Theorem structfung 13122

Description: The converse of the converse of a structure is a function. Closed form of structfun 13123. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structfung	|- ( F Struct X -> Fun `' `' F )

Proof of Theorem structfung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structn0fun 13118	. 2 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )
2		structcnvcnv 13121	. . 3 |- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )
3	2	funeqd 5350	. 2 |- ( F Struct X -> ( Fun `' `' F <-> Fun ( F \ { (/) } ) ) )
4	1, 3	mpbird 167	1 |- ( F Struct X -> Fun `' `' F )

Syntax hints:   -> wi 4   \ cdif 3196   (/)c0 3493   {csn 3670   class class class wbr 4089   `'ccnv 4726   Fun wfun 5322   Struct cstr 13101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-struct 13107

This theorem is referenced by:  structfun  13123  strslfv3  13151  opelstrsl  13220