Theorem structn0fun 12407

Description: A structure without the empty set is a function. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structn0fun	|- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )

Proof of Theorem structn0fun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 12404	. 2 |- ( F Struct X -> ( X e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` X ) ) )
2	1	simp2d 1000	1 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   \ cdif 3113   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   dom cdm 4604   Fun wfun 5182   ` cfv 5188   <_ cle 7934   NNcn 8857   ...cfz 9944   Struct cstr 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-struct 12396

This theorem is referenced by:  structcnvcnv  12410  structfung  12411  setsn0fun  12431