Theorem opelstrsl 12792

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
opelstrsl.s	|- ( ph -> S Struct X )
opelstrsl.v	|- ( ph -> V e. Y )
opelstrsl.el	|- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	|- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2		opelstrsl.s	. . 3 |- ( ph -> S Struct X )
3		structex 12690	. . 3 |- ( S Struct X -> S e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> S e. _V )
5		structfung 12695	. . 3 |- ( S Struct X -> Fun `' `' S )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun `' `' S )
7		opelstrsl.el	. 2 |- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )
8		opelstrsl.v	. 2 |- ( ph -> V e. Y )
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 12721	1 |- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   <.cop 3625   class class class wbr 4033   `'ccnv 4662   Fun wfun 5252   ` cfv 5258   NNcn 8990   Struct cstr 12674   ndxcnx 12675  Slot cslot 12677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-struct 12680  df-slot 12682

This theorem is referenced by:  opelstrbas  12793  2strop1g  12801  rngplusgg  12814  rngmulrg  12815  srngplusgd  12825  srngmulrd  12826  srnginvld  12827  lmodplusgd  12843  lmodscad  12844  lmodvscad  12845  ipsaddgd  12855  ipsmulrd  12856  ipsscad  12857  ipsvscad  12858  ipsipd  12859  topgrpplusgd  12875  topgrptsetd  12876  psrplusgg  14230