Theorem brel 4807

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	|- R C_ ( C X. D )

Assertion

Ref	Expression
brel	|- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 |- R C_ ( C X. D )
2	1	ssbri 4159	. 2 |- ( A R B -> A ( C X. D ) B )
3		brxp 4785	. 2 |- ( A ( C X. D ) B <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
4	2, 3	sylib 122	1 |- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   X. cxp 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760

This theorem is referenced by:  brab2a  4808  brab2ga  4830  soirri  5162  sotri  5163  sotri2  5165  sotri3  5166  swoer  6808  ecopovsym  6878  ecopovtrn  6879  ecopovsymg  6881  ecopovtrng  6882  ltanqi  7733  ltmnqi  7734  ltexnqi  7740  ltbtwnnqq  7746  ltbtwnnq  7747  ltrnqi  7752  prcdnql  7815  prcunqu  7816  prnmaxl  7819  prnminu  7820  prloc  7822  prarloclemcalc  7833  genplt2i  7841  genpcdl  7850  genpcuu  7851  addnqprllem  7858  addnqprulem  7859  addlocprlemlt  7862  addlocprlemeq  7864  addlocprlemgt  7865  addlocprlem  7866  nqprxx  7877  ltnqex  7880  gtnqex  7881  addnqprlemrl  7888  addnqprlemru  7889  addnqprlemfl  7890  addnqprlemfu  7891  appdivnq  7894  prmuloclemcalc  7896  prmuloc  7897  mulnqprlemrl  7904  mulnqprlemru  7905  mulnqprlemfl  7906  mulnqprlemfu  7907  ltprordil  7920  1idprl  7921  1idpru  7922  ltnqpri  7925  ltexprlemm  7931  ltexprlemopl  7932  ltexprlemlol  7933  ltexprlemopu  7934  ltexprlemupu  7935  ltexprlemdisj  7937  ltexprlemloc  7938  ltexprlemfl  7940  ltexprlemrl  7941  ltexprlemfu  7942  ltexprlemru  7943  ltexpri  7944  lteupri  7948  ltaprlem  7949  recexprlemell  7953  recexprlemelu  7954  recexprlemloc  7962  recexprlempr  7963  recexprlem1ssl  7964  recexprlem1ssu  7965  recexprlemss1l  7966  recexprlemss1u  7967  cauappcvgprlemm  7976  cauappcvgprlemlol  7978  cauappcvgprlemupu  7980  cauappcvgprlemladdfu  7985  cauappcvgprlemladdfl  7986  caucvgprlemk  7996  caucvgprlemm  7999  caucvgprlemlol  8001  caucvgprlemupu  8003  caucvgprlemladdfu  8008  caucvgprlem1  8010  caucvgprlem2  8011  caucvgprprlemk  8014  caucvgprprlemloccalc  8015  caucvgprprlemval  8019  caucvgprprlemml  8025  caucvgprprlemlol  8029  caucvgprprlemupu  8031  caucvgprprlemloc  8034  caucvgprprlem1  8040  caucvgprprlem2  8041  suplocexprlemss  8046  suplocexprlemrl  8048  suplocexprlemru  8050  suplocexprlemlub  8055  gt0srpr  8079  recexgt0sr  8104  addgt0sr  8106  mulgt0sr  8109  caucvgsrlemasr  8121  map2psrprg  8136  suplocsrlem  8139  suplocsr  8140  ltresr  8170  ltrenn  8186  dvdszrcl  12503