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Theorem fsumabs 11428
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumabs.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumabs.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumabs
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3167 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumabs.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3170 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 11318 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
54fveq2d 5500 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B ) )
6 sumeq1 11318 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) )
75, 6breq12d 4002 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_ 
sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) )
83, 7imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_ 
sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) ) )
98imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) ) ) )
10 sseq1 3170 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
11 sumeq1 11318 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  x  B )
1211fveq2d 5500 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )
)
13 sumeq1 11318 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )
1412, 13breq12d 4002 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )
1510, 14imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) )  <->  ( x  C_  A  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) ) )
1615imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( x 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) ) ) )
17 sseq1 3170 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
18 sumeq1 11318 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B )
1918fveq2d 5500 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B ) )
20 sumeq1 11318 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) )
2119, 20breq12d 4002 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
2217, 21imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
2322imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
24 sseq1 3170 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
25 sumeq1 11318 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
2625fveq2d 5500 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  A  B )
)
27 sumeq1 11318 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) )
2826, 27breq12d 4002 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) )
2924, 28imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) ) ) )
3029imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( A 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) ) ) ) )
31 0le0 8967 . . . . . 6  |-  0  <_  0
32 sum0 11351 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
3332fveq2i 5499 . . . . . . 7  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( abs `  0 )
34 abs0 11022 . . . . . . 7  |-  ( abs `  0 )  =  0
3533, 34eqtri 2191 . . . . . 6  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  0
36 sum0 11351 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B
)  =  0
3731, 35, 363brtr4i 4019 . . . . 5  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B
)
38372a1i 27 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) )
39 ssun1 3290 . . . . . . . . 9  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
40 sstr 3155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
4139, 40mpan 422 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4241imim1i 60 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  ->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )
43 simplrl 530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  x  e.  Fin )
44 simpll 524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ph )
45 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )
4645unssad 3304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  x  C_  A
)
4746sselda 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  A )
48 fsumabs.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4944, 47, 48syl2an2r 590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  x )  ->  B  e.  CC )
5043, 49fsumcl 11363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  x  B  e.  CC )
5150abscld 11145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  x  B )  e.  RR )
5249abscld 11145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  x )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
5343, 52fsumrecl 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  e.  RR )
54 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  C_  A
)
5554unssbd 3305 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  { y }  C_  A )
56 vex 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5756snss 3709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  A  <->  { y }  C_  A )
5855, 57sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  y  e.  A )
5958adantlrl 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  y  e.  A )
6048ralrimiva 2543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
6160ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
62 nfcsb1v 3082 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ B
6362nfel1 2323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ y  /  k ]_ B  e.  CC
64 csbeq1a 3058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  B  =  [_ y  /  k ]_ B )
6564eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
6663, 65rspc 2828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )
)
6759, 61, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  [_ y  / 
k ]_ B  e.  CC )
6867abscld 11145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
[_ y  /  k ]_ B )  e.  RR )
6951, 53, 68leadd1d 8458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) ) )
70 simplr 525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  -.  y  e.  x )
7170adantlrl 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  -.  y  e.  x )
72 disjsn 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  x )
7371, 72sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  i^i  { y } )  =  (/) )
74 eqidd 2171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } )  =  ( x  u. 
{ y } ) )
7556a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  y  e.  _V )
76 unsnfi 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  _V  /\  -.  y  e.  x )  ->  ( x  u.  {
y } )  e. 
Fin )
7743, 75, 71, 76syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } )  e.  Fin )
7845sselda 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
k  e.  A )
7944, 78, 48syl2an2r 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  B  e.  CC )
8079abscld 11145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( abs `  B
)  e.  RR )
8180recnd 7948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( abs `  B
)  e.  CC )
8273, 74, 77, 81fsumsplit 11370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B
) ) )
83 csbfv2g 5533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )
8483elv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
)
8560ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8658, 85, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )
8786abscld 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  [_ y  / 
k ]_ B )  e.  RR )
8887recnd 7948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  [_ y  / 
k ]_ B )  e.  CC )
8984, 88eqeltrid 2257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  e.  CC )
90 sumsns 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  _V  /\  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B
)  =  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B ) )
9156, 89, 90sylancr 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B )  = 
[_ y  /  k ]_ ( abs `  B
) )
9291, 84eqtrdi 2219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )
9392oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  sum_ k  e.  {
y }  ( abs `  B ) )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9493adantlrl 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  + 
sum_ k  e.  {
y }  ( abs `  B ) )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9582, 94eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9695breq2d 4001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) ) )
9769, 96bitr4d 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) )
9870, 72sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  i^i  { y } )  =  (/) )
9998adantlrl 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  i^i  { y } )  =  (/) )
10099, 74, 77, 79fsumsplit 11370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  { y } B ) )
101 sumsns 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  A  /\  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
y } B  = 
[_ y  /  k ]_ B )
10258, 86, 101syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y } B  =  [_ y  /  k ]_ B )
103102oveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  {
y } B )  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
104103adantlrl 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  {
y } B )  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
105100, 104eqtrd 2203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
106105fveq2d 5500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  / 
k ]_ B ) ) )
10786adantlrl 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  [_ y  / 
k ]_ B  e.  CC )
10850, 107abstrid 11160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  / 
k ]_ B ) )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
109106, 108eqbrtrd 4011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
11077, 79fsumcl 11363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  e.  CC )
111110abscld 11145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  e.  RR )
11251, 68readdcld 7949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  e.  RR )
11377, 80fsumrecl 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  e.  RR )
114 letr 8002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  e.  RR  /\  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  /\  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( (
( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  /\  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
116109, 115mpand 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
11797, 116sylbid 149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
118117ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) )
119118a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  ->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
12042, 119syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
121120expcom 115 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
122121a2d 26 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
1239, 16, 23, 30, 38, 122findcard2s 6868 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) ) )
1242, 123mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) )
1251, 124mpi 15 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   [_csb 3049    u. cun 3119    i^i cin 3120    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774    + caddc 7777    <_ cle 7955   abscabs 10961   sum_csu 11316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317
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