Theorem dffun2 5141

Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun2	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fun 5133	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ ( A o. `' A ) C_ _I ) )
2		df-id 4223	. . . . . 6 |- _I = { <. y , z >. | y = z }
3	2	sseq2i 3129	. . . . 5 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> ( A o. `' A ) C_ { <. y , z >. | y = z } )
4		df-co 4556	. . . . . 6 |- ( A o. `' A ) = { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) }
5	4	sseq1i 3128	. . . . 5 |- ( ( A o. `' A ) C_ { <. y , z >. | y = z } <-> { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) } C_ { <. y , z >. | y = z } )
6		ssopab2b 4206	. . . . 5 |- ( { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) } C_ { <. y , z >. | y = z } <-> A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) )
7	3, 5, 6	3bitri 205	. . . 4 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) )
8		vex 2692	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
9		vex 2692	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
10	8, 9	brcnv 4730	. . . . . . . . . . 11 |- ( y `' A x <-> x A y )
11	10	anbi1i 454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y `' A x /\ x A z ) <-> ( x A y /\ x A z ) )
12	11	exbii 1585	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) <-> E. x ( x A y /\ x A z ) )
13	12	imbi1i 237	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( E. x ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
14		19.23v 1856	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( E. x ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
15	13, 14	bitr4i 186	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
16	15	albii 1447	. . . . . 6 |- ( A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. z A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
17		alcom 1455	. . . . . 6 |- ( A. z A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
18	16, 17	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
19	18	albii 1447	. . . 4 |- ( A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
20		alcom 1455	. . . 4 |- ( A. y A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
21	7, 19, 20	3bitri 205	. . 3 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
22	21	anbi2i 453	. 2 |- ( ( Rel A /\ ( A o. `' A ) C_ _I ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
23	1, 22	bitri 183	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1330   E.wex 1469   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   {copab 3996   _I cid 4218   `'ccnv 4546   o. ccom 4551   Rel wrel 4552   Fun wfun 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-cnv 4555  df-co 4556  df-fun 5133

This theorem is referenced by:  dffun4  5142  dffun6f  5144  sbcfung  5155  funcnveq  5194  fliftfun  5705  fclim  11095