Theorem isstructim 13012

Description: The property of being a structure with components in M ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
isstructim	|- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )

Proof of Theorem isstructim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 13008	. 2 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) ) )
2		brinxp2 4763	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
3		df-br 4063	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
4	2, 3	bitr3i 186	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) <-> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
5		biid 171	. . 3 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) <-> Fun ( F \ { (/) } ) )
6		df-ov 5977	. . . 4 |- ( M ... N ) = ( ... ` <. M , N >. )
7	6	sseq2i 3231	. . 3 |- ( dom F C_ ( M ... N ) <-> dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) )
8	4, 5, 7	3anbi123i 1193	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) <-> ( <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) ) )
9	1, 8	sylibr 134	1 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 983   e. wcel 2180   \ cdif 3174   i^i cin 3176   C_ wss 3177   (/)c0 3471   {csn 3646   <.cop 3649   class class class wbr 4062   X. cxp 4694   dom cdm 4696   Fun wfun 5288   ` cfv 5294  (class class class)co 5974   <_ cle 8150   NNcn 9078   ...cfz 10172   Struct cstr 12994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-ov 5977  df-struct 13000

This theorem is referenced by:  structfn  13017  strsetsid  13031  strleund  13102  strleun  13103  strext  13104