Theorem ltsonq 7766

Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltsonq	|- <Q Or Q.

Proof of Theorem ltsonq

Dummy variables a b c d e f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7716	. . . . . 6 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		id 19	. . . . . . . 8 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> [ <. z , w >. ] ~Q = x )
3	2, 2	breq12d 4143	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> x <Q x ) )
4	3	notbid 677	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> -. x <Q x ) )
5		ltsopi 7688	. . . . . . . 8 |- <N Or N.
6		ltrelpi 7692	. . . . . . . 8 |- <N C_ ( N. X. N. )
7	5, 6	soirri 5182	. . . . . . 7 |- -. ( w .N z ) <N ( w .N z )
8		ordpipqqs 7742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
9	8	anidms 401	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
10		mulcompig 7699	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N w ) = ( w .N z ) )
11	10	breq1d 4140	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z .N w ) <N ( w .N z ) <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
12	9, 11	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
13	7, 12	mtbiri 686	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6896	. . . . 5 |- ( x e. Q. -> -. x <Q x )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. Q. ) -> -. x <Q x )
16		breq1 4133	. . . . . . . 8 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) )
17	16	anbi1d 469	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
18		breq1 4133	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
19	17, 18	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
20		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q y ) )
21		breq1 4133	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
22	20, 21	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
23	22	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
24		breq2 4134	. . . . . . . 8 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( y <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q z ) )
25	24	anbi2d 468	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q z ) ) )
26		breq2 4134	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( x <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q z ) )
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) ) )
28		ordpipqqs 7742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
29	28	3adant3 1048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
30		simp1l 1052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> a e. N. )
31		simp2r 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> d e. N. )
32		mulclpi 7696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. N. /\ d e. N. ) -> ( a .N d ) e. N. )
33	30, 31, 32	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N d ) e. N. )
34		simp1r 1053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> b e. N. )
35		simp2l 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> c e. N. )
36		mulclpi 7696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. N. /\ c e. N. ) -> ( b .N c ) e. N. )
37	34, 35, 36	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N c ) e. N. )
38		simp3r 1057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> f e. N. )
39		mulclpi 7696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. N. /\ f e. N. ) -> ( c .N f ) e. N. )
40	35, 38, 39	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N f ) e. N. )
41		ltmpig 7707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a .N d ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. /\ ( c .N f ) e. N. ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
43	29, 42	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
44	43	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
45	44	adantrr 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
46		mulcompig 7699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
47	40, 37, 46	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
49	45, 48	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
50		ordpipqqs 7742	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
51	50	3adant1 1046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
52		simp3l 1056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> e e. N. )
53		mulclpi 7696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( d e. N. /\ e e. N. ) -> ( d .N e ) e. N. )
54	31, 52, 53	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( d .N e ) e. N. )
55		ltmpig 7707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( d .N e ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
56	40, 54, 37, 55	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
57	51, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
58	57	biimpa 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
59	58	adantrl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
60	5, 6	sotri 5183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) /\ ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
61	49, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
62		mulcompig 7699	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
64		mulasspig 7700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
65	64	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
66		mulclpi 7696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
68	35, 31, 30, 63, 65, 38, 67	caov411d 6275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) )
69	63, 33, 40	caovcomd 6246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
70	68, 69	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
71	35, 31, 34, 63, 65, 52, 67	caov4d 6274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) )
72	63, 35, 34	caovcomd 6246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N b ) = ( b .N c ) )
73	72	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
74	71, 73	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
75	70, 74	breq12d 4143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
76	75	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
77	61, 76	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) )
78		mulclpi 7696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. N. /\ f e. N. ) -> ( a .N f ) e. N. )
79	30, 38, 78	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N f ) e. N. )
80		mulclpi 7696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. N. /\ e e. N. ) -> ( b .N e ) e. N. )
81	34, 52, 80	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N e ) e. N. )
82		mulclpi 7696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. N. /\ d e. N. ) -> ( c .N d ) e. N. )
83	35, 31, 82	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N d ) e. N. )
84		ltmpig 7707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a .N f ) e. N. /\ ( b .N e ) e. N. /\ ( c .N d ) e. N. ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
86	85	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
87	77, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( a .N f ) <N ( b .N e ) )
88		ordpipqqs 7742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
89	88	3adant2 1047	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
90	89	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
91	87, 90	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q )
92	91	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
93	1, 19, 23, 27, 92	3ecoptocl 6898	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
94	93	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
95	15, 94	ispod 4449	. . 3 |- ( T. -> <Q Po Q. )
96		nqtri3or 7764	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
97	96	adantl 277	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
98	95, 97	issod 4464	. 2 |- ( T. -> <Q Or Q. )
99	98	mptru 1411	1 |- <Q Or Q.

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1008   /\ w3a 1009   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4130   Or wor 4440  (class class class)co 6085   [cec 6805   N.cnpi 7640   .N cmi 7642   <N clti 7643   ~Q ceq 7647   Q.cnq 7648   <Q cltq 7653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7672  df-mi 7674  df-lti 7675  df-enq 7715  df-nqqs 7716  df-ltnqqs 7721

This theorem is used by:  nqtric  7767  lt2addnq  7772  lt2mulnq  7773  ltbtwnnqq  7783  prarloclemarch2  7787  genplt2i  7878  genpdisj  7891  addlocprlemgt  7902  nqprdisj  7912  nqprloc  7913  addnqprlemfl  7927  addnqprlemfu  7928  prmuloclemcalc  7933  mulnqprlemfl  7943  mulnqprlemfu  7944  distrlem4prl  7952  distrlem4pru  7953  ltsopr  7964  ltexprlemopl  7969  ltexprlemopu  7971  ltexprlemdisj  7974  ltexprlemru  7980  recexprlemlol  7994  recexprlemupu  7996  recexprlemdisj  7998  recexprlemss1l  8003  recexprlemss1u  8004  cauappcvgprlemopl  8014  cauappcvgprlemlol  8015  cauappcvgprlemupu  8017  cauappcvgprlemdisj  8019  cauappcvgprlemloc  8020  cauappcvgprlemladdfu  8022  cauappcvgprlemladdru  8024  cauappcvgprlemladdrl  8025  caucvgprlemk  8033  caucvgprlemnkj  8034  caucvgprlemnbj  8035  caucvgprlemm  8036  caucvgprlemopl  8037  caucvgprlemlol  8038  caucvgprlemupu  8040  caucvgprlemloc  8043  caucvgprlemladdfu  8045  caucvgprprlemloccalc  8052  caucvgprprlemml  8062  caucvgprprlemopl  8065  suplocexprlemru  8087