Theorem axpre-ltirr 8092

Description: Real number less-than is irreflexive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltirr 8134. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jan-2020.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-ltirr	|- ( A e. RR -> -. A <RR A )

Proof of Theorem axpre-ltirr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 8038	. . 3 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		df-rex 2514	. . 3 |- ( E. x e. R. <. x , 0R >. = A <-> E. x ( x e. R. /\ <. x , 0R >. = A ) )
3	1, 2	bitri 184	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x ( x e. R. /\ <. x , 0R >. = A ) )
4		id 19	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> <. x , 0R >. = A )
5	4, 4	breq12d 4099	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> A <RR A ) )
6	5	notbid 671	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( -. <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> -. A <RR A ) )
7		ltsosr 7974	. . . . 5 |- <R Or R.
8		ltrelsr 7948	. . . . 5 |- <R C_ ( R. X. R. )
9	7, 8	soirri 5129	. . . 4 |- -. x <R x
10		ltresr 8049	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. <-> x <R x )
11	9, 10	mtbir 675	. . 3 |- -. <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >.
12	11	a1i 9	. 2 |- ( x e. R. -> -. <. x , 0R >. <RR <. x , 0R >. )
13	3, 6, 12	gencl 2833	1 |- ( A e. RR -> -. A <RR A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   E.wrex 2509   <.cop 3670   class class class wbr 4086   R.cnr 7507   0Rc0r 7508   <R cltr 7513   RRcr 8021   <RR cltrr 8026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-1o 6577  df-2o 6578  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-pli 7515  df-mi 7516  df-lti 7517  df-plpq 7554  df-mpq 7555  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-plqqs 7559  df-mqqs 7560  df-1nqqs 7561  df-rq 7562  df-ltnqqs 7563  df-enq0 7634  df-nq0 7635  df-0nq0 7636  df-plq0 7637  df-mq0 7638  df-inp 7676  df-i1p 7677  df-iplp 7678  df-iltp 7680  df-enr 7936  df-nr 7937  df-ltr 7940  df-0r 7941  df-r 8032  df-lt 8035

This theorem is referenced by: (None)