Theorem resttop 14757

Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. A is normally a subset of the base set of J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttop	|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Proof of Theorem resttop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrest 14756	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( ( topGen ` J ) ↾t A ) )
2		tgtop 14655	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` J ) = J )
4	3	oveq1d 5982	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( ( topGen ` J ) ↾t A ) = ( J ↾t A ) )
5	1, 4	eqtrd 2240	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( J ↾t A ) )
6		topbas 14654	. . . 4 |- ( J e. Top -> J e. TopBases )
7		restbasg 14755	. . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. TopBases )
8	6, 7	sylan 283	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. TopBases )
9		tgcl 14651	. . 3 |- ( ( J ↾t A ) e. TopBases -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
11	5, 10	eqeltrrd 2285	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ↾_t crest 13186   topGenctg 13201   Topctop 14584   TopBasesctb 14629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-top 14585  df-bases 14630

This theorem is referenced by:  resttopon  14758  resttopon2  14765  rest0  14766  cnptoprest2  14827  limccnp2lem  15263  limccnp2cntop  15264  reldvg  15266  dvbss  15272  dvidsslem  15280  dvcnp2cntop  15286