Theorem structfung 13101

Description: The converse of the converse of a structure is a function. Closed form of structfun 13102. (Contributed by AV, 12-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structfung	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝐹)

Proof of Theorem structfung

Step	Hyp	Ref	Expression
1		structn0fun 13097	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
2		structcnvcnv 13100	. . 3 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → ◡◡𝐹 = (𝐹 ∖ {∅}))
3	2	funeqd 5348	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (Fun ◡◡𝐹 ↔ Fun (𝐹 ∖ {∅})))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun ◡◡𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∖ cdif 3197  ∅c0 3494  {csn 3669   class class class wbr 4088  ^◡ccnv 4724  Fun wfun 5320   Struct cstr 13080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-struct 13086

This theorem is referenced by:  structfun  13102  strslfv3  13130  opelstrsl  13199