Theorem structn0fun 12960

Description: A structure without the empty set is a function. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structn0fun	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structn0fun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 12957	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (𝑋 ∈ ( ≤ ∩ (ℕ × ℕ)) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (...‘𝑋)))
2	1	simp2d 1013	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2178   ∖ cdif 3171   ∩ cin 3173   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468  {csn 3643   class class class wbr 4059   × cxp 4691  dom cdm 4693  Fun wfun 5284  ‘cfv 5290   ≤ cle 8143  ℕcn 9071  ...cfz 10165   Struct cstr 12943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-struct 12949

This theorem is referenced by:  structcnvcnv  12963  structfung  12964  setsn0fun  12984  basvtxval2dom  15748  edgfiedgval2dom  15749  structiedg0val  15754