Theorem opelstrsl 12563

Description: The slot of a structure which contains an ordered pair for that slot. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelstrsl.e	|- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
opelstrsl.s	|- ( ph -> S Struct X )
opelstrsl.v	|- ( ph -> V e. Y )
opelstrsl.el	|- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )

Assertion

Ref	Expression
opelstrsl	|- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Proof of Theorem opelstrsl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelstrsl.e	. 2 |- ( E = Slot ( E ` ndx ) /\ ( E ` ndx ) e. NN )
2		opelstrsl.s	. . 3 |- ( ph -> S Struct X )
3		structex 12464	. . 3 |- ( S Struct X -> S e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ph -> S e. _V )
5		structfung 12469	. . 3 |- ( S Struct X -> Fun `' `' S )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun `' `' S )
7		opelstrsl.el	. 2 |- ( ph -> <. ( E ` ndx ) , V >. e. S )
8		opelstrsl.v	. 2 |- ( ph -> V e. Y )
9	1, 4, 6, 7, 8	strslfv2d 12495	1 |- ( ph -> V = ( E ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   <.cop 3595   class class class wbr 4001   `'ccnv 4623   Fun wfun 5207   ` cfv 5213   NNcn 8913   Struct cstr 12448   ndxcnx 12449  Slot cslot 12451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221  df-struct 12454  df-slot 12456

This theorem is referenced by:  opelstrbas  12564  2strop1g  12572  rngplusgg  12585  rngmulrg  12586  srngplusgd  12596  srngmulrd  12597  srnginvld  12598  lmodplusgd  12614  lmodscad  12615  lmodvscad  12616  ipsaddgd  12626  ipsmulrd  12627  ipsscad  12628  ipsvscad  12629  ipsipd  12630  topgrpplusgd  12643  topgrptsetd  12644