ A
2 fsumabs.1 . . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3 sseq1 3206 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4 sumeq1 11520 . . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
54fveq2d 5562 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. (/) B ) )
6 sumeq1 11520 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. (/) ( abs ` B ) )
75, 6breq12d 4046 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) )
83, 7imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) )
98imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) ) )
10 sseq1 3206 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
11 sumeq1 11520 . . . . . . . 8 |- ( w = x -> sum_ k e. w B = sum_ k e. x B )
1211fveq2d 5562 . . . . . . 7 |- ( w = x -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. x B ) )
13 sumeq1 11520 . . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. x ( abs ` B ) )
1412, 13breq12d 4046 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) )
1510, 14imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) )
1615imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) ) )
17 sseq1 3206 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
18 sumeq1 11520 . . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( x u. { y } ) B )
1918fveq2d 5562 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) )
20 sumeq1 11520 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) )
2119, 20breq12d 4046 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
2217, 21imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
2322imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
24 sseq1 3206 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
25 sumeq1 11520 . . . . . . . 8 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
2625fveq2d 5562 . . . . . . 7 |- ( w = A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. A B ) )
27 sumeq1 11520 . . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. A ( abs ` B ) )
2826, 27breq12d 4046 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) )
2924, 28imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) )
3029imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) ) )
31 0le0 9079 . . . . . 6 |- 0 <_ 0
32 sum0 11553 . . . . . . . 8 |- sum_ k e. (/) B = 0
3332fveq2i 5561 . . . . . . 7 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = ( abs ` 0 )
34 abs0 11223 . . . . . . 7 |- ( abs ` 0 ) = 0
3533, 34eqtri 2217 . . . . . 6 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = 0
36 sum0 11553 . . . . . 6 |- sum_ k e. (/) ( abs ` B ) = 0
3731, 35, 363brtr4i 4063 . . . . 5 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B )
38372a1i 27 . . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) )
39 ssun1 3326 . . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
40 sstr 3191 . . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
4139, 40mpan 424 . . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
4241imim1i 60 . . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) )
43 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
44 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ph )
45 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
4645unssad 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
4746sselda 3183 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> k e. A )
48 fsumabs.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
4944, 47, 48syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> B e. CC )
5043, 49fsumcl 11565 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x B e. CC )
5150abscld 11346 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. x B ) e. RR )
5249abscld 11346 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> ( abs ` B ) e. RR )
5343, 52fsumrecl 11566 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x ( abs ` B ) e. RR )
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
5554unssbd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> { y } C_ A )
56 vex 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
5756snss 3757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
5855, 57sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. A )
5958adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. A )
6048ralrimiva 2570 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
6160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A. k e. A B e. CC )
62 nfcsb1v 3117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ y / k ]_ B
6362nfel1 2350 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ y / k ]_ B e. CC
64 csbeq1a 3093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = y -> B = [_ y / k ]_ B )
6564eleq1d 2265 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = y -> ( B e. CC <-> [_ y / k ]_ B e. CC ) )
6663, 65rspc 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ y / k ]_ B e. CC ) )
6759, 61, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
6867abscld 11346 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. RR )
6951, 53, 68leadd1d 8566 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) )
70 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
7170adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
72 disjsn 3684 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
7371, 72sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
74 eqidd 2197 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
7556a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. _V )
76 unsnfi 6980 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Fin /\ y e. _V /\ -. y e. x ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
7743, 75, 71, 76syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
7845sselda 3183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> k e. A )
7944, 78, 48syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> B e. CC )
8079abscld 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
8180recnd 8055 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. CC )
8273, 74, 77, 81fsumsplit 11572 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) )
83 csbfv2g 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. _V -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) )
8483elv 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B )
8560ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A. k e. A B e. CC )
8658, 85, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
8786abscld 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. RR )
8887recnd 8055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. CC )
8984, 88eqeltrid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC )
90 sumsns 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. _V /\ [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) )
9156, 89, 90sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) )
9291, 84eqtrdi 2245 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) )
9392oveq2d 5938 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
9493adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
9582, 94eqtrd 2229 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
9695breq2d 4045 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) )
9769, 96bitr4d 191 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
9870, 72sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
9998adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
10099, 74, 77, 79fsumsplit 11572 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) )
101 sumsns 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. A /\ [_ y / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B )
10258, 86, 101syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B )
103102oveq2d 5938 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
104103adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
105100, 104eqtrd 2229 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
106105fveq2d 5562 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) = ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) )
10786adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
10850, 107abstrid 11361 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
109106, 108eqbrtrd 4055 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
11077, 79fsumcl 11565 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B e. CC )
111110abscld 11346 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR )
11251, 68readdcld 8056 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR )
11377, 80fsumrecl 11566 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR )
114 letr 8109 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR /\ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1249 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
116109, 115mpand 429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
11797, 116sylbid 150 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
118117ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
119118a2d 26 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
12042, 119syl5 32 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
121120expcom 116 . . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
122121a2d 26 . . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
1239, 16, 23, 30, 38, 122findcard2s 6951 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) )
1242, 123mpcom 36 . 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) )
1251, 124mpi 15 1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   [_csb 3084   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Fincfn 6799   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   + caddc 7882   <_ cle 8062   abscabs 11162   sum_csu 11518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519
This theorem is referenced by:  iserabs  11640  cvgratnnlemabsle  11692  mertenslemi1  11700
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