Theorem soirri 4869

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	|- R Or S
soi.2	|- R C_ ( S X. S )

Assertion

Ref	Expression
soirri	|- -. A R A

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( A R A -> A R A )
2		soi.1	. . 3 |- R Or S
3		soi.2	. . . . 5 |- R C_ ( S X. S )
4	3	brel 4529	. . . 4 |- ( A R A -> ( A e. S /\ A e. S ) )
5	4	simpld 111	. . 3 |- ( A R A -> A e. S )
6		sonr 4177	. . 3 |- ( ( R Or S /\ A e. S ) -> -. A R A )
7	2, 5, 6	sylancr 408	. 2 |- ( A R A -> -. A R A )
8	1, 7	pm2.65i 608	1 |- -. A R A

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1448   C_ wss 3021   class class class wbr 3875   Or wor 4155   X. cxp 4475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-br 3876  df-opab 3930  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483

This theorem is referenced by:  son2lpi  4871  ltsonq  7107  genpdisj  7232  ltposr  7459  axpre-ltirr  7567