Theorem soirri 5082

Description: A strict order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
soi.1	⊢ 𝑅 Or 𝑆
soi.2	⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
soirri	⊢ ¬ 𝐴𝑅𝐴

Proof of Theorem soirri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → 𝐴𝑅𝐴)
2		soi.1	. . 3 ⊢ 𝑅 Or 𝑆
3		soi.2	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
4	3	brel 4731	. . . 4 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆))
5	4	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑆)
6		sonr 4368	. . 3 ⊢ ((𝑅 Or 𝑆 ∧ 𝐴 ∈ 𝑆) → ¬ 𝐴𝑅𝐴)
7	2, 5, 6	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐴 → ¬ 𝐴𝑅𝐴)
8	1, 7	pm2.65i 640	1 ⊢ ¬ 𝐴𝑅𝐴

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 2177   ⊆ wss 3167   class class class wbr 4047   Or wor 4346   × cxp 4677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-br 4048  df-opab 4110  df-po 4347  df-iso 4348  df-xp 4685

This theorem is referenced by:  son2lpi  5084  ltsonq  7518  genpdisj  7643  ltposr  7883  axpre-ltirr  8002