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Theorem dffun2 5059
Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)
Assertion
Ref Expression
dffun2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun2
StepHypRef Expression
1 df-fun 5051 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  ( A  o.  `' A )  C_  _I  ) )
2 df-id 4144 . . . . . 6  |-  _I  =  { <. y ,  z
>.  |  y  =  z }
32sseq2i 3066 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  ( A  o.  `' A )  C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z } )
4 df-co 4476 . . . . . 6  |-  ( A  o.  `' A )  =  { <. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) }
54sseq1i 3065 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z }  <->  { <. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) } 
C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z } )
6 ssopab2b 4127 . . . . 5  |-  ( {
<. y ,  z >.  |  E. x ( y `' A x  /\  x A z ) } 
C_  { <. y ,  z >.  |  y  =  z }  <->  A. y A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
73, 5, 63bitri 205 . . . 4  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  A. y A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
8 vex 2636 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
9 vex 2636 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
108, 9brcnv 4650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y `' A x  <->  x A
y )
1110anbi1i 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y `' A x  /\  x A z )  <->  ( x A y  /\  x A z ) )
1211exbii 1548 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  <->  E. x
( x A y  /\  x A z ) )
1312imbi1i 237 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <-> 
( E. x ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
14 19.23v 1818 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <-> 
( E. x ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1513, 14bitr4i 186 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1615albii 1411 . . . . . 6  |-  ( A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. z A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
17 alcom 1419 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
1816, 17bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. z ( E. x
( y `' A x  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
1918albii 1411 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( E. x ( y `' A x  /\  x A z )  -> 
y  =  z )  <->  A. y A. x A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) )
20 alcom 1419 . . . 4  |-  ( A. y A. x A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z )  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
217, 19, 203bitri 205 . . 3  |-  ( ( A  o.  `' A
)  C_  _I  <->  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) )
2221anbi2i 446 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  ( A  o.  `' A
)  C_  _I  )  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z
( ( x A y  /\  x A z )  ->  y  =  z ) ) )
231, 22bitri 183 1  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( x A y  /\  x A z )  -> 
y  =  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1294   E.wex 1433    C_ wss 3013   class class class wbr 3867   {copab 3920    _I cid 4139   `'ccnv 4466    o. ccom 4471   Rel wrel 4472   Fun wfun 5043
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-cnv 4475  df-co 4476  df-fun 5051
This theorem is referenced by:  dffun4  5060  dffun6f  5062  sbcfung  5073  funcnveq  5111  fliftfun  5613  fclim  10853
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