Theorem fsumabs 11611

Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumabs.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumabs.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumabs	|- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumabs

Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3200	. 2 |- A C_ A
2		fsumabs.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3		sseq1 3203	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4		sumeq1 11501	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
5	4	fveq2d 5559	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. (/) B ) )
6		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. (/) ( abs ` B ) )
7	5, 6	breq12d 4043	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) )
8	3, 7	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) ) )
10		sseq1 3203	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
11		sumeq1 11501	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> sum_ k e. w B = sum_ k e. x B )
12	11	fveq2d 5559	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. x B ) )
13		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. x ( abs ` B ) )
14	12, 13	breq12d 4043	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) )
15	10, 14	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) )
16	15	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) ) )
17		sseq1 3203	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
18		sumeq1 11501	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( x u. { y } ) B )
19	18	fveq2d 5559	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) )
20		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) )
21	19, 20	breq12d 4043	. . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
22	17, 21	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
23	22	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
24		sseq1 3203	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
25		sumeq1 11501	. . . . . . . 8 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
26	25	fveq2d 5559	. . . . . . 7 |- ( w = A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. A B ) )
27		sumeq1 11501	. . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. A ( abs ` B ) )
28	26, 27	breq12d 4043	. . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) )
29	24, 28	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) )
30	29	imbi2d 230	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) ) )
31		0le0 9073	. . . . . 6 |- 0 <_ 0
32		sum0 11534	. . . . . . . 8 |- sum_ k e. (/) B = 0
33	32	fveq2i 5558	. . . . . . 7 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = ( abs ` 0 )
34		abs0 11205	. . . . . . 7 |- ( abs ` 0 ) = 0
35	33, 34	eqtri 2214	. . . . . 6 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = 0
36		sum0 11534	. . . . . 6 |- sum_ k e. (/) ( abs ` B ) = 0
37	31, 35, 36	3brtr4i 4060	. . . . 5 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B )
38	37	2a1i 27	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) )
39		ssun1 3323	. . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
40		sstr 3188	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
41	39, 40	mpan 424	. . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
42	41	imim1i 60	. . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) )
43		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
44		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ph )
45		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
46	45	unssad 3337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
47	46	sselda 3180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> k e. A )
48		fsumabs.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
49	44, 47, 48	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> B e. CC )
50	43, 49	fsumcl 11546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x B e. CC )
51	50	abscld 11328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. x B ) e. RR )
52	49	abscld 11328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> ( abs ` B ) e. RR )
53	43, 52	fsumrecl 11547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x ( abs ` B ) e. RR )
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
55	54	unssbd 3338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> { y } C_ A )
56		vex 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
57	56	snss 3754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
58	55, 57	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. A )
59	58	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. A )
60	48	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
61	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A. k e. A B e. CC )
62		nfcsb1v 3114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ y / k ]_ B
63	62	nfel1 2347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ y / k ]_ B e. CC
64		csbeq1a 3090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = y -> B = [_ y / k ]_ B )
65	64	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = y -> ( B e. CC <-> [_ y / k ]_ B e. CC ) )
66	63, 65	rspc 2859	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ y / k ]_ B e. CC ) )
67	59, 61, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
68	67	abscld 11328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. RR )
69	51, 53, 68	leadd1d 8560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) )
70		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
71	70	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
72		disjsn 3681	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
73	71, 72	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
74		eqidd 2194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
75	56	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. _V )
76		unsnfi 6977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Fin /\ y e. _V /\ -. y e. x ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
77	43, 75, 71, 76	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
78	45	sselda 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> k e. A )
79	44, 78, 48	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> B e. CC )
80	79	abscld 11328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
81	80	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. CC )
82	73, 74, 77, 81	fsumsplit 11553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) )
83		csbfv2g 5594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. _V -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) )
84	83	elv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B )
85	60	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A. k e. A B e. CC )
86	58, 85, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
87	86	abscld 11328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. RR )
88	87	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. CC )
89	84, 88	eqeltrid 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC )
90		sumsns 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. _V /\ [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) )
91	56, 89, 90	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) )
92	91, 84	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) )
93	92	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
94	93	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
95	82, 94	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
96	95	breq2d 4042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) )
97	69, 96	bitr4d 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
98	70, 72	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
99	98	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
100	99, 74, 77, 79	fsumsplit 11553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) )
101		sumsns 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. A /\ [_ y / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B )
102	58, 86, 101	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B )
103	102	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
104	103	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
105	100, 104	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
106	105	fveq2d 5559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) = ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) )
107	86	adantlrl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
108	50, 107	abstrid 11343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
109	106, 108	eqbrtrd 4052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
110	77, 79	fsumcl 11546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B e. CC )
111	110	abscld 11328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR )
112	51, 68	readdcld 8051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR )
113	77, 80	fsumrecl 11547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR )
114		letr 8104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR /\ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
115	111, 112, 113, 114	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
116	109, 115	mpand 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
117	97, 116	sylbid 150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
118	117	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
119	118	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
120	42, 119	syl5 32	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
121	120	expcom 116	. . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
122	121	a2d 26	. . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
123	9, 16, 23, 30, 38, 122	findcard2s 6948	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) )
124	2, 123	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) )
125	1, 124	mpi 15	1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   [_csb 3081   u. cun 3152   i^i cin 3153   C_ wss 3154   (/)c0 3447   {csn 3619   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Fincfn 6796   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   + caddc 7877   <_ cle 8057   abscabs 11144   sum_csu 11499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-ihash 10850  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500

This theorem is referenced by:  iserabs  11621  cvgratnnlemabsle  11673  mertenslemi1  11681