Theorem snss 3710

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class. Theorem 7.4 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
snss.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
snss	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snss

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		velsn 3601	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
2	1	imbi1i 237	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ (𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	2	albii 1464	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
4		dfss2 3137	. 2 ⊢ ({𝐴} ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 ∈ 𝐵))
5		snss.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
6	5	clel2 2864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 = 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
7	3, 4, 6	3bitr4ri 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∀wal 1347   = wceq 1349   ∈ wcel 2142  Vcvv 2731   ⊆ wss 3122  {csn 3584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-ext 2153

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1352  df-nf 1455  df-sb 1757  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-v 2733  df-in 3128  df-ss 3135  df-sn 3590

This theorem is referenced by:  snssg  3717  prss  3737  tpss  3746  snelpw  4199  sspwb  4202  mss  4212  exss  4213  reg2exmidlema  4519  elomssom  4590  relsn  4717  fnressn  5686  un0mulcl  9173  nn0ssz  9234  fimaxre2  11194  fsum2dlemstep  11401  fsumabs  11432  fsumiun  11444  fprod2dlemstep  11589  bdsnss  13993