Theorem soirri 4928

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
soirri	⊢ ¬ 𝐴𝑅𝐴

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → 𝐴𝑅𝐴)
2		soi.1	. . 3 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
3		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
4	3	brel 4586	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
5	4	simpld 111	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		sonr 4234	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 𝐴𝑅𝐴)
7	2, 5, 6	sylancr 410	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → ¬ 𝐴𝑅𝐴)
8	1, 7	pm2.65i 628	1 ⊢ ¬ 𝐴𝑅𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3066   class class class wbr 3924   Or wor 4212   × cxp 4532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-po 4213  df-iso 4214  df-xp 4540

This theorem is referenced by:  son2lpi  4930  ltsonq  7199  genpdisj  7324  ltposr  7564  axpre-ltirr  7683