Theorem soirri 5025

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
soirri	⊢ ¬ 𝐴𝑅𝐴

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → 𝐴𝑅𝐴)
2		soi.1	. . 3 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
3		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
4	3	brel 4680	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
5	4	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		sonr 4319	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 𝐴𝑅𝐴)
7	2, 5, 6	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → ¬ 𝐴𝑅𝐴)
8	1, 7	pm2.65i 639	1 ⊢ ¬ 𝐴𝑅𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131   class class class wbr 4005   Or wor 4297   × cxp 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634

This theorem is referenced by:  son2lpi  5027  ltsonq  7399  genpdisj  7524  ltposr  7764  axpre-ltirr  7883