Theorem sotri 4929

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	|- R Or S
soi.2	|- R C_ ( S X. S )

Assertion

Ref	Expression
sotri	|- ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C )

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 |- R C_ ( S X. S )
2	1	brel 4586	. . . 4 |- ( A R B -> ( A e. S /\ B e. S ) )
3	2	simpld 111	. . 3 |- ( A R B -> A e. S )
4	1	brel 4586	. . 3 |- ( B R C -> ( B e. S /\ C e. S ) )
5	3, 4	anim12i 336	. 2 |- ( ( A R B /\ B R C ) -> ( A e. S /\ ( B e. S /\ C e. S ) ) )
6		soi.1	. . . 4 |- R Or S
7		sotr 4235	. . . 4 |- ( ( R Or S /\ ( A e. S /\ B e. S /\ C e. S ) ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
8	6, 7	mpan 420	. . 3 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ C e. S ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
9	8	3expb 1182	. 2 |- ( ( A e. S /\ ( B e. S /\ C e. S ) ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
10	5, 9	mpcom 36	1 |- ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 962   e. wcel 1480   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   Or wor 4212   X. cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540

This theorem is referenced by:  son2lpi  4930  ltsonq  7199  lt2addnq  7205  lt2mulnq  7206  ltbtwnnqq  7216  prarloclemarch2  7220  genplt2i  7311  addlocprlemgt  7335  nqprloc  7346  prmuloclemcalc  7366  ltsopr  7397  ltexprlemopl  7402  ltexprlemopu  7404  ltexprlemru  7413  prplnqu  7421  recexprlemlol  7427  recexprlemupu  7429  recexprlemdisj  7431  recexprlemss1l  7436  recexprlemss1u  7437  cauappcvgprlemopl  7447  cauappcvgprlemlol  7448  cauappcvgprlemupu  7450  cauappcvgprlemladdfu  7455  caucvgprlemk  7466  caucvgprlemnkj  7467  caucvgprlemnbj  7468  caucvgprlemm  7469  caucvgprlemopl  7470  caucvgprlemlol  7471  caucvgprlemupu  7473  caucvgprlemloc  7476  caucvgprlemladdfu  7478  caucvgprprlemk  7484  caucvgprprlemloccalc  7485  caucvgprprlemnkltj  7490  caucvgprprlemnkeqj  7491  caucvgprprlemnjltk  7492  caucvgprprlemnbj  7494  caucvgprprlemml  7495  caucvgprprlemopl  7498  caucvgprprlemlol  7499  caucvgprprlemupu  7501  lttrsr  7563  addgt0sr  7576  archsr  7583  caucvgsrlemcl  7590  caucvgsrlemfv  7592  suplocsrlemb  7607  suplocsrlempr  7608  suplocsrlem  7609  axpre-lttrn  7685