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Theorem fsumabs 12016
Description: Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumabs.1 |- ( ph -> A e. Fin )
fsumabs.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
Assertion
Ref Expression
fsumabs |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) )
Distinct variable groups:   A, k   ph, k
Allowed substitution hint:   B( k)
Proof of Theorem fsumabs
Dummy variables w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3245 . 2 |- A C_ A
2 fsumabs.1 . . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
3 sseq1 3248 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ A <-> (/) C_ A ) )
4 sumeq1 11906 . . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. (/) B )
54fveq2d 5639 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. (/) B ) )
6 sumeq1 11906 . . . . . . 7 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. (/) ( abs ` B ) )
75, 6breq12d 4099 . . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) )
83, 7imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) )
98imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) ) ) )
10 sseq1 3248 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( w C_ A <-> x C_ A ) )
11 sumeq1 11906 . . . . . . . 8 |- ( w = x -> sum_ k e. w B = sum_ k e. x B )
1211fveq2d 5639 . . . . . . 7 |- ( w = x -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. x B ) )
13 sumeq1 11906 . . . . . . 7 |- ( w = x -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. x ( abs ` B ) )
1412, 13breq12d 4099 . . . . . 6 |- ( w = x -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) )
1510, 14imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = x -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) )
1615imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = x -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) ) )
17 sseq1 3248 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( w C_ A <-> ( x u. { y } ) C_ A ) )
18 sumeq1 11906 . . . . . . . 8 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w B = sum_ k e. ( x u. { y } ) B )
1918fveq2d 5639 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) )
20 sumeq1 11906 . . . . . . 7 |- ( w = ( x u. { y } ) -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) )
2119, 20breq12d 4099 . . . . . 6 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
2217, 21imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
2322imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = ( x u. { y } ) -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
24 sseq1 3248 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( w C_ A <-> A C_ A ) )
25 sumeq1 11906 . . . . . . . 8 |- ( w = A -> sum_ k e. w B = sum_ k e. A B )
2625fveq2d 5639 . . . . . . 7 |- ( w = A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) = ( abs ` sum_ k e. A B ) )
27 sumeq1 11906 . . . . . . 7 |- ( w = A -> sum_ k e. w ( abs ` B ) = sum_ k e. A ( abs ` B ) )
2826, 27breq12d 4099 . . . . . 6 |- ( w = A -> ( ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) <-> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) )
2924, 28imbi12d 234 . . . . 5 |- ( w = A -> ( ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) <-> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) )
3029imbi2d 230 . . . 4 |- ( w = A -> ( ( ph -> ( w C_ A -> ( abs ` sum_ k e. w B ) <_ sum_ k e. w ( abs ` B ) ) ) <-> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) ) )
31 0le0 9222 . . . . . 6 |- 0 <_ 0
32 sum0 11939 . . . . . . . 8 |- sum_ k e. (/) B = 0
3332fveq2i 5638 . . . . . . 7 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = ( abs ` 0 )
34 abs0 11609 . . . . . . 7 |- ( abs ` 0 ) = 0
3533, 34eqtri 2250 . . . . . 6 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) = 0
36 sum0 11939 . . . . . 6 |- sum_ k e. (/) ( abs ` B ) = 0
3731, 35, 363brtr4i 4116 . . . . 5 |- ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B )
38372a1i 27 . . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. (/) B ) <_ sum_ k e. (/) ( abs ` B ) ) )
39 ssun1 3368 . . . . . . . . 9 |- x C_ ( x u. { y } )
40 sstr 3233 . . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ ( x u. { y } ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
4139, 40mpan 424 . . . . . . . 8 |- ( ( x u. { y } ) C_ A -> x C_ A )
4241imim1i 60 . . . . . . 7 |- ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) )
43 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x e. Fin )
44 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ph )
45 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
4645unssad 3382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> x C_ A )
4746sselda 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> k e. A )
48 fsumabs.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
4944, 47, 48syl2an2r 597 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> B e. CC )
5043, 49fsumcl 11951 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x B e. CC )
5150abscld 11732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. x B ) e. RR )
5249abscld 11732 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. x ) -> ( abs ` B ) e. RR )
5343, 52fsumrecl 11952 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. x ( abs ` B ) e. RR )
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) C_ A )
5554unssbd 3383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> { y } C_ A )
56 vex 2803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- y e. _V
5756snss 3806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. A <-> { y } C_ A )
5855, 57sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. A )
5958adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. A )
6048ralrimiva 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
6160ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A. k e. A B e. CC )
62 nfcsb1v 3158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k [_ y / k ]_ B
6362nfel1 2383 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ y / k ]_ B e. CC
64 csbeq1a 3134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = y -> B = [_ y / k ]_ B )
6564eleq1d 2298 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = y -> ( B e. CC <-> [_ y / k ]_ B e. CC ) )
6663, 65rspc 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ y / k ]_ B e. CC ) )
6759, 61, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
6867abscld 11732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. RR )
6951, 53, 68leadd1d 8709 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) )
