Theorem resttop 14338

Description: A subspace topology is a topology. Definition of subspace topology in [Munkres] p. 89. A is normally a subset of the base set of J. (Contributed by FL, 15-Apr-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttop	|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Proof of Theorem resttop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgrest 14337	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( ( topGen ` J ) ↾t A ) )
2		tgtop 14236	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` J ) = J )
4	3	oveq1d 5933	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( ( topGen ` J ) ↾t A ) = ( J ↾t A ) )
5	1, 4	eqtrd 2226	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) = ( J ↾t A ) )
6		topbas 14235	. . . 4 |- ( J e. Top -> J e. TopBases )
7		restbasg 14336	. . . 4 |- ( ( J e. TopBases /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. TopBases )
8	6, 7	sylan 283	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. TopBases )
9		tgcl 14232	. . 3 |- ( ( J ↾t A ) e. TopBases -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
10	8, 9	syl 14	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( topGen ` ( J ↾t A ) ) e. Top )
11	5, 10	eqeltrrd 2271	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ↾_t crest 12850   topGenctg 12865   Topctop 14165   TopBasesctb 14210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-top 14166  df-bases 14211

This theorem is referenced by:  resttopon  14339  resttopon2  14346  rest0  14347  cnptoprest2  14408  limccnp2lem  14830  limccnp2cntop  14831  reldvg  14833  dvbss  14839  dvcnp2cntop  14848