Theorem soirri 5005

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	|- R Or S
soi.2	|- R C_ ( S X. S )

Assertion

Ref	Expression
soirri	|- -. A R A

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( A R A -> A R A )
2		soi.1	. . 3 |- R Or S
3		soi.2	. . . . 5 |- R C_ ( S X. S )
4	3	brel 4663	. . . 4 |- ( A R A -> ( A e. S /\ A e. S ) )
5	4	simpld 111	. . 3 |- ( A R A -> A e. S )
6		sonr 4302	. . 3 |- ( ( R Or S /\ A e. S ) -> -. A R A )
7	2, 5, 6	sylancr 412	. 2 |- ( A R A -> -. A R A )
8	1, 7	pm2.65i 634	1 |- -. A R A

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2141   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   Or wor 4280   X. cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617

This theorem is referenced by:  son2lpi  5007  ltsonq  7360  genpdisj  7485  ltposr  7725  axpre-ltirr  7844