Theorem structn0fun 12631

Description: A structure without the empty set is a function. (Contributed by AV, 13-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
structn0fun	⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))

Proof of Theorem structn0fun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 12628	. 2 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → (𝑋 ∈ ( ≤ ∩ (ℕ × ℕ)) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (...‘𝑋)))
2	1	simp2d 1012	1 ⊢ (𝐹 Struct 𝑋 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3150   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446  {csn 3618   class class class wbr 4029   × cxp 4657  dom cdm 4659  Fun wfun 5248  ‘cfv 5254   ≤ cle 8055  ℕcn 8982  ...cfz 10074   Struct cstr 12614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-struct 12620

This theorem is referenced by:  structcnvcnv  12634  structfung  12635  setsn0fun  12655