Theorem structn0fun 13246

Description: A structure without the empty set is a function. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structn0fun	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structn0fun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 13243	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (𝑋 ∈ ( ≤ ∩ (ℕ × ℕ)) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (...‘𝑋)))
2	1	simp2d 1037	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205   ∖ cdif 3210   ∩ cin 3212   ⊆ wss 3213  ∅c0 3510  {csn 3691   class class class wbr 4111   × cxp 4749  dom cdm 4751  Fun wfun 5348  ‘cfv 5354   ≤ cle 8314  ℕcn 9242  ...cfz 10348   Struct cstr 13229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-struct 13235

This theorem is referenced by:  structcnvcnv  13249  structfung  13250  setsn0fun  13270  basvtxval2dom  16078  edgfiedgval2dom  16079  structiedg0val  16084