Theorem brel 4678

Description: Two things in a binary relation belong to the relation's domain. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
brel.1	|- R C_ ( C X. D )

Assertion

Ref	Expression
brel	|- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Proof of Theorem brel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brel.1	. . 3 |- R C_ ( C X. D )
2	1	ssbri 4047	. 2 |- ( A R B -> A ( C X. D ) B )
3		brxp 4657	. 2 |- ( A ( C X. D ) B <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
4	2, 3	sylib 122	1 |- ( A R B -> ( A e. C /\ B e. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   C_ wss 3129   class class class wbr 4003   X. cxp 4624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632

This theorem is referenced by:  brab2a  4679  brab2ga  4701  soirri  5023  sotri  5024  sotri2  5026  sotri3  5027  swoer  6562  ecopovsym  6630  ecopovtrn  6631  ecopovsymg  6633  ecopovtrng  6634  ltanqi  7400  ltmnqi  7401  ltexnqi  7407  ltbtwnnqq  7413  ltbtwnnq  7414  ltrnqi  7419  prcdnql  7482  prcunqu  7483  prnmaxl  7486  prnminu  7487  prloc  7489  prarloclemcalc  7500  genplt2i  7508  genpcdl  7517  genpcuu  7518  addnqprllem  7525  addnqprulem  7526  addlocprlemlt  7529  addlocprlemeq  7531  addlocprlemgt  7532  addlocprlem  7533  nqprxx  7544  ltnqex  7547  gtnqex  7548  addnqprlemrl  7555  addnqprlemru  7556  addnqprlemfl  7557  addnqprlemfu  7558  appdivnq  7561  prmuloclemcalc  7563  prmuloc  7564  mulnqprlemrl  7571  mulnqprlemru  7572  mulnqprlemfl  7573  mulnqprlemfu  7574  ltprordil  7587  1idprl  7588  1idpru  7589  ltnqpri  7592  ltexprlemm  7598  ltexprlemopl  7599  ltexprlemlol  7600  ltexprlemopu  7601  ltexprlemupu  7602  ltexprlemdisj  7604  ltexprlemloc  7605  ltexprlemfl  7607  ltexprlemrl  7608  ltexprlemfu  7609  ltexprlemru  7610  ltexpri  7611  lteupri  7615  ltaprlem  7616  recexprlemell  7620  recexprlemelu  7621  recexprlemloc  7629  recexprlempr  7630  recexprlem1ssl  7631  recexprlem1ssu  7632  recexprlemss1l  7633  recexprlemss1u  7634  cauappcvgprlemm  7643  cauappcvgprlemlol  7645  cauappcvgprlemupu  7647  cauappcvgprlemladdfu  7652  cauappcvgprlemladdfl  7653  caucvgprlemk  7663  caucvgprlemm  7666  caucvgprlemlol  7668  caucvgprlemupu  7670  caucvgprlemladdfu  7675  caucvgprlem1  7677  caucvgprlem2  7678  caucvgprprlemk  7681  caucvgprprlemloccalc  7682  caucvgprprlemval  7686  caucvgprprlemml  7692  caucvgprprlemlol  7696  caucvgprprlemupu  7698  caucvgprprlemloc  7701  caucvgprprlem1  7707  caucvgprprlem2  7708  suplocexprlemss  7713  suplocexprlemrl  7715  suplocexprlemru  7717  suplocexprlemlub  7722  gt0srpr  7746  recexgt0sr  7771  addgt0sr  7773  mulgt0sr  7776  caucvgsrlemasr  7788  map2psrprg  7803  suplocsrlem  7806  suplocsr  7807  ltresr  7837  ltrenn  7853  dvdszrcl  11798