ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltposr Unicode version

Theorem ltposr 7535
Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltposr  |-  <R  Po  R.

Proof of Theorem ltposr
Dummy variables  x  y  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7499 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 id 19 . . . . . . 7  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  ->  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  =  f )
32, 2breq12d 3910 . . . . . 6  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  f  <R  f ) )
43notbid 639 . . . . 5  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  -> 
( -.  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  -.  f  <R  f ) )
5 ltsopr 7368 . . . . . . . 8  |-  <P  Or  P.
6 ltrelpr 7277 . . . . . . . 8  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
75, 6soirri 4901 . . . . . . 7  |-  -.  (
x  +P.  y )  <P  ( x  +P.  y
)
8 addcomprg 7350 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  +P.  y
)  =  ( y  +P.  x ) )
98breq2d 3909 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( x  +P.  y )  <P  (
x  +P.  y )  <->  ( x  +P.  y ) 
<P  ( y  +P.  x
) ) )
107, 9mtbii 646 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  -.  ( x  +P.  y )  <P  (
y  +P.  x )
)
11 ltsrprg 7519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  y ) 
<P  ( y  +P.  x
) ) )
1211anidms 392 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  ( x  +P.  y )  <P  (
y  +P.  x )
) )
1310, 12mtbird 645 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  -.  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  )
141, 4, 13ecoptocl 6482 . . . 4  |-  ( f  e.  R.  ->  -.  f  <R  f )
1514adantl 273 . . 3  |-  ( ( T.  /\  f  e. 
R. )  ->  -.  f  <R  f )
16 lttrsr 7534 . . . 4  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
( f  <R  g  /\  g  <R  h )  ->  f  <R  h
) )
1716adantl 273 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e. 
R. ) )  -> 
( ( f  <R 
g  /\  g  <R  h )  ->  f  <R  h ) )
1815, 17ispod 4194 . 2  |-  ( T. 
->  <R  Po  R. )
1918mptru 1323 1  |-  <R  Po  R.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314   T. wtru 1315    e. wcel 1463   <.cop 3498   class class class wbr 3897    Po wpo 4184  (class class class)co 5740   [cec 6393   P.cnp 7063    +P. cpp 7065    <P cltp 7067    ~R cer 7068   R.cnr 7069    <R cltr 7075
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238  df-iplp 7240  df-iltp 7242  df-enr 7498  df-nr 7499  df-ltr 7502
This theorem is referenced by:  ltsosr  7536
  Copyright terms: Public domain W3C validator