Theorem tgtopon 14931

Description: A basis generates a topology on U. B. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgtopon	|- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. (TopOn ` U. B ) )

Proof of Theorem tgtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 14929	. 2 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. Top )
2		unitg 14927	. . 3 |- ( B e. TopBases -> U. ( topGen ` B ) = U. B )
3	2	eqcomd 2238	. 2 |- ( B e. TopBases -> U. B = U. ( topGen ` B ) )
4		istopon 14878	. 2 |- ( ( topGen ` B ) e. (TopOn ` U. B ) <-> ( ( topGen ` B ) e. Top /\ U. B = U. ( topGen ` B ) ) )
5	1, 3, 4	sylanbrc 417	1 |- ( B e. TopBases -> ( topGen ` B ) e. (TopOn ` U. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   U.cuni 3914   ` cfv 5352   topGenctg 13467   Topctop 14862  TopOnctopon 14875   TopBasesctb 14907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-topgen 13473  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908

This theorem is referenced by:  mopntopon  15308