Theorem structfung 12348

Description: The converse of the converse of a structure is a function. Closed form of structfun 12349. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structfung	|- ( F Struct X -> Fun `' `' F )

Proof of Theorem structfung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structn0fun 12344	. 2 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )
2		structcnvcnv 12347	. . 3 |- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )
3	2	funeqd 5204	. 2 |- ( F Struct X -> ( Fun `' `' F <-> Fun ( F \ { (/) } ) ) )
4	1, 3	mpbird 166	1 |- ( F Struct X -> Fun `' `' F )

Syntax hints:   -> wi 4   \ cdif 3108   (/)c0 3404   {csn 3570   class class class wbr 3976   `'ccnv 4597   Fun wfun 5176   Struct cstr 12327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-struct 12333

This theorem is referenced by:  structfun  12349  opelstrsl  12427