ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isstructim Unicode version

Theorem isstructim 11755
Description: The property of being a structure with components in  M ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
isstructim  |-  ( F Struct  <. M ,  N >.  -> 
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( M ... N
) ) )

Proof of Theorem isstructim
StepHypRef Expression
1 isstruct2im 11751 . 2  |-  ( F Struct  <. M ,  N >.  -> 
( <. M ,  N >.  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( ... `  <. M ,  N >. )
) )
2 brinxp2 4544 . . . 4  |-  ( M (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) ) N  <->  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N ) )
3 df-br 3876 . . . 4  |-  ( M (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) ) N  <->  <. M ,  N >.  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) ) )
42, 3bitr3i 185 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  <->  <. M ,  N >.  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) ) )
5 biid 170 . . 3  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( F 
\  { (/) } ) )
6 df-ov 5709 . . . 4  |-  ( M ... N )  =  ( ... `  <. M ,  N >. )
76sseq2i 3074 . . 3  |-  ( dom 
F  C_  ( M ... N )  <->  dom  F  C_  ( ... `  <. M ,  N >. ) )
84, 5, 73anbi123i 1138 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( M ... N ) )  <->  ( <. M ,  N >.  e.  (  <_  i^i  ( NN  X.  NN ) )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( ... `  <. M ,  N >. )
) )
91, 8sylibr 133 1  |-  ( F Struct  <. M ,  N >.  -> 
( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  M  <_  N )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( M ... N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 930    e. wcel 1448    \ cdif 3018    i^i cin 3020    C_ wss 3021   (/)c0 3310   {csn 3474   <.cop 3477   class class class wbr 3875    X. cxp 4475   dom cdm 4477   Fun wfun 5053   ` cfv 5059  (class class class)co 5706    <_ cle 7673   NNcn 8578   ...cfz 9631   Struct cstr 11737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-ov 5709  df-struct 11743
This theorem is referenced by:  structfn  11760  strsetsid  11774  strleund  11829  strleun  11830
  Copyright terms: Public domain W3C validator