ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strslss GIF version

Theorem strslss 12669
Description: Propagate component extraction to a structure 𝑇 from a subset structure 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strss.t 𝑇 ∈ V
strss.f Fun 𝑇
strss.s 𝑆𝑇
strslss.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strss.n ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
Assertion
Ref Expression
strslss (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆)

Proof of Theorem strslss
StepHypRef Expression
1 strslss.e . . 3 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2 strss.t . . . 4 𝑇 ∈ V
32a1i 9 . . 3 (⊤ → 𝑇 ∈ V)
4 strss.f . . . 4 Fun 𝑇
54a1i 9 . . 3 (⊤ → Fun 𝑇)
6 strss.s . . . 4 𝑆𝑇
76a1i 9 . . 3 (⊤ → 𝑆𝑇)
8 strss.n . . . 4 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
98a1i 9 . . 3 (⊤ → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
101, 3, 5, 7, 9strslssd 12668 . 2 (⊤ → (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆))
1110mptru 1373 1 (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104   = wceq 1364  wtru 1365  wcel 2164  Vcvv 2760  wss 3154  cop 3622  Fun wfun 5249  cfv 5255  cn 8984  ndxcnx 12618  Slot cslot 12620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-slot 12625
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator