Theorem sotri 5183

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	|- R Or S
soi.2	|- R C_ ( S X. S )

Assertion

Ref	Expression
sotri	|- ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C )

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 |- R C_ ( S X. S )
2	1	brel 4827	. . . 4 |- ( A R B -> ( A e. S /\ B e. S ) )
3	2	simpld 112	. . 3 |- ( A R B -> A e. S )
4	1	brel 4827	. . 3 |- ( B R C -> ( B e. S /\ C e. S ) )
5	3, 4	anim12i 338	. 2 |- ( ( A R B /\ B R C ) -> ( A e. S /\ ( B e. S /\ C e. S ) ) )
6		soi.1	. . . 4 |- R Or S
7		sotr 4463	. . . 4 |- ( ( R Or S /\ ( A e. S /\ B e. S /\ C e. S ) ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
8	6, 7	mpan 428	. . 3 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ C e. S ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
9	8	3expb 1235	. 2 |- ( ( A e. S /\ ( B e. S /\ C e. S ) ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
10	5, 9	mpcom 36	1 |- ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   C_ wss 3220   class class class wbr 4130   Or wor 4440   X. cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780

This theorem is used by:  son2lpi  5184  ltsonq  7766  lt2addnq  7772  lt2mulnq  7773  ltbtwnnqq  7783  prarloclemarch2  7787  genplt2i  7878  addlocprlemgt  7902  nqprloc  7913  prmuloclemcalc  7933  ltsopr  7964  ltexprlemopl  7969  ltexprlemopu  7971  ltexprlemru  7980  prplnqu  7988  recexprlemlol  7994  recexprlemupu  7996  recexprlemdisj  7998  recexprlemss1l  8003  recexprlemss1u  8004  cauappcvgprlemopl  8014  cauappcvgprlemlol  8015  cauappcvgprlemupu  8017  cauappcvgprlemladdfu  8022  caucvgprlemk  8033  caucvgprlemnkj  8034  caucvgprlemnbj  8035  caucvgprlemm  8036  caucvgprlemopl  8037  caucvgprlemlol  8038  caucvgprlemupu  8040  caucvgprlemloc  8043  caucvgprlemladdfu  8045  caucvgprprlemk  8051  caucvgprprlemloccalc  8052  caucvgprprlemnkltj  8057  caucvgprprlemnkeqj  8058  caucvgprprlemnjltk  8059  caucvgprprlemnbj  8061  caucvgprprlemml  8062  caucvgprprlemopl  8065  caucvgprprlemlol  8066  caucvgprprlemupu  8068  lttrsr  8130  addgt0sr  8143  archsr  8150  caucvgsrlemcl  8157  caucvgsrlemfv  8159  suplocsrlemb  8174  suplocsrlempr  8175  suplocsrlem  8176  axpre-lttrn  8252