ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsonq Unicode version

Theorem ltsonq 7229
Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltsonq  |-  <Q  Or  Q.

Proof of Theorem ltsonq
Dummy variables  a  b  c  d  e  f  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7179 . . . . . 6  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  x  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  x )
32, 2breq12d 3949 . . . . . . 7  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  x  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <->  x  <Q  x ) )
43notbid 657 . . . . . 6  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  x  -> 
( -.  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  -.  x  <Q  x ) )
5 ltsopi 7151 . . . . . . . 8  |-  <N  Or  N.
6 ltrelpi 7155 . . . . . . . 8  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
75, 6soirri 4940 . . . . . . 7  |-  -.  (
w  .N  z ) 
<N  ( w  .N  z
)
8 ordpipqqs 7205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  w )  <N  (
w  .N  z ) ) )
98anidms 395 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  w )  <N  (
w  .N  z ) ) )
10 mulcompig 7162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  .N  w
)  =  ( w  .N  z ) )
1110breq1d 3946 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  w )  <N  (
w  .N  z )  <-> 
( w  .N  z
)  <N  ( w  .N  z ) ) )
129, 11bitrd 187 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( w  .N  z )  <N  (
w  .N  z ) ) )
137, 12mtbiri 665 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  -.  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  )
141, 4, 13ecoptocl 6523 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  -.  x  <Q  x )
1514adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
Q. )  ->  -.  x  <Q  x )
16 breq1 3939 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  =  x  -> 
( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <->  x  <Q  [
<. c ,  d >. ]  ~Q  ) )
1716anbi1d 461 . . . . . . 7  |-  ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  =  x  -> 
( ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d
>. ]  ~Q  /\  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) 
<->  ( x  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) ) )
18 breq1 3939 . . . . . . 7  |-  ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  =  x  -> 
( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  <->  x  <Q  [
<. e ,  f >. ]  ~Q  ) )
1917, 18imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  =  x  -> 
( ( ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )  <->  ( (
x  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) ) )
20 breq2 3940 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. c ,  d >. ]  ~Q  =  y  -> 
( x  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <->  x 
<Q  y ) )
21 breq1 3939 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. c ,  d >. ]  ~Q  =  y  -> 
( [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  <->  y  <Q  [
<. e ,  f >. ]  ~Q  ) )
2220, 21anbi12d 465 . . . . . . 7  |-  ( [
<. c ,  d >. ]  ~Q  =  y  -> 
( ( x  <Q  [
<. c ,  d >. ]  ~Q  /\  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )  <->  ( x  <Q  y  /\  y  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  ) ) )
2322imbi1d 230 . . . . . 6  |-  ( [
<. c ,  d >. ]  ~Q  =  y  -> 
( ( ( x 
<Q  [ <. c ,  d
>. ]  ~Q  /\  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) 
<->  ( ( x  <Q  y  /\  y  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) ) )
24 breq2 3940 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. e ,  f >. ]  ~Q  =  z  -> 
( y  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  y 
<Q  z ) )
2524anbi2d 460 . . . . . . 7  |-  ( [
<. e ,  f >. ]  ~Q  =  z  -> 
( ( x  <Q  y  /\  y  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) 
<->  ( x  <Q  y  /\  y  <Q  z ) ) )
26 breq2 3940 . . . . . . 7  |-  ( [
<. e ,  f >. ]  ~Q  =  z  -> 
( x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  x 
<Q  z ) )
2725, 26imbi12d 233 . . . . . 6  |-  ( [
<. e ,  f >. ]  ~Q  =  z  -> 
( ( ( x 
<Q  y  /\  y  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )  ->  x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) 
<->  ( ( x  <Q  y  /\  y  <Q  z
)  ->  x  <Q  z ) ) )
28 ordpipqqs 7205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  d ) 
<N  ( b  .N  c
) ) )
29283adant3 1002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  d ) 
<N  ( b  .N  c
) ) )
30 simp1l 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  a  e.  N. )
31 simp2r 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  d  e.  N. )
32 mulclpi 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  N.  /\  d  e.  N. )  ->  ( a  .N  d
)  e.  N. )
