Theorem brel 4784

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	|- R C_ ( C X. D )

Assertion

Ref	Expression
brel	|- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 |- R C_ ( C X. D )
2	1	ssbri 4138	. 2 |- ( A R B -> A ( C X. D ) B )
3		brxp 4762	. 2 |- ( A ( C X. D ) B <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
4	2, 3	sylib 122	1 |- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   X. cxp 4729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737

This theorem is referenced by:  brab2a  4785  brab2ga  4807  soirri  5138  sotri  5139  sotri2  5141  sotri3  5142  swoer  6773  ecopovsym  6843  ecopovtrn  6844  ecopovsymg  6846  ecopovtrng  6847  ltanqi  7665  ltmnqi  7666  ltexnqi  7672  ltbtwnnqq  7678  ltbtwnnq  7679  ltrnqi  7684  prcdnql  7747  prcunqu  7748  prnmaxl  7751  prnminu  7752  prloc  7754  prarloclemcalc  7765  genplt2i  7773  genpcdl  7782  genpcuu  7783  addnqprllem  7790  addnqprulem  7791  addlocprlemlt  7794  addlocprlemeq  7796  addlocprlemgt  7797  addlocprlem  7798  nqprxx  7809  ltnqex  7812  gtnqex  7813  addnqprlemrl  7820  addnqprlemru  7821  addnqprlemfl  7822  addnqprlemfu  7823  appdivnq  7826  prmuloclemcalc  7828  prmuloc  7829  mulnqprlemrl  7836  mulnqprlemru  7837  mulnqprlemfl  7838  mulnqprlemfu  7839  ltprordil  7852  1idprl  7853  1idpru  7854  ltnqpri  7857  ltexprlemm  7863  ltexprlemopl  7864  ltexprlemlol  7865  ltexprlemopu  7866  ltexprlemupu  7867  ltexprlemdisj  7869  ltexprlemloc  7870  ltexprlemfl  7872  ltexprlemrl  7873  ltexprlemfu  7874  ltexprlemru  7875  ltexpri  7876  lteupri  7880  ltaprlem  7881  recexprlemell  7885  recexprlemelu  7886  recexprlemloc  7894  recexprlempr  7895  recexprlem1ssl  7896  recexprlem1ssu  7897  recexprlemss1l  7898  recexprlemss1u  7899  cauappcvgprlemm  7908  cauappcvgprlemlol  7910  cauappcvgprlemupu  7912  cauappcvgprlemladdfu  7917  cauappcvgprlemladdfl  7918  caucvgprlemk  7928  caucvgprlemm  7931  caucvgprlemlol  7933  caucvgprlemupu  7935  caucvgprlemladdfu  7940  caucvgprlem1  7942  caucvgprlem2  7943  caucvgprprlemk  7946  caucvgprprlemloccalc  7947  caucvgprprlemval  7951  caucvgprprlemml  7957  caucvgprprlemlol  7961  caucvgprprlemupu  7963  caucvgprprlemloc  7966  caucvgprprlem1  7972  caucvgprprlem2  7973  suplocexprlemss  7978  suplocexprlemrl  7980  suplocexprlemru  7982  suplocexprlemlub  7987  gt0srpr  8011  recexgt0sr  8036  addgt0sr  8038  mulgt0sr  8041  caucvgsrlemasr  8053  map2psrprg  8068  suplocsrlem  8071  suplocsr  8072  ltresr  8102  ltrenn  8118  dvdszrcl  12416