Theorem ltposr 8124

Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltposr	|- <R Po R.

Proof of Theorem ltposr

Dummy variables x y f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 8088	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		id 19	. . . . . . 7 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> [ <. x , y >. ] ~R = f )
3	2, 2	breq12d 4141	. . . . . 6 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> f <R f ) )
4	3	notbid 677	. . . . 5 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = f -> ( -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> -. f <R f ) )
5		ltsopr 7957	. . . . . . . 8 |- <P Or P.
6		ltrelpr 7866	. . . . . . . 8 |- <P C_ ( P. X. P. )
7	5, 6	soirri 5180	. . . . . . 7 |- -. ( x +P. y ) <P ( x +P. y )
8		addcomprg 7939	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( x +P. y ) = ( y +P. x ) )
9	8	breq2d 4140	. . . . . . 7 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x +P. y ) <P ( x +P. y ) <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
10	7, 9	mtbii 685	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) )
11		ltsrprg 8108	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
12	11	anidms 401	. . . . . 6 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R <-> ( x +P. y ) <P ( y +P. x ) ) )
13	10, 12	mtbird 684	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> -. [ <. x , y >. ] ~R <R [ <. x , y >. ] ~R )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6890	. . . 4 |- ( f e. R. -> -. f <R f )
15	14	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ f e. R. ) -> -. f <R f )
16		lttrsr 8123	. . . 4 |- ( ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
17	16	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( f e. R. /\ g e. R. /\ h e. R. ) ) -> ( ( f <R g /\ g <R h ) -> f <R h ) )
18	15, 17	ispod 4447	. 2 |- ( T. -> <R Po R. )
19	18	mptru 1411	1 |- <R Po R.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   <.cop 3711   class class class wbr 4128   Po wpo 4437  (class class class)co 6079   [cec 6799   P.cnp 7652   +P. cpp 7654   <P cltp 7656   ~R cer 7657   R.cnr 7658   <R cltr 7664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-1o 6681  df-2o 6682  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-pli 7666  df-mi 7667  df-lti 7668  df-plpq 7705  df-mpq 7706  df-enq 7708  df-nqqs 7709  df-plqqs 7710  df-mqqs 7711  df-1nqqs 7712  df-rq 7713  df-ltnqqs 7714  df-enq0 7785  df-nq0 7786  df-0nq0 7787  df-plq0 7788  df-mq0 7789  df-inp 7827  df-iplp 7829  df-iltp 7831  df-enr 8087  df-nr 8088  df-ltr 8091

This theorem is referenced by:  ltsosr  8125