Theorem topbas 12018

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
topbas	|- ( J e. Top -> J e. TopBases )

Proof of Theorem topbas

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inopn 11952	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ y e. J ) -> ( x i^i y ) e. J )
2	1	3expb 1150	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x i^i y ) e. J )
3		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> z e. ( x i^i y ) )
4		ssid 3067	. . . . . . 7 |- ( x i^i y ) C_ ( x i^i y )
5	3, 4	jctir 309	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
6		eleq2 2163	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( z e. w <-> z e. ( x i^i y ) ) )
7		sseq1 3070	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( w C_ ( x i^i y ) <-> ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
8	6, 7	anbi12d 460	. . . . . . 7 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	8	rspcev 2744	. . . . . 6 |- ( ( ( x i^i y ) e. J /\ ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) -> E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
10	2, 5, 9	syl2an2r 565	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
11	10	exp31 359	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J /\ y e. J ) -> ( z e. ( x i^i y ) -> E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) ) )
12	11	ralrimdv 2470	. . 3 |- ( J e. Top -> ( ( x e. J /\ y e. J ) -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
13	12	ralrimivv 2472	. 2 |- ( J e. Top -> A. x e. J A. y e. J A. z e. ( x i^i y ) E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
14		isbasis2g 11994	. 2 |- ( J e. Top -> ( J e. TopBases <-> A. x e. J A. y e. J A. z e. ( x i^i y ) E. w e. J ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
15	13, 14	mpbird 166	1 |- ( J e. Top -> J e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   i^i cin 3020   C_ wss 3021   Topctop 11946   TopBasesctb 11991

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-uni 3684  df-top 11947  df-bases 11992

This theorem is referenced by:  resttop  12121  txtop  12210