Theorem sotri 4942

Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	|- R Or S
soi.2	|- R C_ ( S X. S )

Assertion

Ref	Expression
sotri	|- ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C )

Proof of Theorem sotri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		soi.2	. . . . 5 |- R C_ ( S X. S )
2	1	brel 4599	. . . 4 |- ( A R B -> ( A e. S /\ B e. S ) )
3	2	simpld 111	. . 3 |- ( A R B -> A e. S )
4	1	brel 4599	. . 3 |- ( B R C -> ( B e. S /\ C e. S ) )
5	3, 4	anim12i 336	. 2 |- ( ( A R B /\ B R C ) -> ( A e. S /\ ( B e. S /\ C e. S ) ) )
6		soi.1	. . . 4 |- R Or S
7		sotr 4248	. . . 4 |- ( ( R Or S /\ ( A e. S /\ B e. S /\ C e. S ) ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
8	6, 7	mpan 421	. . 3 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ C e. S ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
9	8	3expb 1183	. 2 |- ( ( A e. S /\ ( B e. S /\ C e. S ) ) -> ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C ) )
10	5, 9	mpcom 36	1 |- ( ( A R B /\ B R C ) -> A R C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   e. wcel 1481   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   Or wor 4225   X. cxp 4545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553

This theorem is referenced by:  son2lpi  4943  ltsonq  7230  lt2addnq  7236  lt2mulnq  7237  ltbtwnnqq  7247  prarloclemarch2  7251  genplt2i  7342  addlocprlemgt  7366  nqprloc  7377  prmuloclemcalc  7397  ltsopr  7428  ltexprlemopl  7433  ltexprlemopu  7435  ltexprlemru  7444  prplnqu  7452  recexprlemlol  7458  recexprlemupu  7460  recexprlemdisj  7462  recexprlemss1l  7467  recexprlemss1u  7468  cauappcvgprlemopl  7478  cauappcvgprlemlol  7479  cauappcvgprlemupu  7481  cauappcvgprlemladdfu  7486  caucvgprlemk  7497  caucvgprlemnkj  7498  caucvgprlemnbj  7499  caucvgprlemm  7500  caucvgprlemopl  7501  caucvgprlemlol  7502  caucvgprlemupu  7504  caucvgprlemloc  7507  caucvgprlemladdfu  7509  caucvgprprlemk  7515  caucvgprprlemloccalc  7516  caucvgprprlemnkltj  7521  caucvgprprlemnkeqj  7522  caucvgprprlemnjltk  7523  caucvgprprlemnbj  7525  caucvgprprlemml  7526  caucvgprprlemopl  7529  caucvgprprlemlol  7530  caucvgprprlemupu  7532  lttrsr  7594  addgt0sr  7607  archsr  7614  caucvgsrlemcl  7621  caucvgsrlemfv  7623  suplocsrlemb  7638  suplocsrlempr  7639  suplocsrlem  7640  axpre-lttrn  7716