ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strslss GIF version

Theorem strslss 12032
Description: Propagate component extraction to a structure 𝑇 from a subset structure 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 31-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
strss.t 𝑇 ∈ V
strss.f Fun 𝑇
strss.s 𝑆𝑇
strslss.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
strss.n ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
Assertion
Ref Expression
strslss (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆)

Proof of Theorem strslss
StepHypRef Expression
1 strslss.e . . 3 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2 strss.t . . . 4 𝑇 ∈ V
32a1i 9 . . 3 (⊤ → 𝑇 ∈ V)
4 strss.f . . . 4 Fun 𝑇
54a1i 9 . . 3 (⊤ → Fun 𝑇)
6 strss.s . . . 4 𝑆𝑇
76a1i 9 . . 3 (⊤ → 𝑆𝑇)
8 strss.n . . . 4 ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆
98a1i 9 . . 3 (⊤ → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ 𝑆)
101, 3, 5, 7, 9strslssd 12031 . 2 (⊤ → (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆))
1110mptru 1340 1 (𝐸𝑇) = (𝐸𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1331  wtru 1332  wcel 1480  Vcvv 2686  wss 3071  cop 3530  Fun wfun 5120  cfv 5126  cn 8739  ndxcnx 11982  Slot cslot 11984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-slot 11989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator