Theorem strslss 12669

Description: Propagate component extraction to a structure T from a subset structure S. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strss.t	|- T e. _V
strss.f	|- Fun T
strss.s	|- S C_ T
strslss.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
strss.n	|- <. ( E ` ndx ) , C >. e. S

Assertion

Ref	Expression
strslss	|- ( E ` T ) = ( E ` S )

Proof of Theorem strslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslss.e	. . 3 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2		strss.t	. . . 4 |- T e. _V
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> T e. _V )
4		strss.f	. . . 4 |- Fun T
5	4	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Fun T )
6		strss.s	. . . 4 |- S C_ T
7	6	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> S C_ T )
8		strss.n	. . . 4 |- <. ( E ` ndx ) , C >. e. S
9	8	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> <. ( E ` ndx ) , C >. e. S )
10	1, 3, 5, 7, 9	strslssd 12668	. 2 |- ( T. -> ( E ` T ) = ( E ` S ) )
11	10	mptru 1373	1 |- ( E ` T ) = ( E ` S )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   <.cop 3622   Fun wfun 5249   ` cfv 5255   NNcn 8984   ndxcnx 12618  Slot cslot 12620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-slot 12625

This theorem is referenced by: (None)