Theorem speano5 16475

Description: Version of peano5 4694 when 𝐴 is assumed to be a set, allowing a proof from the core axioms of CZF. (Contributed by BJ, 19-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
speano5	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem speano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-omex 16473	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
2		bj-inex 16438	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (ω ∩ 𝐴) ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (ω ∩ 𝐴) ∈ V)
4		peano5set 16471	. . 3 ⊢ ((ω ∩ 𝐴) ∈ V → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
5	3, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴))
6	5	3impib 1225	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝑥 ∈ 𝐴 → suc 𝑥 ∈ 𝐴)) → ω ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2800   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  suc csuc 4460  ωcom 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-nul 4213  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-bd0 16344  ax-bdan 16346  ax-bdor 16347  ax-bdex 16350  ax-bdeq 16351  ax-bdel 16352  ax-bdsb 16353  ax-bdsep 16415  ax-infvn 16472

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-int 3927  df-suc 4466  df-iom 4687  df-bdc 16372  df-bj-ind 16458

This theorem is referenced by:  findset  16476