Theorem strslss 12955

Description: Propagate component extraction to a structure 𝑇 from a subset structure 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strss.t	⊢ 𝑇 ∈ V
strss.f	⊢ Fun 𝑇
strss.s	⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
strslss.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strss.n	⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆

Assertion

Ref	Expression
strslss	⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

Proof of Theorem strslss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strslss.e	. . 3 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2		strss.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ V
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑇 ∈ V)
4		strss.f	. . . 4 ⊢ Fun 𝑇
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → Fun 𝑇)
6		strss.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑇
7	6	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑆 ⊆ 𝑇)
8		strss.n	. . . 4 ⊢ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
10	1, 3, 5, 7, 9	strslssd 12954	. 2 ⊢ (⊤ → (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆))
11	10	mptru 1382	1 ⊢ (𝐸‘𝑇) = (𝐸‘𝑆)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373  ⊤wtru 1374   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ⟨cop 3641  Fun wfun 5274  ‘cfv 5280  ℕcn 9056  ndxcnx 12904  Slot cslot 12906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-slot 12911

This theorem is referenced by: (None)