Theorem structn0fun 12174

Description: A structure without the empty set is a function. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structn0fun	|- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )

Proof of Theorem structn0fun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 12171	. 2 |- ( F Struct X -> ( X e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` X ) ) )
2	1	simp2d 995	1 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   \ cdif 3099   i^i cin 3101   C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   class class class wbr 3965   X. cxp 4583   dom cdm 4585   Fun wfun 5163   ` cfv 5169   <_ cle 7907   NNcn 8827   ...cfz 9905   Struct cstr 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-struct 12163

This theorem is referenced by:  structcnvcnv  12177  structfung  12178  setsn0fun  12198