ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-ltirr Unicode version

Theorem axpre-ltirr 7844
Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 7886. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltirr  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <RR  A )

Proof of Theorem axpre-ltirr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7790 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 df-rex 2454 . . 3  |-  ( E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A  <->  E. x ( x  e. 
R.  /\  <. x ,  0R >.  =  A
) )
31, 2bitri 183 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x
( x  e.  R.  /\ 
<. x ,  0R >.  =  A ) )
4 id 19 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  <. x ,  0R >.  =  A
)
54, 4breq12d 4002 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  A  <RR  A ) )
65notbid 662 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( -.  <.
x ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  -.  A  <RR  A ) )
7 ltsosr 7726 . . . . 5  |-  <R  Or  R.
8 ltrelsr 7700 . . . . 5  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
97, 8soirri 5005 . . . 4  |-  -.  x  <R  x
10 ltresr 7801 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  x  <R  x )
119, 10mtbir 666 . . 3  |-  -.  <. x ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.
1211a1i 9 . 2  |-  ( x  e.  R.  ->  -.  <.
x ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )
133, 6, 12gencl 2762 1  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <RR  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   E.wrex 2449   <.cop 3586   class class class wbr 3989   R.cnr 7259   0Rc0r 7260    <R cltr 7265   RRcr 7773    <RR cltrr 7778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-iltp 7432  df-enr 7688  df-nr 7689  df-ltr 7692  df-0r 7693  df-r 7784  df-lt 7787
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator