Theorem txtop 12900

Description: The product of two topologies is a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
txtop	|- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )

Proof of Theorem txtop

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. . 3 |- ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) = ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) )
2	1	txval 12895	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) = ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) )
3		topbas 12707	. . . 4 |- ( R e. Top -> R e. TopBases )
4		topbas 12707	. . . 4 |- ( S e. Top -> S e. TopBases )
5	1	txbas 12898	. . . 4 |- ( ( R e. TopBases /\ S e. TopBases ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. TopBases )
6	3, 4, 5	syl2an 287	. . 3 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. TopBases )
7		tgcl 12704	. . 3 |- ( ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) e. TopBases -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) e. Top )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( topGen ` ran ( u e. R , v e. S |-> ( u X. v ) ) ) e. Top )
9	2, 8	eqeltrd 2243	1 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( R tX S ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   X. cxp 4602   ran crn 4605   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844   topGenctg 12571   Topctop 12635   TopBasesctb 12680   tX ctx 12892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-topgen 12577  df-top 12636  df-bases 12681  df-tx 12893

This theorem is referenced by:  txtopi  12901  txtopon  12902  neitx  12908  imasnopn  12939  limccnp2lem  13285  limccnp2cntop  13286