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Theorem fsumabs 12232
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumabs.1 |- ( ph -> A e. Fin )
fsumabs.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
Assertion
Ref Expression
fsumabs |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) )
Distinct variable groups:   A, k   ph, k
Allowed substitution hint:   B( k)
Proof of Theorem fsumabs
Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3268 . 2 |- A C_ A
2 fsumabs.1 . . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3 sseq1 3271 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4 sumeq1 12121 . . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
54fveq2d 5699 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. (/) B ) )
6 sumeq1 12121 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. (/) ( abs ` B ) )
75, 6breq12d 4143 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) )
83, 7imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) )
98imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) ) )
10 sseq1 3271 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
11 sumeq1 12121 . . . . . . . 8 |- ( w = x -> sum_ k e. w B = sum_ k e. x B )
1211fveq2d 5699 . . . . . . 7 |- ( w = x -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. x B ) )
13 sumeq1 12121 . . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. x ( abs ` B ) )
1412, 13breq12d 4143 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) )
1510, 14imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) )
1615imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) ) )
17 sseq1 3271 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
18 sumeq1 12121 . . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( x u. { y } ) B )
1918fveq2d 5699 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) )
20 sumeq1 12121 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) )
2119, 20breq12d 4143 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
2217, 21imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
2322imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
24 sseq1 3271 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
25 sumeq1 12121 . . . . . . . 8 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
2625fveq2d 5699 . . . . . . 7 |- ( w = A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. A B ) )
27 sumeq1 12121 . . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. A ( abs ` B ) )
2826, 27breq12d 4143 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) )
2924, 28imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) )
3029imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) ) )
31 0le0 9393 . . . . . 6 |- 0 <_ 0
32 sum0 12155 . . . . . . . 8 |- sum_ k e. (/) B = 0
3332fveq2i 5698 . . . . . . 7 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = ( abs ` 0 )
34 abs0 11824 . . . . . . 7 |- ( abs ` 0 ) = 0
3533, 34eqtri 2259 . . . . . 6 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = 0
36 sum0 12155 . . . . . 6 |- sum_ k e. (/) ( abs ` B ) = 0
3731, 35, 363brtr4i 4160 . . . . 5 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B )
38372a1i 27 . . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) )
39 ssun1 3392 . . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
40 sstr 3256 . . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
4139, 40mpan 428 . . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
4241imim1i 60 . . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) )
43 simplrl 541 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
44 simpll 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ph )
45 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
4645unssad 3406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
4746sselda 3248 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> k e. A )
48 fsumabs.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
4944, 47, 48syl2an2r 603 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> B e. CC )
5043, 49fsumcl 12167 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x B e. CC )
5150abscld 11947 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. x B ) e. RR )
5249abscld 11947 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> ( abs ` B ) e. RR )
5343, 52fsumrecl 12168 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x ( abs ` B ) e. RR )
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
5554unssbd 3407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> { y } C_ A )
56 vex 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
5756snss 3850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
5855, 57sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. A )
5958adantlrl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. A )
6048ralrimiva 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
6160ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A. k e. A B e. CC )
62 nfcsb1v 3180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ y / k ]_ B
6362nfel1 2403 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ y / k ]_ B e. CC
64 csbeq1a 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = y -> B = [_ y / k ]_ B )
6564eleq1d 2307 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = y -> ( B e. CC <-> [_ y / k ]_ B e. CC ) )
6663, 65rspc 2923 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ y / k ]_ B e. CC ) )
6759, 61, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
6867abscld 11947 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. RR )
6951, 53, 68leadd1d 8867 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) )
70 simplr 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
7170adantlrl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
72 disjsn 3771 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
7371, 72sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
74 eqidd 2239 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
7556a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. _V )
76 unsnfi 7226 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Fin /\ y e. _V /\ -. y e. x ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
7743, 75, 71, 76syl3anc 1278 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
7845sselda 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> k e. A )
7944, 78, 48syl2an2r 603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> B e. CC )
8079abscld 11947 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
8180recnd 8354 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. CC )
8273, 74, 77, 81fsumsplit 12174 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) )
83 csbfv2g 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. _V -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) )
8483elv 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B )
8560ad2antrr 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A. k e. A B e. CC )
8658, 85, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
8786abscld 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. RR )
8887recnd 8354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. CC )
8984, 88eqeltrid 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC )
90 sumsns 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. _V /\ [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) )
9156, 89, 90sylancr 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) )
9291, 84eqtrdi 2287 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) )
9392oveq2d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
9493adantlrl 486 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
9582, 94eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
9695breq2d 4142 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) )
9769, 96bitr4d 191 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
9870, 72sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
9998adantlrl 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
10099, 74, 77, 79fsumsplit 12174 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) )
101 sumsns 12182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. A /\ [_ y / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B )
10258, 86, 101syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B )
103102oveq2d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
104103adantlrl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
105100, 104eqtrd 2271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
106105fveq2d 5699 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) = ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) )
10786adantlrl 486 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
10850, 107abstrid 11962 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
109106, 108eqbrtrd 4152 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
11077, 79fsumcl 12167 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B e. CC )
111110abscld 11947 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR )
11251, 68readdcld 8355 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR )
11377, 80fsumrecl 12168 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR )
114 letr 8408 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR /\ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1278 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
116109, 115mpand 433 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
11797, 116sylbid 150 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
118117ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
119118a2d 26 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
12042, 119syl5 32 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
121120expcom 116 . . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
122121a2d 26 . . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
1239, 16, 23, 30, 38, 122findcard2s 7194 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) )
1242, 123mpcom 36 . 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) )
1251, 124mpi 15 1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   [_csb 3147   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Fincfn 7022   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   <_ cle 8361   abscabs 11763   sum_csu 12119
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120
This theorem is used by:  iserabs  12242  cvgratnnlemabsle  12294  mertenslemi1  12302
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