Theorem opelstrsl 12514

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
opelstrsl.s	|- ( ph -> S Struct X )
opelstrsl.v	|- ( ph -> V e. Y )
opelstrsl.el	|- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	|- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2		opelstrsl.s	. . 3 |- ( ph -> S Struct X )
3		structex 12428	. . 3 |- ( S Struct X -> S e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> S e. _V )
5		structfung 12433	. . 3 |- ( S Struct X -> Fun `' `' S )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun `' `' S )
7		opelstrsl.el	. 2 |- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )
8		opelstrsl.v	. 2 |- ( ph -> V e. Y )
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 12458	1 |- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   <.cop 3586   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   Fun wfun 5192   ` cfv 5198   NNcn 8878   Struct cstr 12412   ndxcnx 12413  Slot cslot 12415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-struct 12418  df-slot 12420

This theorem is referenced by:  opelstrbas  12515  2strop1g  12523  rngplusgg  12535  rngmulrg  12536  srngplusgd  12542  srngmulrd  12543  srnginvld  12544  lmodplusgd  12553  lmodscad  12554  lmodvscad  12555  ipsaddgd  12561  ipsmulrd  12562  ipsscad  12563  ipsvscad  12564  ipsipd  12565  topgrpplusgd  12571  topgrptsetd  12572