Theorem structfung 12433

Description: The converse of the converse of a structure is a function. Closed form of structfun 12434. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structfung	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝐹)

Proof of Theorem structfung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structn0fun 12429	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
2		structcnvcnv 12432	. . 3 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))
3	2	funeqd 5220	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (Fun ◡◡𝐹 ↔ Fun (𝐹 ∖ {∅})))
4	1, 3	mpbird 166	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∖ cdif 3118  ∅c0 3414  {csn 3583   class class class wbr 3989  ^◡ccnv 4610  Fun wfun 5192   Struct cstr 12412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-struct 12418

This theorem is referenced by:  structfun  12434  opelstrsl  12514