Theorem isstructim 13247

Description: The property of being a structure with components in M ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
isstructim	|- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )

Proof of Theorem isstructim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 13243	. 2 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) ) )
2		brinxp2 4819	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
3		df-br 4112	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
4	2, 3	bitr3i 186	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) <-> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
5		biid 171	. . 3 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) <-> Fun ( F \ { (/) } ) )
6		df-ov 6055	. . . 4 |- ( M ... N ) = ( ... ` <. M , N >. )
7	6	sseq2i 3267	. . 3 |- ( dom F C_ ( M ... N ) <-> dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) )
8	4, 5, 7	3anbi123i 1215	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) <-> ( <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) ) )
9	1, 8	sylibr 134	1 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   \ cdif 3210   i^i cin 3212   C_ wss 3213   (/)c0 3510   {csn 3691   <.cop 3694   class class class wbr 4111   X. cxp 4749   dom cdm 4751   Fun wfun 5348   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   <_ cle 8314   NNcn 9242   ...cfz 10348   Struct cstr 13229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-ov 6055  df-struct 13235

This theorem is referenced by:  structfn  13252  strsetsid  13266  strleund  13337  strleun  13338  strext  13339