Theorem ltposr 7950

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	|- <R Po R.

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables x y f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7914	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> [ <. x , y >. ] ~R = f )
3	2, 2	breq12d 4096	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> f <R f ) )
4	3	notbid 671	. . . . 5 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> -. f <R f ) )
5		ltsopr 7783	. . . . . . . 8 |- <P Or P.
6		ltrelpr 7692	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
7	5, 6	soirri 5123	. . . . . . 7 |- -. ( x +P. y ) <P ( x +P. y )
8		addcomprg 7765	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. y ) = ( y +P. x ) )
9	8	breq2d 4095	. . . . . . 7 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. y ) <P ( x +P. y ) <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
10	7, 9	mtbii 678	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) )
11		ltsrprg 7934	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
12	11	anidms 397	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
13	10, 12	mtbird 677	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6769	. . . 4 |- ( f e. R. -> -. f <R f )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. R. ) -> -. f <R f )
16		lttrsr 7949	. . . 4 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
18	15, 17	ispod 4395	. 2 |- ( T. -> <R Po R. )
19	18	mptru 1404	1 |- <R Po R.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4083   Po wpo 4385  (class class class)co 6001   [cec 6678   P.cnp 7478   +P. cpp 7480   <P cltp 7482   ~R cer 7483   R.cnr 7484   <R cltr 7490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539  df-ltnqqs 7540  df-enq0 7611  df-nq0 7612  df-0nq0 7613  df-plq0 7614  df-mq0 7615  df-inp 7653  df-iplp 7655  df-iltp 7657  df-enr 7913  df-nr 7914  df-ltr 7917

This theorem is referenced by:  ltsosr  7951