Theorem dffun2 5181

Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun2	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fun 5173	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ ( A o. `' A ) C_ _I ) )
2		df-id 4254	. . . . . 6 |- _I = { <. y , z >. | y = z }
3	2	sseq2i 3155	. . . . 5 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> ( A o. `' A ) C_ { <. y , z >. | y = z } )
4		df-co 4596	. . . . . 6 |- ( A o. `' A ) = { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) }
5	4	sseq1i 3154	. . . . 5 |- ( ( A o. `' A ) C_ { <. y , z >. | y = z } <-> { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) } C_ { <. y , z >. | y = z } )
6		ssopab2b 4237	. . . . 5 |- ( { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) } C_ { <. y , z >. | y = z } <-> A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) )
7	3, 5, 6	3bitri 205	. . . 4 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) )
8		vex 2715	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
9		vex 2715	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
10	8, 9	brcnv 4770	. . . . . . . . . . 11 |- ( y `' A x <-> x A y )
11	10	anbi1i 454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y `' A x /\ x A z ) <-> ( x A y /\ x A z ) )
12	11	exbii 1585	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) <-> E. x ( x A y /\ x A z ) )
13	12	imbi1i 237	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( E. x ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
14		19.23v 1863	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( E. x ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
15	13, 14	bitr4i 186	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
16	15	albii 1450	. . . . . 6 |- ( A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. z A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
17		alcom 1458	. . . . . 6 |- ( A. z A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
18	16, 17	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
19	18	albii 1450	. . . 4 |- ( A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
20		alcom 1458	. . . 4 |- ( A. y A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
21	7, 19, 20	3bitri 205	. . 3 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
22	21	anbi2i 453	. 2 |- ( ( Rel A /\ ( A o. `' A ) C_ _I ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
23	1, 22	bitri 183	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1333   E.wex 1472   C_ wss 3102   class class class wbr 3966   {copab 4025   _I cid 4249   `'ccnv 4586   o. ccom 4591   Rel wrel 4592   Fun wfun 5165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-pow 4136  ax-pr 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3967  df-opab 4027  df-id 4254  df-cnv 4595  df-co 4596  df-fun 5173

This theorem is referenced by:  dffun4  5182  dffun6f  5184  sbcfung  5195  funcnveq  5234  fliftfun  5747  fclim  11195