Theorem txtop 14439

Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
txtop	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )

Proof of Theorem txtop

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 |- ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
2	1	txval 14434	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
3		topbas 14246	. . . 4 |- ( R e. Top -> R e. TopBases )
4		topbas 14246	. . . 4 |- ( S e. Top -> S e. TopBases )
5	1	txbas 14437	. . . 4 |- ( ( R e. TopBases /\ S e. TopBases ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. TopBases )
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. TopBases )
7		tgcl 14243	. . 3 |- ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. TopBases -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) e. Top )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) e. Top )
9	2, 8	eqeltrd 2270	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   X. cxp 4658   ran crn 4661   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   topGenctg 12868   Topctop 14176   TopBasesctb 14221   tX ctx 14431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-topgen 12874  df-top 14177  df-bases 14222  df-tx 14432

This theorem is referenced by:  txtopi  14440  txtopon  14441  neitx  14447  imasnopn  14478  limccnp2lem  14855  limccnp2cntop  14856