Theorem topbas 12236

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
topbas	|- ( J e. Top -> J e. TopBases )

Proof of Theorem topbas

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inopn 12170	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ y e. J ) -> ( x i^i y ) e. J )
2	1	3expb 1182	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x i^i y ) e. J )
3		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. ( x i^i y ) )
4		ssid 3117	. . . . . . 7 |- ( x i^i y ) C_ ( x i^i y )
5	3, 4	jctir 311	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
6		eleq2 2203	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( z e. w <-> z e. ( x i^i y ) ) )
7		sseq1 3120	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( w C_ ( x i^i y ) <-> ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
8	6, 7	anbi12d 464	. . . . . . 7 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	8	rspcev 2789	. . . . . 6 |- ( ( ( x i^i y ) e. J /\ ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) -> E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
10	2, 5, 9	syl2an2r 584	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
11	10	exp31 361	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J /\ y e. J ) -> ( z e. ( x i^i y ) -> E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )
12	11	ralrimdv 2511	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J /\ y e. J ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
13	12	ralrimivv 2513	. 2 |- ( J e. Top -> A. x e. J A. y e. J A. z e. ( x i^i y ) E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
14		isbasis2g 12212	. 2 |- ( J e. Top -> ( J e. TopBases <-> A. x e. J A. y e. J A. z e. ( x i^i y ) E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
15	13, 14	mpbird 166	1 |- ( J e. Top -> J e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   i^i cin 3070   C_ wss 3071   Topctop 12164   TopBasesctb 12209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-uni 3737  df-top 12165  df-bases 12210

This theorem is referenced by:  resttop  12339  txtop  12429