Theorem soirri 4780

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
soirri	⊢ ¬ 𝐴𝑅𝐴

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → 𝐴𝑅𝐴)
2		soi.1	. . 3 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
3		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
4	3	brel 4447	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
5	4	simpld 110	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		sonr 4107	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 𝐴𝑅𝐴)
7	2, 5, 6	sylancr 405	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → ¬ 𝐴𝑅𝐴)
8	1, 7	pm2.65i 601	1 ⊢ ¬ 𝐴𝑅𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1434   ⊆ wss 2984   class class class wbr 3811   Or wor 4085   × cxp 4398

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-br 3812  df-opab 3866  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4406

This theorem is referenced by:  son2lpi  4782  ltsonq  6859  genpdisj  6984  ltposr  7211  axpre-ltirr  7319