Theorem resttop 12328

Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. A is normally a subset of the base set of J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttop	|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Proof of Theorem resttop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrest 12327	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( ( topGen ` J ) ↾t A ) )
2		tgtop 12226	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
3	2	adantr 274	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` J ) = J )
4	3	oveq1d 5782	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( ( topGen ` J ) ↾t A ) = ( J ↾t A ) )
5	1, 4	eqtrd 2170	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( J ↾t A ) )
6		topbas 12225	. . . 4 |- ( J e. Top -> J e. TopBases )
7		restbasg 12326	. . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. TopBases )
8	6, 7	sylan 281	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. TopBases )
9		tgcl 12222	. . 3 |- ( ( J ↾t A ) e. TopBases -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
11	5, 10	eqeltrrd 2215	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ↾_t crest 12109   topGenctg 12124   Topctop 12153   TopBasesctb 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-rest 12111  df-topgen 12130  df-top 12154  df-bases 12199

This theorem is referenced by:  resttopon  12329  resttopon2  12336  rest0  12337  cnptoprest2  12398  limccnp2lem  12803  limccnp2cntop  12804  reldvg  12806  dvbss  12812  dvcnp2cntop  12821