Theorem ltposr 8074

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	|- <R Po R.

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables x y f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 8038	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> [ <. x , y >. ] ~R = f )
3	2, 2	breq12d 4121	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> f <R f ) )
4	3	notbid 673	. . . . 5 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> -. f <R f ) )
5		ltsopr 7907	. . . . . . . 8 |- <P Or P.
6		ltrelpr 7816	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
7	5, 6	soirri 5156	. . . . . . 7 |- -. ( x +P. y ) <P ( x +P. y )
8		addcomprg 7889	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. y ) = ( y +P. x ) )
9	8	breq2d 4120	. . . . . . 7 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. y ) <P ( x +P. y ) <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
10	7, 9	mtbii 681	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) )
11		ltsrprg 8058	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
12	11	anidms 397	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
13	10, 12	mtbird 680	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6855	. . . 4 |- ( f e. R. -> -. f <R f )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. R. ) -> -. f <R f )
16		lttrsr 8073	. . . 4 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
18	15, 17	ispod 4424	. 2 |- ( T. -> <R Po R. )
19	18	mptru 1407	1 |- <R Po R.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2203   <.cop 3691   class class class wbr 4108   Po wpo 4414  (class class class)co 6049   [cec 6764   P.cnp 7602   +P. cpp 7604   <P cltp 7606   ~R cer 7607   R.cnr 7608   <R cltr 7614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-eprel 4409  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-omul 6651  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7615  df-pli 7616  df-mi 7617  df-lti 7618  df-plpq 7655  df-mpq 7656  df-enq 7658  df-nqqs 7659  df-plqqs 7660  df-mqqs 7661  df-1nqqs 7662  df-rq 7663  df-ltnqqs 7664  df-enq0 7735  df-nq0 7736  df-0nq0 7737  df-plq0 7738  df-mq0 7739  df-inp 7777  df-iplp 7779  df-iltp 7781  df-enr 8037  df-nr 8038  df-ltr 8041

This theorem is referenced by:  ltsosr  8075