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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > genpdisj | Unicode version |
Description: The lower and upper cuts produced by addition or multiplication on positive reals are disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Oct-2019.) |
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genpelvl.1 |
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genpelvl.2 |
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genpdisj |
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1 | genpelvl.1 |
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3 | 1, 2 | genpelvl 7507 |
. . . . . . . 8
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4 | r2ex 2497 |
. . . . . . . 8
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5 | 3, 4 | bitrdi 196 |
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6 | 1, 2 | genpelvu 7508 |
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7 | r2ex 2497 |
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8 | 6, 7 | bitrdi 196 |
. . . . . . 7
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9 | 5, 8 | anbi12d 473 |
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10 | ee4anv 1934 |
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11 | 9, 10 | bitr4di 198 |
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12 | 11 | biimpa 296 |
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13 | an4 586 |
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14 | prop 7470 |
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15 | prltlu 7482 |
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16 | 15 | 3expib 1206 |
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18 | prop 7470 |
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20 | 19 | 3expib 1206 |
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22 | 17, 21 | im2anan9 598 |
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23 | genpdisj.ord |
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24 | genpdisj.com |
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25 | 23, 24 | genplt2i 7505 |
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26 | 22, 25 | syl6 33 |
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27 | 13, 26 | biimtrrid 153 |
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28 | 27 | imp 124 |
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29 | 28 | adantlr 477 |
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30 | 29 | adantrlr 485 |
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31 | 30 | adantrrr 487 |
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32 | eqtr2 2196 |
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33 | 32 | ad2ant2l 508 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 33 | adantl 277 |
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35 | ltsonq 7393 |
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36 | ltrelnq 7360 |
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37 | 35, 36 | soirri 5021 |
. . . . . . . . . 10
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38 | breq2 4006 |
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39 | 37, 38 | mtbii 674 |
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40 | 34, 39 | syl 14 |
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41 | 31, 40 | pm2.21fal 1373 |
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42 | 41 | ex 115 |
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43 | 42 | exlimdvv 1897 |
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44 | 43 | exlimdvv 1897 |
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45 | 12, 44 | mpd 13 |
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46 | 45 | inegd 1372 |
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47 | 46 | ralrimivw 2551 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4117 ax-sep 4120 ax-nul 4128 ax-pow 4173 ax-pr 4208 ax-un 4432 ax-setind 4535 ax-iinf 4586 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4003 df-opab 4064 df-mpt 4065 df-tr 4101 df-eprel 4288 df-id 4292 df-po 4295 df-iso 4296 df-iord 4365 df-on 4367 df-suc 4370 df-iom 4589 df-xp 4631 df-rel 4632 df-cnv 4633 df-co 4634 df-dm 4635 df-rn 4636 df-res 4637 df-ima 4638 df-iota 5176 df-fun 5216 df-fn 5217 df-f 5218 df-f1 5219 df-fo 5220 df-f1o 5221 df-fv 5222 df-ov 5874 df-oprab 5875 df-mpo 5876 df-1st 6137 df-2nd 6138 df-recs 6302 df-irdg 6367 df-oadd 6417 df-omul 6418 df-er 6531 df-ec 6533 df-qs 6537 df-ni 7299 df-mi 7301 df-lti 7302 df-enq 7342 df-nqqs 7343 df-ltnqqs 7348 df-inp 7461 |
This theorem is referenced by: addclpr 7532 mulclpr 7567 |
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