Theorem structfung 12635

Description: The converse of the converse of a structure is a function. Closed form of structfun 12636. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structfung	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝐹)

Proof of Theorem structfung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structn0fun 12631	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
2		structcnvcnv 12634	. . 3 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))
3	2	funeqd 5276	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (Fun ◡◡𝐹 ↔ Fun (𝐹 ∖ {∅})))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∖ cdif 3150  ∅c0 3446  {csn 3618   class class class wbr 4029  ^◡ccnv 4658  Fun wfun 5248   Struct cstr 12614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-struct 12620

This theorem is referenced by:  structfun  12636  opelstrsl  12732