Theorem ssopab2b 4103

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and implication. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ssopab2b	⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → 𝜓))

Proof of Theorem ssopab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfopab1 3907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
2		nfopab1 3907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}
3	1, 2	nfss 3018	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}
4		nfopab2 3908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}
5		nfopab2 3908	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}
6	4, 5	nfss 3018	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}
7		ssel 3019	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓}))
8		opabid 4084	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
9		opabid 4084	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ↔ 𝜓)
10	7, 8, 9	3imtr3g 202	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} → (𝜑 → 𝜓))
11	6, 10	alrimi 1460	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑦(𝜑 → 𝜓))
12	3, 11	alrimi 1460	. 2 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → 𝜓))
13		ssopab2 4102	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦(𝜑 → 𝜓) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓})
14	12, 13	impbii 124	1 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥∀𝑦(𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 103  ∀wal 1287   ∈ wcel 1438   ⊆ wss 2999  ⟨cop 3449  {copab 3898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-opab 3900

This theorem is referenced by:  eqopab2b  4106  dffun2  5025