Theorem opelstrsl 12257

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
opelstrsl.s	|- ( ph -> S Struct X )
opelstrsl.v	|- ( ph -> V e. Y )
opelstrsl.el	|- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	|- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2		opelstrsl.s	. . 3 |- ( ph -> S Struct X )
3		structex 12173	. . 3 |- ( S Struct X -> S e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> S e. _V )
5		structfung 12178	. . 3 |- ( S Struct X -> Fun `' `' S )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun `' `' S )
7		opelstrsl.el	. 2 |- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )
8		opelstrsl.v	. 2 |- ( ph -> V e. Y )
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 12203	1 |- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   <.cop 3563   class class class wbr 3965   `'ccnv 4584   Fun wfun 5163   ` cfv 5169   NNcn 8827   Struct cstr 12157   ndxcnx 12158  Slot cslot 12160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-struct 12163  df-slot 12165

This theorem is referenced by:  opelstrbas  12258  2strop1g  12266  rngplusgg  12278  rngmulrg  12279  srngplusgd  12285  srngmulrd  12286  srnginvld  12287  lmodplusgd  12296  lmodscad  12297  lmodvscad  12298  ipsaddgd  12304  ipsmulrd  12305  ipsscad  12306  ipsvscad  12307  ipsipd  12308  topgrpplusgd  12314  topgrptsetd  12315