Theorem ltsonq 7397

Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltsonq	|- <Q Or Q.

Proof of Theorem ltsonq

Dummy variables a b c d e f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7347	. . . . . 6 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		id 19	. . . . . . . 8 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> [ <. z , w >. ] ~Q = x )
3	2, 2	breq12d 4017	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> x <Q x ) )
4	3	notbid 667	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> -. x <Q x ) )
5		ltsopi 7319	. . . . . . . 8 |- <N Or N.
6		ltrelpi 7323	. . . . . . . 8 |- <N C_ ( N. X. N. )
7	5, 6	soirri 5024	. . . . . . 7 |- -. ( w .N z ) <N ( w .N z )
8		ordpipqqs 7373	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
9	8	anidms 397	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
10		mulcompig 7330	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N w ) = ( w .N z ) )
11	10	breq1d 4014	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z .N w ) <N ( w .N z ) <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
12	9, 11	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
13	7, 12	mtbiri 675	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6622	. . . . 5 |- ( x e. Q. -> -. x <Q x )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. Q. ) -> -. x <Q x )
16		breq1 4007	. . . . . . . 8 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) )
17	16	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
18		breq1 4007	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
20		breq2 4008	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q y ) )
21		breq1 4007	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
22	20, 21	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
24		breq2 4008	. . . . . . . 8 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( y <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q z ) )
25	24	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q z ) ) )
26		breq2 4008	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( x <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q z ) )
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) ) )
28		ordpipqqs 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
29	28	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
30		simp1l 1021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> a e. N. )
31		simp2r 1024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> d e. N. )
32		mulclpi 7327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. N. /\ d e. N. ) -> ( a .N d ) e. N. )
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N d ) e. N. )
34		simp1r 1022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> b e. N. )
35		simp2l 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> c e. N. )
36		mulclpi 7327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. N. /\ c e. N. ) -> ( b .N c ) e. N. )
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N c ) e. N. )
38		simp3r 1026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> f e. N. )
39		mulclpi 7327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. N. /\ f e. N. ) -> ( c .N f ) e. N. )
40	35, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N f ) e. N. )
41		ltmpig 7338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a .N d ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. /\ ( c .N f ) e. N. ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
43	29, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
44	43	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
45	44	adantrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
46		mulcompig 7330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
47	40, 37, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
49	45, 48	breqtrd 4030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
50		ordpipqqs 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
51	50	3adant1 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
52		simp3l 1025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> e e. N. )
53		mulclpi 7327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( d e. N. /\ e e. N. ) -> ( d .N e ) e. N. )
54	31, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( d .N e ) e. N. )
55		ltmpig 7338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( d .N e ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
56	40, 54, 37, 55	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
57	51, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
58	57	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
59	58	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
60	5, 6	sotri 5025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) /\ ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
61	49, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
62		mulcompig 7330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
64		mulasspig 7331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
66		mulclpi 7327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
68	35, 31, 30, 63, 65, 38, 67	caov411d 6060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) )
69	63, 33, 40	caovcomd 6031	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
70	68, 69	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
71	35, 31, 34, 63, 65, 52, 67	caov4d 6059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) )
72	63, 35, 34	caovcomd 6031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N b ) = ( b .N c ) )
73	72	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
74	71, 73	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
75	70, 74	breq12d 4017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
77	61, 76	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) )
78		mulclpi 7327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. N. /\ f e. N. ) -> ( a .N f ) e. N. )
79	30, 38, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N f ) e. N. )
80		mulclpi 7327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. N. /\ e e. N. ) -> ( b .N e ) e. N. )
81	34, 52, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N e ) e. N. )
82		mulclpi 7327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. N. /\ d e. N. ) -> ( c .N d ) e. N. )
83	35, 31, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N d ) e. N. )
84		ltmpig 7338	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a .N f ) e. N. /\ ( b .N e ) e. N. /\ ( c .N d ) e. N. ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
86	85	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
87	77, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( a .N f ) <N ( b .N e ) )
88		ordpipqqs 7373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
89	88	3adant2 1016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
91	87, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q )
92	91	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
93	1, 19, 23, 27, 92	3ecoptocl 6624	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
94	93	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
95	15, 94	ispod 4305	. . 3 |- ( T. -> <Q Po Q. )
96		nqtri3or 7395	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
97	96	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
98	95, 97	issod 4320	. 2 |- ( T. -> <Q Or Q. )
99	98	mptru 1362	1 |- <Q Or Q.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 977   /\ w3a 978   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   <.cop 3596   class class class wbr 4004   Or wor 4296  (class class class)co 5875   [cec 6533   N.cnpi 7271   .N cmi 7273   <N clti 7274   ~Q ceq 7278   Q.cnq 7279   <Q cltq 7284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-lti 7306  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-ltnqqs 7352

This theorem is referenced by:  nqtric  7398  lt2addnq  7403  lt2mulnq  7404  ltbtwnnqq  7414  prarloclemarch2  7418  genplt2i  7509  genpdisj  7522  addlocprlemgt  7533  nqprdisj  7543  nqprloc  7544  addnqprlemfl  7558  addnqprlemfu  7559  prmuloclemcalc  7564  mulnqprlemfl  7574  mulnqprlemfu  7575  distrlem4prl  7583  distrlem4pru  7584  ltsopr  7595  ltexprlemopl  7600  ltexprlemopu  7602  ltexprlemdisj  7605  ltexprlemru  7611  recexprlemlol  7625  recexprlemupu  7627  recexprlemdisj  7629  recexprlemss1l  7634  recexprlemss1u  7635  cauappcvgprlemopl  7645  cauappcvgprlemlol  7646  cauappcvgprlemupu  7648  cauappcvgprlemdisj  7650  cauappcvgprlemloc  7651  cauappcvgprlemladdfu  7653  cauappcvgprlemladdru  7655  cauappcvgprlemladdrl  7656  caucvgprlemk  7664  caucvgprlemnkj  7665  caucvgprlemnbj  7666  caucvgprlemm  7667  caucvgprlemopl  7668  caucvgprlemlol  7669  caucvgprlemupu  7671  caucvgprlemloc  7674  caucvgprlemladdfu  7676  caucvgprprlemloccalc  7683  caucvgprprlemml  7693  caucvgprprlemopl  7696  suplocexprlemru  7718