Theorem axpre-ltirr 7514

Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 7554. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltirr	|- ( A e. RR -> -. A <RR A )

Proof of Theorem axpre-ltirr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7463	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		df-rex 2376	. . 3 |- ( E. x e. R. <. x , 0R >. = A <-> E. x ( x e. R. /\ <. x , 0R >. = A ) )
3	1, 2	bitri 183	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x ( x e. R. /\ <. x , 0R >. = A ) )
4		id 19	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> <. x , 0R >. = A )
5	4, 4	breq12d 3880	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> A <RR A ) )
6	5	notbid 630	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( -. <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> -. A <RR A ) )
7		ltsosr 7407	. . . . 5 |- <R Or R.
8		ltrelsr 7381	. . . . 5 |- <R C_ ( R. X. R. )
9	7, 8	soirri 4859	. . . 4 |- -. x <R x
10		ltresr 7473	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> x <R x )
11	9, 10	mtbir 634	. . 3 |- -. <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >.
12	11	a1i 9	. 2 |- ( x e. R. -> -. <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. )
13	3, 6, 12	gencl 2665	1 |- ( A e. RR -> -. A <RR A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   E.wex 1433   e. wcel 1445   E.wrex 2371   <.cop 3469   class class class wbr 3867   R.cnr 6953   0Rc0r 6954   <R cltr 6959   RRcr 7446   <RR cltrr 7451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-2o 6220  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009  df-enq0 7080  df-nq0 7081  df-0nq0 7082  df-plq0 7083  df-mq0 7084  df-inp 7122  df-i1p 7123  df-iplp 7124  df-iltp 7126  df-enr 7369  df-nr 7370  df-ltr 7373  df-0r 7374  df-r 7457  df-lt 7460

This theorem is referenced by: (None)