Theorem structn0fun 13424

Description: A structure without the empty set is a function. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structn0fun	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structn0fun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 13421	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (𝑋 ∈ ( ≤ ∩ (ℕ × ℕ)) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (...‘𝑋)))
2	1	simp2d 1041	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3709   class class class wbr 4131   × cxp 4774  dom cdm 4776  Fun wfun 5374  ‘cfv 5380   ≤ cle 8368  ℕcn 9314  ...cfz 10429   Struct cstr 13407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-struct 13413

This theorem is used by:  structcnvcnv  13427  structfung  13428  setsn0fun  13448  basvtxval2dom  16492  edgfiedgval2dom  16493  structiedg0val  16498