Theorem snss 3850

Description: The singleton of an element of a class is a subset of the class (inference form of snssg 3849). Theorem 7.4 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.) (Proof shortened by BJ, 1-Jan-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
snss.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
snss	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem snss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snss.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		snssg 3849	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ {𝐴} ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715

This theorem is used by:  snssgOLD  3851  prss  3871  tpss  3883  snelpw  4354  sspwb  4358  mss  4368  exss  4369  reg2exmidlema  4683  elomssom  4754  relsn  4882  fnressn  5904  un0mulcl  9609  nn0ssz  9674  hashfibclem  11305  hashf1lem1  11308  hashf1lem2  11309  fimaxre2  12017  fsum2dlemstep  12227  fsumabs  12258  fsumiun  12270  fprod2dlemstep  12415  dvmptfsum  15963  elply2  15973  elplyd  15979  ply1term  15981  plymullem  15988  bdsnss  17116