Theorem axpre-ltirr 7942

Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 7984. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltirr	|- ( A e. RR -> -. A <RR A )

Proof of Theorem axpre-ltirr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7888	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		df-rex 2478	. . 3 |- ( E. x e. R. <. x , 0R >. = A <-> E. x ( x e. R. /\ <. x , 0R >. = A ) )
3	1, 2	bitri 184	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x ( x e. R. /\ <. x , 0R >. = A ) )
4		id 19	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> <. x , 0R >. = A )
5	4, 4	breq12d 4042	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> A <RR A ) )
6	5	notbid 668	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( -. <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> -. A <RR A ) )
7		ltsosr 7824	. . . . 5 |- <R Or R.
8		ltrelsr 7798	. . . . 5 |- <R C_ ( R. X. R. )
9	7, 8	soirri 5060	. . . 4 |- -. x <R x
10		ltresr 7899	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> x <R x )
11	9, 10	mtbir 672	. . 3 |- -. <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >.
12	11	a1i 9	. 2 |- ( x e. R. -> -. <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. )
13	3, 6, 12	gencl 2792	1 |- ( A e. RR -> -. A <RR A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   <.cop 3621   class class class wbr 4029   R.cnr 7357   0Rc0r 7358   <R cltr 7363   RRcr 7871   <RR cltrr 7876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-iltp 7530  df-enr 7786  df-nr 7787  df-ltr 7790  df-0r 7791  df-r 7882  df-lt 7885

This theorem is referenced by: (None)