3330, 31, 32syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( a  .N  d )  e.  N. )
34 simp1r 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  b  e.  N. )
35 simp2l 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  c  e.  N. )
36 mulclpi 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( b  .N  c
)  e.  N. )
3734, 35, 36syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( b  .N  c )  e.  N. )
38 simp3r 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  f  e.  N. )
39 mulclpi 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  ( c  .N  f
)  e.  N. )
4035, 38, 39syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( c  .N  f )  e.  N. )
41 ltmpig 7170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  .N  d
)  e.  N.  /\  ( b  .N  c
)  e.  N.  /\  ( c  .N  f
)  e.  N. )  ->  ( ( a  .N  d )  <N  (
b  .N  c )  <-> 
( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) )  <N  ( (
c  .N  f )  .N  ( b  .N  c ) ) ) )
4233, 37, 40, 41syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
a  .N  d ) 
<N  ( b  .N  c
)  <->  ( ( c  .N  f )  .N  ( a  .N  d
) )  <N  (
( c  .N  f
)  .N  ( b  .N  c ) ) ) )
4329, 42bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <->  ( ( c  .N  f
)  .N  ( a  .N  d ) ) 
<N  ( ( c  .N  f )  .N  (
b  .N  c ) ) ) )
4443biimpa 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d
>. ]  ~Q  )  -> 
( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) )  <N  ( (
c  .N  f )  .N  ( b  .N  c ) ) )
4544adantrr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  f
)  .N  ( a  .N  d ) ) 
<N  ( ( c  .N  f )  .N  (
b  .N  c ) ) )
46 mulcompig 7162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  .N  f
)  e.  N.  /\  ( b  .N  c
)  e.  N. )  ->  ( ( c  .N  f )  .N  (
b  .N  c ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  ( c  .N  f ) ) )
4740, 37, 46syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  f )  .N  ( b  .N  c ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) ) )
4847adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  f
)  .N  ( b  .N  c ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  ( c  .N  f
) ) )
4945, 48breqtrd 3961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  f
)  .N  ( a  .N  d ) ) 
<N  ( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) ) )
50 ordpipqqs 7205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( c  .N  f ) 
<N  ( d  .N  e
) ) )
51503adant1 1000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( c  .N  f ) 
<N  ( d  .N  e
) ) )
52 simp3l 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  e  e.  N. )
53 mulclpi 7159 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  N.  /\  e  e.  N. )  ->  ( d  .N  e
)  e.  N. )
5431, 52, 53syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( d  .N  e )  e.  N. )
55 ltmpig 7170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  .N  f
)  e.  N.  /\  ( d  .N  e
)  e.  N.  /\  ( b  .N  c
)  e.  N. )  ->  ( ( c  .N  f )  <N  (
d  .N  e )  <-> 
( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) )  <N  ( (
b  .N  c )  .N  ( d  .N  e ) ) ) )
5640, 54, 37, 55syl3anc 1217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  f ) 
<N  ( d  .N  e
)  <->  ( ( b  .N  c )  .N  ( c  .N  f
) )  <N  (
( b  .N  c
)  .N  ( d  .N  e ) ) ) )
5751, 56bitrd 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( ( b  .N  c
)  .N  ( c  .N  f ) ) 
<N  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) ) )
5857biimpa 294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )  -> 
( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) )  <N  ( (
b  .N  c )  .N  ( d  .N  e ) ) )
5958adantrl 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( b  .N  c
)  .N  ( c  .N  f ) ) 
<N  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) )
605, 6sotri 4941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) )  <N  ( (
b  .N  c )  .N  ( c  .N  f ) )  /\  ( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) )  <N  ( (
b  .N  c )  .N  ( d  .N  e ) ) )  ->  ( ( c  .N  f )  .N  ( a  .N  d
) )  <N  (
( b  .N  c
)  .N  ( d  .N  e ) ) )
6149, 59, 60syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  f
)  .N  ( a  .N  d ) ) 
<N  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) )
62 mulcompig 7162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
6362adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e. 
N. ) )  -> 
( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
64 mulasspig 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
6564adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e. 
N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
66 mulclpi 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
6766adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e. 
