ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltposr Unicode version

Theorem ltposr 7750
Description: Signed real 'less than' is a partial order. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltposr  |-  <R  Po  R.

Proof of Theorem ltposr
Dummy variables  x  y  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 7714 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
2 id 19 . . . . . . 7  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  ->  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  =  f )
32, 2breq12d 4013 . . . . . 6  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  -> 
( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  f  <R  f ) )
43notbid 667 . . . . 5  |-  ( [
<. x ,  y >. ]  ~R  =  f  -> 
( -.  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  -.  f  <R  f ) )
5 ltsopr 7583 . . . . . . . 8  |-  <P  Or  P.
6 ltrelpr 7492 . . . . . . . 8  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
75, 6soirri 5019 . . . . . . 7  |-  -.  (
x  +P.  y )  <P  ( x  +P.  y
)
8 addcomprg 7565 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  +P.  y
)  =  ( y  +P.  x ) )
98breq2d 4012 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( x  +P.  y )  <P  (
x  +P.  y )  <->  ( x  +P.  y ) 
<P  ( y  +P.  x
) ) )
107, 9mtbii 674 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  -.  ( x  +P.  y )  <P  (
y  +P.  x )
)
11 ltsrprg 7734 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  /\  ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  y ) 
<P  ( y  +P.  x
) ) )
1211anidms 397 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  <->  ( x  +P.  y )  <P  (
y  +P.  x )
) )
1310, 12mtbird 673 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  -.  [ <. x ,  y >. ]  ~R  <R  [ <. x ,  y
>. ]  ~R  )
141, 4, 13ecoptocl 6616 . . . 4  |-  ( f  e.  R.  ->  -.  f  <R  f )
1514adantl 277 . . 3  |-  ( ( T.  /\  f  e. 
R. )  ->  -.  f  <R  f )
16 lttrsr 7749 . . . 4  |-  ( ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e.  R. )  ->  (
( f  <R  g  /\  g  <R  h )  ->  f  <R  h
) )
1716adantl 277 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  R.  /\  g  e.  R.  /\  h  e. 
R. ) )  -> 
( ( f  <R 
g  /\  g  <R  h )  ->  f  <R  h ) )
1815, 17ispod 4301 . 2  |-  ( T. 
->  <R  Po  R. )
1918mptru 1362 1  |-  <R  Po  R.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353   T. wtru 1354    e. wcel 2148   <.cop 3594   class class class wbr 4000    Po wpo 4291  (class class class)co 5869   [cec 6527   P.cnp 7278    +P. cpp 7280    <P cltp 7282    ~R cer 7283   R.cnr 7284    <R cltr 7290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7291  df-pli 7292  df-mi 7293  df-lti 7294  df-plpq 7331  df-mpq 7332  df-enq 7334  df-nqqs 7335  df-plqqs 7336  df-mqqs 7337  df-1nqqs 7338  df-rq 7339  df-ltnqqs 7340  df-enq0 7411  df-nq0 7412  df-0nq0 7413  df-plq0 7414  df-mq0 7415  df-inp 7453  df-iplp 7455  df-iltp 7457  df-enr 7713  df-nr 7714  df-ltr 7717
This theorem is referenced by:  ltsosr  7751
  Copyright terms: Public domain W3C validator