Theorem ltsonq 7661

Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltsonq	|- <Q Or Q.

Proof of Theorem ltsonq

Dummy variables a b c d e f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7611	. . . . . 6 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		id 19	. . . . . . . 8 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> [ <. z , w >. ] ~Q = x )
3	2, 2	breq12d 4106	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> x <Q x ) )
4	3	notbid 673	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> -. x <Q x ) )
5		ltsopi 7583	. . . . . . . 8 |- <N Or N.
6		ltrelpi 7587	. . . . . . . 8 |- <N C_ ( N. X. N. )
7	5, 6	soirri 5138	. . . . . . 7 |- -. ( w .N z ) <N ( w .N z )
8		ordpipqqs 7637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
9	8	anidms 397	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
10		mulcompig 7594	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N w ) = ( w .N z ) )
11	10	breq1d 4103	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z .N w ) <N ( w .N z ) <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
12	9, 11	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
13	7, 12	mtbiri 682	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6834	. . . . 5 |- ( x e. Q. -> -. x <Q x )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. Q. ) -> -. x <Q x )
16		breq1 4096	. . . . . . . 8 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) )
17	16	anbi1d 465	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
18		breq1 4096	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
20		breq2 4097	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q y ) )
21		breq1 4096	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
22	20, 21	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
24		breq2 4097	. . . . . . . 8 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( y <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q z ) )
25	24	anbi2d 464	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q z ) ) )
26		breq2 4097	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( x <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q z ) )
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) ) )
28		ordpipqqs 7637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
29	28	3adant3 1044	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
30		simp1l 1048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> a e. N. )
31		simp2r 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> d e. N. )
32		mulclpi 7591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. N. /\ d e. N. ) -> ( a .N d ) e. N. )
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N d ) e. N. )
34		simp1r 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> b e. N. )
35		simp2l 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> c e. N. )
36		mulclpi 7591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. N. /\ c e. N. ) -> ( b .N c ) e. N. )
37	34, 35, 36	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N c ) e. N. )
38		simp3r 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> f e. N. )
39		mulclpi 7591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. N. /\ f e. N. ) -> ( c .N f ) e. N. )
40	35, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N f ) e. N. )
41		ltmpig 7602	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a .N d ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. /\ ( c .N f ) e. N. ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
43	29, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
44	43	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
45	44	adantrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
46		mulcompig 7594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
47	40, 37, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
49	45, 48	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
50		ordpipqqs 7637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
51	50	3adant1 1042	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
52		simp3l 1052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> e e. N. )
53		mulclpi 7591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( d e. N. /\ e e. N. ) -> ( d .N e ) e. N. )
54	31, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( d .N e ) e. N. )
55		ltmpig 7602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( d .N e ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
56	40, 54, 37, 55	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
57	51, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
58	57	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
59	58	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
60	5, 6	sotri 5139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) /\ ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
61	49, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
62		mulcompig 7594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
64		mulasspig 7595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
66		mulclpi 7591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
68	35, 31, 30, 63, 65, 38, 67	caov411d 6218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) )
69	63, 33, 40	caovcomd 6189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
70	68, 69	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
71	35, 31, 34, 63, 65, 52, 67	caov4d 6217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) )
72	63, 35, 34	caovcomd 6189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N b ) = ( b .N c ) )
73	72	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
74	71, 73	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
75	70, 74	breq12d 4106	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
77	61, 76	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) )
78		mulclpi 7591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. N. /\ f e. N. ) -> ( a .N f ) e. N. )
79	30, 38, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N f ) e. N. )
80		mulclpi 7591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. N. /\ e e. N. ) -> ( b .N e ) e. N. )
81	34, 52, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N e ) e. N. )
82		mulclpi 7591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. N. /\ d e. N. ) -> ( c .N d ) e. N. )
83	35, 31, 82	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N d ) e. N. )
84		ltmpig 7602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a .N f ) e. N. /\ ( b .N e ) e. N. /\ ( c .N d ) e. N. ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
86	85	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
87	77, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( a .N f ) <N ( b .N e ) )
88		ordpipqqs 7637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
89	88	3adant2 1043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
91	87, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q )
92	91	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
93	1, 19, 23, 27, 92	3ecoptocl 6836	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
94	93	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
95	15, 94	ispod 4407	. . 3 |- ( T. -> <Q Po Q. )
96		nqtri3or 7659	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
97	96	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
98	95, 97	issod 4422	. 2 |- ( T. -> <Q Or Q. )
99	98	mptru 1407	1 |- <Q Or Q.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1004   /\ w3a 1005   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   <.cop 3676   class class class wbr 4093   Or wor 4398  (class class class)co 6028   [cec 6743   N.cnpi 7535   .N cmi 7537   <N clti 7538   ~Q ceq 7542   Q.cnq 7543   <Q cltq 7548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-mi 7569  df-lti 7570  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-ltnqqs 7616

This theorem is referenced by:  nqtric  7662  lt2addnq  7667  lt2mulnq  7668  ltbtwnnqq  7678  prarloclemarch2  7682  genplt2i  7773  genpdisj  7786  addlocprlemgt  7797  nqprdisj  7807  nqprloc  7808  addnqprlemfl  7822  addnqprlemfu  7823  prmuloclemcalc  7828  mulnqprlemfl  7838  mulnqprlemfu  7839  distrlem4prl  7847  distrlem4pru  7848  ltsopr  7859  ltexprlemopl  7864  ltexprlemopu  7866  ltexprlemdisj  7869  ltexprlemru  7875  recexprlemlol  7889  recexprlemupu  7891  recexprlemdisj  7893  recexprlemss1l  7898  recexprlemss1u  7899  cauappcvgprlemopl  7909  cauappcvgprlemlol  7910  cauappcvgprlemupu  7912  cauappcvgprlemdisj  7914  cauappcvgprlemloc  7915  cauappcvgprlemladdfu  7917  cauappcvgprlemladdru  7919  cauappcvgprlemladdrl  7920  caucvgprlemk  7928  caucvgprlemnkj  7929  caucvgprlemnbj  7930  caucvgprlemm  7931  caucvgprlemopl  7932  caucvgprlemlol  7933  caucvgprlemupu  7935  caucvgprlemloc  7938  caucvgprlemladdfu  7940  caucvgprprlemloccalc  7947  caucvgprprlemml  7957  caucvgprprlemopl  7960  suplocexprlemru  7982