Theorem strslss 12006

Description: Propagate component extraction to a structure T from a subset structure S. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strss.t	|- T e. _V
strss.f	|- Fun T
strss.s	|- S C_ T
strslss.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
strss.n	|- <. ( E ` ndx ) , C >. e. S

Assertion

Ref	Expression
strslss	|- ( E ` T ) = ( E ` S )

Proof of Theorem strslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslss.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2		strss.t	. . . 4 |- T e. _V
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> T e. _V )
4		strss.f	. . . 4 |- Fun T
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Fun T )
6		strss.s	. . . 4 |- S C_ T
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> S C_ T )
8		strss.n	. . . 4 |- <. ( E ` ndx ) , C >. e. S
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> <. ( E ` ndx ) , C >. e. S )
10	1, 3, 5, 7, 9	strslssd 12005	. 2 |- ( T. -> ( E ` T ) = ( E ` S ) )
11	10	mptru 1340	1 |- ( E ` T ) = ( E ` S )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   T. wtru 1332   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   <.cop 3530   Fun wfun 5117   ` cfv 5123   NNcn 8720   ndxcnx 11956  Slot cslot 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-slot 11963

This theorem is referenced by: (None)