Theorem ltsonq 7330

Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltsonq	|- <Q Or Q.

Proof of Theorem ltsonq

Dummy variables a b c d e f x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7280	. . . . . 6 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		id 19	. . . . . . . 8 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> [ <. z , w >. ] ~Q = x )
3	2, 2	breq12d 3989	. . . . . . 7 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> x <Q x ) )
4	3	notbid 657	. . . . . 6 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = x -> ( -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> -. x <Q x ) )
5		ltsopi 7252	. . . . . . . 8 |- <N Or N.
6		ltrelpi 7256	. . . . . . . 8 |- <N C_ ( N. X. N. )
7	5, 6	soirri 4992	. . . . . . 7 |- -. ( w .N z ) <N ( w .N z )
8		ordpipqqs 7306	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
9	8	anidms 395	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( z .N w ) <N ( w .N z ) ) )
10		mulcompig 7263	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N w ) = ( w .N z ) )
11	10	breq1d 3986	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( ( z .N w ) <N ( w .N z ) <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
12	9, 11	bitrd 187	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N z ) <N ( w .N z ) ) )
13	7, 12	mtbiri 665	. . . . . 6 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> -. [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
14	1, 4, 13	ecoptocl 6579	. . . . 5 |- ( x e. Q. -> -. x <Q x )
15	14	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. Q. ) -> -. x <Q x )
16		breq1 3979	. . . . . . . 8 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) )
17	16	anbi1d 461	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
18		breq1 3979	. . . . . . 7 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
19	17, 18	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( [ <. a , b >. ] ~Q = x -> ( ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
20		breq2 3980	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> x <Q y ) )
21		breq1 3979	. . . . . . . 8 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
22	20, 21	anbi12d 465	. . . . . . 7 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
23	22	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( [ <. c , d >. ] ~Q = y -> ( ( ( x <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) )
24		breq2 3980	. . . . . . . 8 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( y <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> y <Q z ) )
25	24	anbi2d 460	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( x <Q y /\ y <Q z ) ) )
26		breq2 3980	. . . . . . 7 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( x <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> x <Q z ) )
27	25, 26	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( [ <. e , f >. ] ~Q = z -> ( ( ( x <Q y /\ y <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> x <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) <-> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) ) )
28		ordpipqqs 7306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
29	28	3adant3 1006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( a .N d ) <N ( b .N c ) ) )
30		simp1l 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> a e. N. )
31		simp2r 1013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> d e. N. )
32		mulclpi 7260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. N. /\ d e. N. ) -> ( a .N d ) e. N. )
33	30, 31, 32	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N d ) e. N. )
34		simp1r 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> b e. N. )
35		simp2l 1012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> c e. N. )
36		mulclpi 7260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( b e. N. /\ c e. N. ) -> ( b .N c ) e. N. )
37	34, 35, 36	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N c ) e. N. )
38		simp3r 1015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> f e. N. )
39		mulclpi 7260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( c e. N. /\ f e. N. ) -> ( c .N f ) e. N. )
40	35, 38, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N f ) e. N. )
41		ltmpig 7271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a .N d ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. /\ ( c .N f ) e. N. ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
42	33, 37, 40, 41	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) <N ( b .N c ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
43	29, 42	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) ) )
44	43	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
45	44	adantrr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) )
46		mulcompig 7263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
47	40, 37, 46	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
48	47	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( b .N c ) ) = ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
49	45, 48	breqtrd 4002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) )
50		ordpipqqs 7306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
51	50	3adant1 1004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( c .N f ) <N ( d .N e ) ) )
52		simp3l 1014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> e e. N. )
53		mulclpi 7260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( d e. N. /\ e e. N. ) -> ( d .N e ) e. N. )
54	31, 52, 53	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( d .N e ) e. N. )
55		ltmpig 7271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( c .N f ) e. N. /\ ( d .N e ) e. N. /\ ( b .N c ) e. N. ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
56	40, 54, 37, 55	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N f ) <N ( d .N e ) <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
57	51, 56	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
58	57	biimpa 294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
59	58	adantrl 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
60	5, 6	sotri 4993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) /\ ( ( b .N c ) .N ( c .N f ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
61	49, 59, 60	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
62		mulcompig 7263	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
63	62	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
64		mulasspig 7264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
65	64	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
66		mulclpi 7260	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
67	66	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( x .N y ) e. N. )
68	35, 31, 30, 63, 65, 38, 67	caov411d 6018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) )
69	63, 33, 40	caovcomd 5989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N d ) .N ( c .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
70	68, 69	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) = ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) )
71	35, 31, 34, 63, 65, 52, 67	caov4d 6017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) )
72	63, 35, 34	caovcomd 5989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N b ) = ( b .N c ) )
73	72	oveq1d 5851	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N b ) .N ( d .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
74	71, 73	eqtrd 2197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) = ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) )
75	70, 74	breq12d 3989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
76	75	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) <-> ( ( c .N f ) .N ( a .N d ) ) <N ( ( b .N c ) .N ( d .N e ) ) ) )
77	61, 76	mpbird 166	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) )
78		mulclpi 7260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. N. /\ f e. N. ) -> ( a .N f ) e. N. )
79	30, 38, 78	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( a .N f ) e. N. )
80		mulclpi 7260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. N. /\ e e. N. ) -> ( b .N e ) e. N. )
81	34, 52, 80	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( b .N e ) e. N. )
82		mulclpi 7260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( c e. N. /\ d e. N. ) -> ( c .N d ) e. N. )
83	35, 31, 82	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( c .N d ) e. N. )
84		ltmpig 7271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a .N f ) e. N. /\ ( b .N e ) e. N. /\ ( c .N d ) e. N. ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
85	79, 81, 83, 84	syl3anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
86	85	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( ( a .N f ) <N ( b .N e ) <-> ( ( c .N d ) .N ( a .N f ) ) <N ( ( c .N d ) .N ( b .N e ) ) ) )
87	77, 86	mpbird 166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( a .N f ) <N ( b .N e ) )
88		ordpipqqs 7306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
89	88	3adant2 1005	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
90	89	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q <-> ( a .N f ) <N ( b .N e ) ) )
91	87, 90	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) /\ ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q )
92	91	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( ( a e. N. /\ b e. N. ) /\ ( c e. N. /\ d e. N. ) /\ ( e e. N. /\ f e. N. ) ) -> ( ( [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. c , d >. ] ~Q /\ [ <. c , d >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) -> [ <. a , b >. ] ~Q <Q [ <. e , f >. ] ~Q ) )
93	1, 19, 23, 27, 92	3ecoptocl 6581	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
94	93	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( ( x <Q y /\ y <Q z ) -> x <Q z ) )
95	15, 94	ispod 4276	. . 3 |- ( T. -> <Q Po Q. )
96		nqtri3or 7328	. . . 4 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
97	96	adantl 275	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x <Q y \/ x = y \/ y <Q x ) )
98	95, 97	issod 4291	. 2 |- ( T. -> <Q Or Q. )
99	98	mptru 1351	1 |- <Q Or Q.