N. ) )  -> 
( x  .N  y
)  e.  N. )
6835, 31, 30, 63, 65, 38, 67caov411d 5963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  d )  .N  ( a  .N  f ) )  =  ( ( a  .N  d )  .N  (
c  .N  f ) ) )
6963, 33, 40caovcomd 5934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
a  .N  d )  .N  ( c  .N  f ) )  =  ( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) ) )
7068, 69eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  d )  .N  ( a  .N  f ) )  =  ( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) ) )
7135, 31, 34, 63, 65, 52, 67caov4d 5962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  d )  .N  ( b  .N  e ) )  =  ( ( c  .N  b )  .N  (
d  .N  e ) ) )
7263, 35, 34caovcomd 5934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( c  .N  b )  =  ( b  .N  c ) )
7372oveq1d 5796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  b )  .N  ( d  .N  e ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) )
7471, 73eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  d )  .N  ( b  .N  e ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) )
7570, 74breq12d 3949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
( c  .N  d
)  .N  ( a  .N  f ) ) 
<N  ( ( c  .N  d )  .N  (
b  .N  e ) )  <->  ( ( c  .N  f )  .N  ( a  .N  d
) )  <N  (
( b  .N  c
)  .N  ( d  .N  e ) ) ) )
7675adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( ( c  .N  d )  .N  (
a  .N  f ) )  <N  ( (
c  .N  d )  .N  ( b  .N  e ) )  <->  ( (
c  .N  f )  .N  ( a  .N  d ) )  <N 
( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) ) )
7761, 76mpbird 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  d
)  .N  ( a  .N  f ) ) 
<N  ( ( c  .N  d )  .N  (
b  .N  e ) ) )
78 mulclpi 7159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  ( a  .N  f
)  e.  N. )
7930, 38, 78syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( a  .N  f )  e.  N. )
80 mulclpi 7159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  N.  /\  e  e.  N. )  ->  ( b  .N  e
)  e.  N. )
8134, 52, 80syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( b  .N  e )  e.  N. )
82 mulclpi 7159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  ->  ( c  .N  d
)  e.  N. )
8335, 31, 82syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( c  .N  d )  e.  N. )
84 ltmpig 7170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  .N  f
)  e.  N.  /\  ( b  .N  e
)  e.  N.  /\  ( c  .N  d
)  e.  N. )  ->  ( ( a  .N  f )  <N  (
b  .N  e )  <-> 
( ( c  .N  d )  .N  (
a  .N  f ) )  <N  ( (
c  .N  d )  .N  ( b  .N  e ) ) ) )
8579, 81, 83, 84syl3anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
)  <->  ( ( c  .N  d )  .N  ( a  .N  f
) )  <N  (
( c  .N  d
)  .N  ( b  .N  e ) ) ) )
8685adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( a  .N  f
)  <N  ( b  .N  e )  <->  ( (
c  .N  d )  .N  ( a  .N  f ) )  <N 
( ( c  .N  d )  .N  (
b  .N  e ) ) ) )
8777, 86mpbird 166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
) )
88 ordpipqqs 7205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
) ) )
89883adant2 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
) ) )
9089adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  ( [ <. a ,  b
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
) ) )
9187, 90mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )
9291ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. a ,  b
>. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  ) )
931, 19, 23, 27, 923ecoptocl 6525 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  (
( x  <Q  y  /\  y  <Q  z )  ->  x  <Q  z
) )
9493adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e. 
Q. ) )  -> 
( ( x  <Q  y  /\  y  <Q  z
)  ->  x  <Q  z ) )
9515, 94ispod 4233 . . 3  |-  ( T. 
->  <Q  Po  Q. )
96 nqtri3or 7227 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  y  \/  x  =  y  \/  y  <Q  x ) )
9796adantl 275 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )  -> 
( x  <Q  y  \/  x  =  y  \/  y  <Q  x ) )
9895, 97issod 4248 . 2  |-  ( T. 
->  <Q  Or  Q. )
9998mptru 1341 1  |-  <Q  Or  Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 962    /\ w3a 963    = wceq 1332   T. wtru 1333    e. wcel 1481   <.cop 3534   class class class wbr 3936    Or wor 4224  (class class class)co 5781   [cec 6434   N.cnpi 7103    .N cmi 7105    <N clti 7106    ~Q ceq 7110   Q.cnq 7111    <Q cltq 7116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-eprel 4218  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-qs 6442  df-ni 7135  df-mi 7137  df-lti 7138  df-enq 7178  df-nqqs 7179  df-ltnqqs 7184
This theorem is referenced by:  nqtric  7230  lt2addnq  7235  lt2mulnq  7236  ltbtwnnqq  7246  prarloclemarch2  7250  genplt2i  7341  genpdisj  7354  addlocprlemgt  7365  nqprdisj  7375  nqprloc  7376  addnqprlemfl  7390  addnqprlemfu  7391  prmuloclemcalc  7396  mulnqprlemfl  7406  mulnqprlemfu  7407  distrlem4prl  7415  distrlem4pru  7416  ltsopr  7427  ltexprlemopl  7432  ltexprlemopu  7434  ltexprlemdisj  7437  ltexprlemru  7443  recexprlemlol  7457  recexprlemupu  7459  recexprlemdisj  7461  recexprlemss1l  7466  recexprlemss1u  7467  cauappcvgprlemopl  7477  cauappcvgprlemlol  7478  cauappcvgprlemupu  7480  cauappcvgprlemdisj  7482  cauappcvgprlemloc  7483  cauappcvgprlemladdfu  7485  cauappcvgprlemladdru  7487  cauappcvgprlemladdrl  7488  caucvgprlemk  7496  caucvgprlemnkj  7497  caucvgprlemnbj  7498  caucvgprlemm  7499  caucvgprlemopl  7500  caucvgprlemlol  7501  caucvgprlemupu  7503  caucvgprlemloc  7506  caucvgprlemladdfu  7508  caucvgprprlemloccalc  7515  caucvgprprlemml  7525  caucvgprprlemopl  7528  suplocexprlemru  7550
  Copyright terms: Public domain W3C validator