Theorem dffun2 5268

Description: Alternate definition of a function. (Contributed by NM, 29-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dffun2	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fun 5260	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ ( A o. `' A ) C_ _I ) )
2		df-id 4328	. . . . . 6 |- _I = { <. y , z >. | y = z }
3	2	sseq2i 3210	. . . . 5 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> ( A o. `' A ) C_ { <. y , z >. | y = z } )
4		df-co 4672	. . . . . 6 |- ( A o. `' A ) = { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) }
5	4	sseq1i 3209	. . . . 5 |- ( ( A o. `' A ) C_ { <. y , z >. | y = z } <-> { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) } C_ { <. y , z >. | y = z } )
6		ssopab2b 4311	. . . . 5 |- ( { <. y , z >. | E. x ( y `' A x /\ x A z ) } C_ { <. y , z >. | y = z } <-> A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) )
7	3, 5, 6	3bitri 206	. . . 4 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) )
8		vex 2766	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
9		vex 2766	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
10	8, 9	brcnv 4849	. . . . . . . . . . 11 |- ( y `' A x <-> x A y )
11	10	anbi1i 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y `' A x /\ x A z ) <-> ( x A y /\ x A z ) )
12	11	exbii 1619	. . . . . . . . 9 |- ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) <-> E. x ( x A y /\ x A z ) )
13	12	imbi1i 238	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( E. x ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
14		19.23v 1897	. . . . . . . 8 |- ( A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> ( E. x ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
15	13, 14	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
16	15	albii 1484	. . . . . 6 |- ( A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. z A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
17		alcom 1492	. . . . . 6 |- ( A. z A. x ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
18	16, 17	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
19	18	albii 1484	. . . 4 |- ( A. y A. z ( E. x ( y `' A x /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. y A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
20		alcom 1492	. . . 4 |- ( A. y A. x A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
21	7, 19, 20	3bitri 206	. . 3 |- ( ( A o. `' A ) C_ _I <-> A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) )
22	21	anbi2i 457	. 2 |- ( ( Rel A /\ ( A o. `' A ) C_ _I ) <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )
23	1, 22	bitri 184	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( x A y /\ x A z ) -> y = z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   E.wex 1506   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   {copab 4093   _I cid 4323   `'ccnv 4662   o. ccom 4667   Rel wrel 4668   Fun wfun 5252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-cnv 4671  df-co 4672  df-fun 5260

This theorem is referenced by:  dffun4  5269  dffun6f  5271  sbcfung  5282  funcnveq  5321  fliftfun  5843  fclim  11459