Theorem brel 4771

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	|- R C_ ( C X. D )

Assertion

Ref	Expression
brel	|- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 |- R C_ ( C X. D )
2	1	ssbri 4128	. 2 |- ( A R B -> A ( C X. D ) B )
3		brxp 4750	. 2 |- ( A ( C X. D ) B <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
4	2, 3	sylib 122	1 |- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   X. cxp 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725

This theorem is referenced by:  brab2a  4772  brab2ga  4794  soirri  5123  sotri  5124  sotri2  5126  sotri3  5127  swoer  6716  ecopovsym  6786  ecopovtrn  6787  ecopovsymg  6789  ecopovtrng  6790  ltanqi  7600  ltmnqi  7601  ltexnqi  7607  ltbtwnnqq  7613  ltbtwnnq  7614  ltrnqi  7619  prcdnql  7682  prcunqu  7683  prnmaxl  7686  prnminu  7687  prloc  7689  prarloclemcalc  7700  genplt2i  7708  genpcdl  7717  genpcuu  7718  addnqprllem  7725  addnqprulem  7726  addlocprlemlt  7729  addlocprlemeq  7731  addlocprlemgt  7732  addlocprlem  7733  nqprxx  7744  ltnqex  7747  gtnqex  7748  addnqprlemrl  7755  addnqprlemru  7756  addnqprlemfl  7757  addnqprlemfu  7758  appdivnq  7761  prmuloclemcalc  7763  prmuloc  7764  mulnqprlemrl  7771  mulnqprlemru  7772  mulnqprlemfl  7773  mulnqprlemfu  7774  ltprordil  7787  1idprl  7788  1idpru  7789  ltnqpri  7792  ltexprlemm  7798  ltexprlemopl  7799  ltexprlemlol  7800  ltexprlemopu  7801  ltexprlemupu  7802  ltexprlemdisj  7804  ltexprlemloc  7805  ltexprlemfl  7807  ltexprlemrl  7808  ltexprlemfu  7809  ltexprlemru  7810  ltexpri  7811  lteupri  7815  ltaprlem  7816  recexprlemell  7820  recexprlemelu  7821  recexprlemloc  7829  recexprlempr  7830  recexprlem1ssl  7831  recexprlem1ssu  7832  recexprlemss1l  7833  recexprlemss1u  7834  cauappcvgprlemm  7843  cauappcvgprlemlol  7845  cauappcvgprlemupu  7847  cauappcvgprlemladdfu  7852  cauappcvgprlemladdfl  7853  caucvgprlemk  7863  caucvgprlemm  7866  caucvgprlemlol  7868  caucvgprlemupu  7870  caucvgprlemladdfu  7875  caucvgprlem1  7877  caucvgprlem2  7878  caucvgprprlemk  7881  caucvgprprlemloccalc  7882  caucvgprprlemval  7886  caucvgprprlemml  7892  caucvgprprlemlol  7896  caucvgprprlemupu  7898  caucvgprprlemloc  7901  caucvgprprlem1  7907  caucvgprprlem2  7908  suplocexprlemss  7913  suplocexprlemrl  7915  suplocexprlemru  7917  suplocexprlemlub  7922  gt0srpr  7946  recexgt0sr  7971  addgt0sr  7973  mulgt0sr  7976  caucvgsrlemasr  7988  map2psrprg  8003  suplocsrlem  8006  suplocsr  8007  ltresr  8037  ltrenn  8053  dvdszrcl  12318