ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltposr Unicode version

Theorem ltposr 7307
Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltposr  |-  <R  Po  R.

Proof of Theorem ltposr
Dummy variables  x  y  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7271 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 id 19 . . . . . . 7  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  ->  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  =  f )
32, 2breq12d 3858 . . . . . 6  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  f  <R  f ) )
43notbid 627 . . . . 5  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  -> 
( -.  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  -.  f  <R  f ) )
5 ltsopr 7153 . . . . . . . 8  |-  <P  Or  P.
6 ltrelpr 7062 . . . . . . . 8  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
75, 6soirri 4826 . . . . . . 7  |-  -.  (
x  +P.  y )  <P  ( x  +P.  y
)
8 addcomprg 7135 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  +P.  y
)  =  ( y  +P.  x ) )
98breq2d 3857 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( x  +P.  y )  <P  (
x  +P.  y )  <->  ( x  +P.  y ) 
<P  ( y  +P.  x
) ) )
107, 9mtbii 634 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  -.  ( x  +P.  y )  <P  (
y  +P.  x )
)
11 ltsrprg 7291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  y ) 
<P  ( y  +P.  x
) ) )
1211anidms 389 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  ( x  +P.  y )  <P  (
y  +P.  x )
) )
1310, 12mtbird 633 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  -.  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  )
141, 4, 13ecoptocl 6377 . . . 4  |-  ( f  e.  R.  ->  -.  f  <R  f )
1514adantl 271 . . 3  |-  ( ( T.  /\  f  e. 
R. )  ->  -.  f  <R  f )
16 lttrsr 7306 . . . 4  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
( f  <R  g  /\  g  <R  h )  ->  f  <R  h
) )
1716adantl 271 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e. 
R. ) )  -> 
( ( f  <R 
g  /\  g  <R  h )  ->  f  <R  h ) )
1815, 17ispod 4131 . 2  |-  ( T. 
->  <R  Po  R. )
1918mptru 1298 1  |-  <R  Po  R.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289   T. wtru 1290    e. wcel 1438   <.cop 3449   class class class wbr 3845    Po wpo 4121  (class class class)co 5652   [cec 6288   P.cnp 6848    +P. cpp 6850    <P cltp 6852    ~R cer 6853   R.cnr 6854    <R cltr 6860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6290  df-ec 6292  df-qs 6296  df-ni 6861  df-pli 6862  df-mi 6863  df-lti 6864  df-plpq 6901  df-mpq 6902  df-enq 6904  df-nqqs 6905  df-plqqs 6906  df-mqqs 6907  df-1nqqs 6908  df-rq 6909  df-ltnqqs 6910  df-enq0 6981  df-nq0 6982  df-0nq0 6983  df-plq0 6984  df-mq0 6985  df-inp 7023  df-iplp 7025  df-iltp 7027  df-enr 7270  df-nr 7271  df-ltr 7274
This theorem is referenced by:  ltsosr  7308
  Copyright terms: Public domain W3C validator