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Theorem fsumabs 11374
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumabs.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumabs.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumabs
Dummy variables  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3148 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumabs.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3151 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 sumeq1 11264 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
54fveq2d 5475 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B ) )
6 sumeq1 11264 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) )
75, 6breq12d 3980 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_ 
sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  <-> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) )
83, 7imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_ 
sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) )  <->  ( (/)  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) ) )
98imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) ) ) )
10 sseq1 3151 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
w  C_  A  <->  x  C_  A
) )
11 sumeq1 11264 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  x  B )
1211fveq2d 5475 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )
)
13 sumeq1 11264 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )
1412, 13breq12d 3980 . . . . . 6  |-  ( w  =  x  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )
1510, 14imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  x  ->  (
( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) )  <->  ( x  C_  A  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) ) )
1615imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  x  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( x 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) ) ) ) )
17 sseq1 3151 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( w  C_  A 
<->  ( x  u.  {
y } )  C_  A ) )
18 sumeq1 11264 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B )
1918fveq2d 5475 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B ) )
20 sumeq1 11264 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) )
2119, 20breq12d 3980 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  <->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
2217, 21imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) )  <->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
2322imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  ( x  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
24 sseq1 3151 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  A  <->  A  C_  A
) )
25 sumeq1 11264 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  B  =  sum_ k  e.  A  B
)
2625fveq2d 5475 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  =  ( abs `  sum_ k  e.  A  B )
)
27 sumeq1 11264 . . . . . . 7  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  ( abs `  B )  =  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) )
2826, 27breq12d 3980 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
)  <->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) )
2924, 28imbi12d 233 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B
)  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B
) )  <->  ( A  C_  A  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) ) ) )
3029imbi2d 229 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  w  B )  <_  sum_ k  e.  w  ( abs `  B ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( A 
C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B )  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B ) ) ) ) )
31 0le0 8928 . . . . . 6  |-  0  <_  0
32 sum0 11297 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
3332fveq2i 5474 . . . . . . 7  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  ( abs `  0 )
34 abs0 10970 . . . . . . 7  |-  ( abs `  0 )  =  0
3533, 34eqtri 2178 . . . . . 6  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  =  0
36 sum0 11297 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B
)  =  0
3731, 35, 363brtr4i 3997 . . . . 5  |-  ( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B
)
38372a1i 27 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  -> 
( abs `  sum_ k  e.  (/)  B )  <_  sum_ k  e.  (/)  ( abs `  B ) ) )
39 ssun1 3271 . . . . . . . . 9  |-  x  C_  ( x  u.  { y } )
40 sstr 3136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  C_  ( x  u.  { y } )  /\  ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A )  ->  x  C_  A )
4139, 40mpan 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  x  C_  A )
4241imim1i 60 . . . . . . 7  |-  ( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  ->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )
43 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  x  e.  Fin )
44 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ph )
45 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } ) 
C_  A )
4645unssad 3285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  x  C_  A
)
4746sselda 3128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  x )  ->  k  e.  A )
48 fsumabs.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4944, 47, 48syl2an2r 585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  x )  ->  B  e.  CC )
5043, 49fsumcl 11309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  x  B  e.  CC )
5150abscld 11093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  x  B )  e.  RR )
5249abscld 11093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  x )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
5343, 52fsumrecl 11310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  e.  RR )
54 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  u.  { y } )  C_  A
)
5554unssbd 3286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  { y }  C_  A )
56 vex 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5756snss 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  A  <->  { y }  C_  A )
5855, 57sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  y  e.  A )
5958adantlrl 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  y  e.  A )
6048ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
6160ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
62 nfcsb1v 3064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ y  /  k ]_ B
6362nfel1 2310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ y  /  k ]_ B  e.  CC
64 csbeq1a 3040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  y  ->  B  =  [_ y  /  k ]_ B )
6564eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
6663, 65rspc 2810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )
)
6759, 61, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  [_ y  / 
k ]_ B  e.  CC )
6867abscld 11093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
[_ y  /  k ]_ B )  e.  RR )
6951, 53, 68leadd1d 8419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) ) )
70 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  -.  y  e.  x )
7170adantlrl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  -.  y  e.  x )
72 disjsn 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  x )
7371, 72sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  i^i  { y } )  =  (/) )
74 eqidd 2158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } )  =  ( x  u. 
{ y } ) )
7556a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  y  e.  _V )
76 unsnfi 6866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  _V  /\  -.  y  e.  x )  ->  ( x  u.  {
y } )  e. 
