Theorem ltsonq 7755

Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltsonq	|- <Q Or Q.

Proof of Theorem ltsonq

Dummy variables a b c d e f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7705	. . . . . 6 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		id 19	. . . . . . . 8 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> [ <. z , w >. ] ~Q = x )
3	2, 2	breq12d 4138	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> x <Q x ) )
4	3	notbid 677	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> -. x <Q x ) )
5		ltsopi 7677	. . . . . . . 8 |- <N Or N.
6		ltrelpi 7681	. . . . . . . 8 |- <N C_ ( N. X. N. )
7	5, 6	soirri 5177	. . . . . . 7 |- -. ( w .N z ) <N ( w .N z )
8		ordpipqqs 7731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
9	8	anidms 401	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
10		mulcompig 7688	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N w ) = ( w .N z ) )
11	10	breq1d 4135	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z .N w ) <N ( w .N z ) <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
12	9, 11	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
13	7, 12	mtbiri 686	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6886	. . . . 5 |- ( x e. Q. -> -. x <Q x )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. Q. ) -> -. x <Q x )
16		breq1 4128	. . . . . . . 8 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) )
17	16	anbi1d 469	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
18		breq1 4128	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
20		breq2 4129	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q y ) )
21		breq1 4128	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
22	20, 21	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
24		breq2 4129	. . . . . . . 8 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( y <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q z ) )
25	24	anbi2d 468	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q z ) ) )
26		breq2 4129	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( x <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q z ) )
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) ) )
28		ordpipqqs 7731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
29	28	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
30		simp1l 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> a e. N. )
31		simp2r 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> d e. N. )
32		mulclpi 7685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. N. /\ d e. N. ) -> ( a .N d ) e. N. )
33	30, 31, 32	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N d ) e. N. )
34		simp1r 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> b e. N. )
35		simp2l 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> c e. N. )
36		mulclpi 7685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. N. /\ c e. N. ) -> ( b .N c ) e. N. )
37	34, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N c ) e. N. )
38		simp3r 1057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> f e. N. )
39		mulclpi 7685	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. N. /\ f e. N. ) -> ( c .N f ) e. N. )
40	35, 38, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N f ) e. N. )
41		ltmpig 7696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a .N d ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. /\ ( c .N f ) e. N. ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
43	29, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
44	43	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
45	44	adantrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
46		mulcompig 7688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
47	40, 37, 46	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
49	45, 48	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
50		ordpipqqs 7731	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
51	50	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
52		simp3l 1056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> e e. N. )
53		mulclpi 7685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( d e. N. /\ e e. N. ) -> ( d .N e ) e. N. )
54	31, 52, 53	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( d .N e ) e. N. )
55		ltmpig 7696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( d .N e ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
56	40, 54, 37, 55	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
57	51, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
58	57	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
59	58	adantrl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
60	5, 6	sotri 5178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) /\ ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
61	49, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
62		mulcompig 7688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
64		mulasspig 7689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
66		mulclpi 7685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
68	35, 31, 30, 63, 65, 38, 67	caov411d 6265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) )
69	63, 33, 40	caovcomd 6236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
70	68, 69	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
71	35, 31, 34, 63, 65, 52, 67	caov4d 6264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) )
72	63, 35, 34	caovcomd 6236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N b ) = ( b .N c ) )
73	72	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
74	71, 73	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
75	70, 74	breq12d 4138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
77	61, 76	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) )
78		mulclpi 7685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. N. /\ f e. N. ) -> ( a .N f ) e. N. )
79	30, 38, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N f ) e. N. )
80		mulclpi 7685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. N. /\ e e. N. ) -> ( b .N e ) e. N. )
81	34, 52, 80	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N e ) e. N. )
82		mulclpi 7685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. N. /\ d e. N. ) -> ( c .N d ) e. N. )
83	35, 31, 82	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N d ) e. N. )
84		ltmpig 7696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a .N f ) e. N. /\ ( b .N e ) e. N. /\ ( c .N d ) e. N. ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
86	85	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
87	77, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( a .N f ) <N ( b .N e ) )
88		ordpipqqs 7731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
89	88	3adant2 1047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
91	87, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q )
92	91	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
93	1, 19, 23, 27, 92	3ecoptocl 6888	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
94	93	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
95	15, 94	ispod 4444	. . 3 |- ( T. -> <Q Po Q. )
96		nqtri3or 7753	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
97	96	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
98	95, 97	issod 4459	. 2 |- ( T. -> <Q Or Q. )
99	98	mptru 1411	1 |- <Q Or Q.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1008   /\ w3a 1009   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   <.cop 3708   class class class wbr 4125   Or wor 4435  (class class class)co 6075   [cec 6795   N.cnpi 7629   .N cmi 7631   <N clti 7632   ~Q ceq 7636   Q.cnq 7637   <Q cltq 7642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-mi 7663  df-lti 7664  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-ltnqqs 7710

This theorem is referenced by:  nqtric  7756  lt2addnq  7761  lt2mulnq  7762  ltbtwnnqq  7772  prarloclemarch2  7776  genplt2i  7867  genpdisj  7880  addlocprlemgt  7891  nqprdisj  7901  nqprloc  7902  addnqprlemfl  7916  addnqprlemfu  7917  prmuloclemcalc  7922  mulnqprlemfl  7932  mulnqprlemfu  7933  distrlem4prl  7941  distrlem4pru  7942  ltsopr  7953  ltexprlemopl  7958  ltexprlemopu  7960  ltexprlemdisj  7963  ltexprlemru  7969  recexprlemlol  7983  recexprlemupu  7985  recexprlemdisj  7987  recexprlemss1l  7992  recexprlemss1u  7993  cauappcvgprlemopl  8003  cauappcvgprlemlol  8004  cauappcvgprlemupu  8006  cauappcvgprlemdisj  8008  cauappcvgprlemloc  8009  cauappcvgprlemladdfu  8011  cauappcvgprlemladdru  8013  cauappcvgprlemladdrl  8014  caucvgprlemk  8022  caucvgprlemnkj  8023  caucvgprlemnbj  8024  caucvgprlemm  8025  caucvgprlemopl  8026  caucvgprlemlol  8027  caucvgprlemupu  8029  caucvgprlemloc  8032  caucvgprlemladdfu  8034  caucvgprprlemloccalc  8041  caucvgprprlemml  8051  caucvgprprlemopl  8054  suplocexprlemru  8076