ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opelstrsl Unicode version

Theorem opelstrsl 11982
Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
opelstrsl.e  |-  ( E  = Slot  ( E `  ndx )  /\  ( E `  ndx )  e.  NN )
opelstrsl.s  |-  ( ph  ->  S Struct  X )
opelstrsl.v  |-  ( ph  ->  V  e.  Y )
opelstrsl.el  |-  ( ph  -> 
<. ( E `  ndx ) ,  V >.  e.  S )
Assertion
Ref Expression
opelstrsl  |-  ( ph  ->  V  =  ( E `
 S ) )

Proof of Theorem opelstrsl
StepHypRef Expression
1 opelstrsl.e . 2  |-  ( E  = Slot  ( E `  ndx )  /\  ( E `  ndx )  e.  NN )
2 opelstrsl.s . . 3  |-  ( ph  ->  S Struct  X )
3 structex 11898 . . 3  |-  ( S Struct  X  ->  S  e.  _V )
42, 3syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
5 structfung 11903 . . 3  |-  ( S Struct  X  ->  Fun  `' `' S )
62, 5syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  `' `' S
)
7 opelstrsl.el . 2  |-  ( ph  -> 
<. ( E `  ndx ) ,  V >.  e.  S )
8 opelstrsl.v . 2  |-  ( ph  ->  V  e.  Y )
91, 4, 6, 7, 8strslfv2d 11928 1  |-  ( ph  ->  V  =  ( E `
 S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660   <.cop 3500   class class class wbr 3899   `'ccnv 4508   Fun wfun 5087   ` cfv 5093   NNcn 8688   Struct cstr 11882   ndxcnx 11883  Slot cslot 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-struct 11888  df-slot 11890
This theorem is referenced by:  opelstrbas  11983  2strop1g  11991  rngplusgg  12003  rngmulrg  12004  srngplusgd  12010  srngmulrd  12011  srnginvld  12012  lmodplusgd  12021  lmodscad  12022  lmodvscad  12023  ipsaddgd  12029  ipsmulrd  12030  ipsscad  12031  ipsvscad  12032  ipsipd  12033  topgrpplusgd  12039  topgrptsetd  12040
  Copyright terms: Public domain W3C validator