Fin )
7743, 75, 71, 76syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  u.  { y } )  e.  Fin )
7845sselda 3128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
k  e.  A )
7944, 78, 48syl2an2r 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  ->  B  e.  CC )
8079abscld 11093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( abs `  B
)  e.  RR )
8180recnd 7909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  /\  k  e.  ( x  u.  { y } ) )  -> 
( abs `  B
)  e.  CC )
8273, 74, 77, 81fsumsplit 11316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B
) ) )
83 csbfv2g 5508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  _V  ->  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )
8483elv 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
)
8560ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
8658, 85, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )
8786abscld 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  [_ y  / 
k ]_ B )  e.  RR )
8887recnd 7909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( abs `  [_ y  / 
k ]_ B )  e.  CC )
8984, 88eqeltrid 2244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  e.  CC )
90 sumsns 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  _V  /\  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B
)  =  [_ y  /  k ]_ ( abs `  B ) )
9156, 89, 90sylancr 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B )  = 
[_ y  /  k ]_ ( abs `  B
) )
9291, 84eqtrdi 2206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y }  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )
9392oveq2d 5843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  sum_ k  e.  {
y }  ( abs `  B ) )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9493adantlrl 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  + 
sum_ k  e.  {
y }  ( abs `  B ) )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9582, 94eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  =  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
9695breq2d 3979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
)  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  ( sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) ) )
9769, 96bitr4d 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  <->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) )
9870, 72sylibr 133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  (
x  i^i  { y } )  =  (/) )
9998adantlrl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( x  i^i  { y } )  =  (/) )
10099, 74, 77, 79fsumsplit 11316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  { y } B ) )
101 sumsns 11324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  A  /\  [_ y  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
y } B  = 
[_ y  /  k ]_ B )
10258, 86, 101syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  { y } B  =  [_ y  /  k ]_ B )
103102oveq2d 5843 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  y  e.  x )  /\  ( x  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  {
y } B )  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
104103adantlrl 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( sum_ k  e.  x  B  +  sum_ k  e.  {
y } B )  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
105100, 104eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  =  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  /  k ]_ B ) )
106105fveq2d 5475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  / 
k ]_ B ) ) )
10786adantlrl 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  [_ y  / 
k ]_ B  e.  CC )
10850, 107abstrid 11108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  x  B  +  [_ y  / 
k ]_ B ) )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
109106, 108eqbrtrd 3989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) ) )
11077, 79fsumcl 11309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) B  e.  CC )
111110abscld 11093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  e.  RR )
11251, 68readdcld 7910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  e.  RR )
11377, 80fsumrecl 11310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  e.  RR )
114 letr 7963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  e.  RR  /\  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  e.  RR  /\  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B )  e.  RR )  -> 
( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B
) )  /\  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( (
( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  /\  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
) )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
116109, 115mpand 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  +  ( abs `  [_ y  /  k ]_ B ) )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
11797, 116sylbid 149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
) )  /\  (
x  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) )
118117ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  u. 
{ y } ) 
C_  A  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
)  ->  ( abs ` 
sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) ( abs `  B ) ) ) )
119118a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B )  <_ 
sum_ k  e.  x  ( abs `  B ) )  ->  ( (
x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
12042, 119syl5 32 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x ) )  -> 
( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) )
121120expcom 115 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ph  ->  ( ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) )  ->  (
( x  u.  {
y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
122121a2d 26 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  -.  y  e.  x
)  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  x  B
)  <_  sum_ k  e.  x  ( abs `  B
) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( x  u.  { y } )  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( x  u.  { y } ) B )  <_  sum_ k  e.  ( x  u.  {
y } ) ( abs `  B ) ) ) ) )
1239, 16, 23, 30, 38, 122findcard2s 6838 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) ) )
1242, 123mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) ) )
1251, 124mpi 15 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  A  B
)  <_  sum_ k  e.  A  ( abs `  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   [_csb 3031    u. cun 3100    i^i cin 3101    C_ wss 3102   (/)c0 3395   {csn 3561   class class class wbr 3967   ` cfv 5173  (class class class)co 5827   Fincfn 6688   CCcc 7733   RRcr 7734   0cc0 7735    + caddc 7738    <_ cle 7916   abscabs 10909   sum_csu 11262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854  ax-caucvg 7855
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-irdg 6320  df-frec 6341  df-1o 6366  df-oadd 6370  df-er 6483  df-en 6689  df-dom 6690  df-fin 6691  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-q 9536  df-rp 9568  df-fz 9920  df-fzo 10052  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-ihash 10662  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911  df-clim 11188  df-sumdc 11263
This theorem is referenced by:  iserabs  11384  cvgratnnlemabsle  11436  mertenslemi1  11444
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