Theorem topbas 14539

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
topbas	|- ( J e. Top -> J e. TopBases )

Proof of Theorem topbas

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inopn 14475	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ y e. J ) -> ( x i^i y ) e. J )
2	1	3expb 1207	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x i^i y ) e. J )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. ( x i^i y ) )
4		ssid 3213	. . . . . . 7 |- ( x i^i y ) C_ ( x i^i y )
5	3, 4	jctir 313	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
6		eleq2 2269	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( z e. w <-> z e. ( x i^i y ) ) )
7		sseq1 3216	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( w C_ ( x i^i y ) <-> ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
8	6, 7	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	8	rspcev 2877	. . . . . 6 |- ( ( ( x i^i y ) e. J /\ ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) -> E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
10	2, 5, 9	syl2an2r 595	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
11	10	exp31 364	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J /\ y e. J ) -> ( z e. ( x i^i y ) -> E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )
12	11	ralrimdv 2585	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J /\ y e. J ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
13	12	ralrimivv 2587	. 2 |- ( J e. Top -> A. x e. J A. y e. J A. z e. ( x i^i y ) E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
14		isbasis2g 14517	. 2 |- ( J e. Top -> ( J e. TopBases <-> A. x e. J A. y e. J A. z e. ( x i^i y ) E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
15	13, 14	mpbird 167	1 |- ( J e. Top -> J e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   i^i cin 3165   C_ wss 3166   Topctop 14469   TopBasesctb 14514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4162

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-uni 3851  df-top 14470  df-bases 14515

This theorem is referenced by:  resttop  14642  txtop  14732