Theorem isstructim 13368

Description: The property of being a structure with components in M ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
isstructim	|- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )

Proof of Theorem isstructim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 13364	. 2 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) ) )
2		brinxp2 4842	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
3		df-br 4131	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
4	2, 3	bitr3i 186	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) <-> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
5		biid 171	. . 3 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) <-> Fun ( F \ { (/) } ) )
6		df-ov 6088	. . . 4 |- ( M ... N ) = ( ... ` <. M , N >. )
7	6	sseq2i 3275	. . 3 |- ( dom F C_ ( M ... N ) <-> dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) )
8	4, 5, 7	3anbi123i 1219	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) <-> ( <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) ) )
9	1, 8	sylibr 134	1 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   \ cdif 3217   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3709   <.cop 3712   class class class wbr 4130   X. cxp 4772   dom cdm 4774   Fun wfun 5371   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   <_ cle 8361   NNcn 9305   ...cfz 10413   Struct cstr 13350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-struct 13356

This theorem is used by:  structfn  13373  strsetsid  13387  strleund  13459  strleun  13460  strext  13461