Theorem dffun2 5281

Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun2	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fun 5273	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ ( A o. `' A ) C_ _I ) )
2		df-id 4340	. . . . . 6 |- _I = { <. y , z >. | y = z }
3	2	sseq2i 3220	. . . . 5 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> ( A o. `' A ) C_ { <. y , z >. | y = z } )
4		df-co 4684	. . . . . 6 |- ( A o. `' A ) = { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) }
5	4	sseq1i 3219	. . . . 5 |- ( ( A o. `' A ) C_ { <. y , z >. | y = z } <-> { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) } C_ { <. y , z >. | y = z } )
6		ssopab2b 4323	. . . . 5 |- ( { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) } C_ { <. y , z >. | y = z } <-> A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) )
7	3, 5, 6	3bitri 206	. . . 4 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) )
8		vex 2775	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
9		vex 2775	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
10	8, 9	brcnv 4861	. . . . . . . . . . 11 |- ( y `' A x <-> x A y )
11	10	anbi1i 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y `' A x /\ x A z ) <-> ( x A y /\ x A z ) )
12	11	exbii 1628	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) <-> E. x ( x A y /\ x A z ) )
13	12	imbi1i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( E. x ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
14		19.23v 1906	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( E. x ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
15	13, 14	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
16	15	albii 1493	. . . . . 6 |- ( A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. z A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
17		alcom 1501	. . . . . 6 |- ( A. z A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
18	16, 17	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
19	18	albii 1493	. . . 4 |- ( A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
20		alcom 1501	. . . 4 |- ( A. y A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
21	7, 19, 20	3bitri 206	. . 3 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
22	21	anbi2i 457	. 2 |- ( ( Rel A /\ ( A o. `' A ) C_ _I ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
23	1, 22	bitri 184	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1371   E.wex 1515   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   {copab 4104   _I cid 4335   `'ccnv 4674   o. ccom 4679   Rel wrel 4680   Fun wfun 5265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-cnv 4683  df-co 4684  df-fun 5273

This theorem is referenced by:  dffun4  5282  dffun6f  5284  sbcfung  5295  fundif  5318  funcnveq  5337  fliftfun  5865  fclim  11605