Theorem isstructim 12632

Description: The property of being a structure with components in M ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
isstructim	|- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )

Proof of Theorem isstructim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isstruct2im 12628	. 2 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) ) )
2		brinxp2 4726	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) )
3		df-br 4030	. . . 4 |- ( M ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) N <-> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
4	2, 3	bitr3i 186	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) <-> <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) )
5		biid 171	. . 3 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) <-> Fun ( F \ { (/) } ) )
6		df-ov 5921	. . . 4 |- ( M ... N ) = ( ... ` <. M , N >. )
7	6	sseq2i 3206	. . 3 |- ( dom F C_ ( M ... N ) <-> dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) )
8	4, 5, 7	3anbi123i 1190	. 2 |- ( ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) <-> ( <. M , N >. e. ( <_ i^i ( NN X. NN ) ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( ... ` <. M , N >. ) ) )
9	1, 8	sylibr 134	1 |- ( F Struct <. M , N >. -> ( ( M e. NN /\ N e. NN /\ M <_ N ) /\ Fun ( F \ { (/) } ) /\ dom F C_ ( M ... N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2164   \ cdif 3150   i^i cin 3152   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   <.cop 3621   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   dom cdm 4659   Fun wfun 5248   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   <_ cle 8055   NNcn 8982   ...cfz 10074   Struct cstr 12614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-struct 12620

This theorem is referenced by:  structfn  12637  strsetsid  12651  strleund  12721  strleun  12722  strext  12723