Theorem soirri 4813

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	|- R Or S
soi.2	|- R C_ ( S X. S )

Assertion

Ref	Expression
soirri	|- -. A R A

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( A R A -> A R A )
2		soi.1	. . 3 |- R Or S
3		soi.2	. . . . 5 |- R C_ ( S X. S )
4	3	brel 4478	. . . 4 |- ( A R A -> ( A e. S /\ A e. S ) )
5	4	simpld 110	. . 3 |- ( A R A -> A e. S )
6		sonr 4135	. . 3 |- ( ( R Or S /\ A e. S ) -> -. A R A )
7	2, 5, 6	sylancr 405	. 2 |- ( A R A -> -. A R A )
8	1, 7	pm2.65i 603	1 |- -. A R A

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 1438   C_ wss 2997   class class class wbr 3837   Or wor 4113   X. cxp 4426

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434

This theorem is referenced by:  son2lpi  4815  ltsonq  6936  genpdisj  7061  ltposr  7288  axpre-ltirr  7396