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 966   /\ w3a 967   = wceq 1342   T. wtru 1343   e. wcel 2135   <.cop 3573   class class class wbr 3976   Or wor 4267  (class class class)co 5836   [cec 6490   N.cnpi 7204   .N cmi 7206   <N clti 7207   ~Q ceq 7211   Q.cnq 7212   <Q cltq 7217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-eprel 4261  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-oadd 6379  df-omul 6380  df-er 6492  df-ec 6494  df-qs 6498  df-ni 7236  df-mi 7238  df-lti 7239  df-enq 7279  df-nqqs 7280  df-ltnqqs 7285

This theorem is referenced by:  nqtric  7331  lt2addnq  7336  lt2mulnq  7337  ltbtwnnqq  7347  prarloclemarch2  7351  genplt2i  7442  genpdisj  7455  addlocprlemgt  7466  nqprdisj  7476  nqprloc  7477  addnqprlemfl  7491  addnqprlemfu  7492  prmuloclemcalc  7497  mulnqprlemfl  7507  mulnqprlemfu  7508  distrlem4prl  7516  distrlem4pru  7517  ltsopr  7528  ltexprlemopl  7533  ltexprlemopu  7535  ltexprlemdisj  7538  ltexprlemru  7544  recexprlemlol  7558  recexprlemupu  7560  recexprlemdisj  7562  recexprlemss1l  7567  recexprlemss1u  7568  cauappcvgprlemopl  7578  cauappcvgprlemlol  7579  cauappcvgprlemupu  7581  cauappcvgprlemdisj  7583  cauappcvgprlemloc  7584  cauappcvgprlemladdfu  7586  cauappcvgprlemladdru  7588  cauappcvgprlemladdrl  7589  caucvgprlemk  7597  caucvgprlemnkj  7598  caucvgprlemnbj  7599  caucvgprlemm  7600  caucvgprlemopl  7601  caucvgprlemlol  7602  caucvgprlemupu  7604  caucvgprlemloc  7607  caucvgprlemladdfu  7609  caucvgprprlemloccalc  7616  caucvgprprlemml  7626  caucvgprprlemopl  7629  suplocexprlemru  7651