Theorem structfung 13352

Description: The converse of the converse of a structure is a function. Closed form of structfun 13353. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structfung	|- ( F Struct X -> Fun `' `' F )

Proof of Theorem structfung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structn0fun 13348	. 2 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )
2		structcnvcnv 13351	. . 3 |- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )
3	2	funeqd 5397	. 2 |- ( F Struct X -> ( Fun `' `' F <-> Fun ( F \ { (/) } ) ) )
4	1, 3	mpbird 167	1 |- ( F Struct X -> Fun `' `' F )

Syntax hints:   -> wi 4   \ cdif 3217   (/)c0 3520   {csn 3708   class class class wbr 4128   `'ccnv 4771   Fun wfun 5369   Struct cstr 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-struct 13337

This theorem is referenced by:  structfun  13353  strslfv3  13381  opelstrsl  13451