70 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
7170adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> -. y e. x )
72 disjsn 3729 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x i^i { y } ) = (/) <-> -. y e. x )
7371, 72sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
74 eqidd 2230 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) = ( x u. { y } ) )
7556a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> y e. _V )
76 unsnfi 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Fin /\ y e. _V /\ -. y e. x ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
7743, 75, 71, 76syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x u. { y } ) e. Fin )
7845sselda 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> k e. A )
7944, 78, 48syl2an2r 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> B e. CC )
8079abscld 11732 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. RR )
8180recnd 8198 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) /\ k e. ( x u. { y } ) ) -> ( abs ` B ) e. CC )
8273, 74, 77, 81fsumsplit 11958 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) )
83 csbfv2g 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. _V -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) )
8483elv 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ y / k ]_ ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B )
8560ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> A. k e. A B e. CC )
8658, 85, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
8786abscld 11732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. RR )
8887recnd 8198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` [_ y / k ]_ B ) e. CC )
8984, 88eqeltrid 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC )
90 sumsns 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. _V /\ [_ y / k ]_ ( abs ` B ) e. CC ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) )
9156, 89, 90sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = [_ y / k ]_ ( abs ` B ) )
9291, 84eqtrdi 2278 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } ( abs ` B ) = ( abs ` [_ y / k ]_ B ) )
9392oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
9493adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + sum_ k e. { y } ( abs ` B ) ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
9582, 94eqtrd 2262 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) = ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
9695breq2d 4098 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( sum_ k e. x ( abs ` B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) ) )
9769, 96bitr4d 191 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
9870, 72sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
9998adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( x i^i { y } ) = (/) )
10099, 74, 77, 79fsumsplit 11958 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) )
101 sumsns 11966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. A /\ [_ y / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B )
10258, 86, 101syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. { y } B = [_ y / k ]_ B )
103102oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ -. y e. x ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
104103adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. { y } B ) = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
105100, 104eqtrd 2262 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B = ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) )
106105fveq2d 5639 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) = ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) )
10786adantlrl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> [_ y / k ]_ B e. CC )
10850, 107abstrid 11747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` ( sum_ k e. x B + [_ y / k ]_ B ) ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
109106, 108eqbrtrd 4108 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) )
11077, 79fsumcl 11951 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) B e. CC )
111110abscld 11732 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR )
11251, 68readdcld 8199 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR )
11377, 80fsumrecl 11952 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR )
114 letr 8252 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) e. RR /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) e. RR /\ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) e. RR ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1271 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) /\ ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
116109, 115mpand 429 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( ( abs ` sum_ k e. x B ) + ( abs ` [_ y / k ]_ B ) ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
11797, 116sylbid 150 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) /\ ( x u. { y } ) C_ A ) -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) )
118117ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
119118a2d 26 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
12042, 119syl5 32 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Fin /\ -. y e. x ) ) -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) )
121120expcom 116 . . . . 5 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ph -> ( ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
122121a2d 26 . . . 4 |- ( ( x e. Fin /\ -. y e. x ) -> ( ( ph -> ( x C_ A -> ( abs ` sum_ k e. x B ) <_ sum_ k e. x ( abs ` B ) ) ) -> ( ph -> ( ( x u. { y } ) C_ A -> ( abs ` sum_ k e. ( x u. { y } ) B ) <_ sum_ k e. ( x u. { y } ) ( abs ` B ) ) ) ) )
1239, 16, 23, 30, 38, 122findcard2s 7072 . . 3 |- ( A e. Fin -> ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) ) )
1242, 123mpcom 36 . 2 |- ( ph -> ( A C_ A -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) ) )
1251, 124mpi 15 1 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. A B ) <_ sum_ k e. A ( abs ` B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2800   [_csb 3125   u. cun 3196   i^i cin 3197   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   + caddc 8025   <_ cle 8205   abscabs 11548   sum_csu 11904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-ihash 11028  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905
This theorem is referenced by:  iserabs  12026  cvgratnnlemabsle  12078  mertenslemi1  12086
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