Theorem speano5 16884

Description: Version of peano5 4740 when 𝐴 is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
speano5	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem speano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omex 16882	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		bj-inex 16847	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (ω ∩ 𝐴) ∈ V)
3	1, 2	mpan 428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (ω ∩ 𝐴) ∈ V)
4		peano5set 16880	. . 3 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ V → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
6	5	3impib 1232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  suc csuc 4505  ωcom 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-nul 4254  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-bd0 16753  ax-bdan 16755  ax-bdor 16756  ax-bdex 16759  ax-bdeq 16760  ax-bdel 16761  ax-bdsb 16762  ax-bdsep 16824  ax-infvn 16881

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931  df-int 3966  df-suc 4511  df-iom 4733  df-bdc 16781  df-bj-ind 16867

This theorem is referenced by:  findset  16885