Theorem structfung 12638

Description: The converse of the converse of a structure is a function. Closed form of structfun 12639. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structfung	|- ( F Struct X -> Fun `' `' F )

Proof of Theorem structfung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structn0fun 12634	. 2 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )
2		structcnvcnv 12637	. . 3 |- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )
3	2	funeqd 5277	. 2 |- ( F Struct X -> ( Fun `' `' F <-> Fun ( F \ { (/) } ) ) )
4	1, 3	mpbird 167	1 |- ( F Struct X -> Fun `' `' F )

Syntax hints:   -> wi 4   \ cdif 3151   (/)c0 3447   {csn 3619   class class class wbr 4030   `'ccnv 4659   Fun wfun 5249   Struct cstr 12617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-struct 12623

This theorem is referenced by:  structfun  12639  opelstrsl  12735