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Theorem undifdcss 6897
Description: Union of complementary parts into whole and decidability. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
undifdcss  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem undifdcss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqimss2 3202 . . . 4  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  C_  A
)
2 undifss 3494 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  C_  A
)
31, 2sylibr 133 . . 3  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  B  C_  A
)
4 eleq2 2234 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
54biimpa 294 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
6 elun 3268 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B
) ) )
75, 6sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B ) ) )
8 eldifn 3250 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
98orim2i 756 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B ) )  -> 
( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
107, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
11 df-dc 830 . . . . 5  |-  (DECID  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B ) )
1210, 11sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  -> DECID  x  e.  B )
1312ralrimiva 2543 . . 3  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
143, 13jca 304 . 2  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
) )
15 elun1 3294 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
1615adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
17 simplr 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
18 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  -.  y  e.  B )
1917, 18eldifd 3131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  ( A  \  B
) )
20 elun2 3295 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
2119, 20syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
22 eleq1 2233 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
2322dcbid 833 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (DECID  x  e.  B  <-> DECID  y  e.  B )
)
24 simplr 525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
25 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
2623, 24, 25rspcdva 2839 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  -> DECID  y  e.  B
)
27 exmiddc 831 . . . . . . 7  |-  (DECID  y  e.  B  ->  ( y  e.  B  \/  -.  y  e.  B )
)
2826, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  B  \/  -.  y  e.  B
) )
2916, 21, 28mpjaodan 793 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
3029ex 114 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
3130ssrdv 3153 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  C_  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
322biimpi 119 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  C_  A )
3332adantr 274 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  C_  A )
3431, 33eqssd 3164 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
3514, 34impbii 125 1  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448    \ cdif 3118    u. cun 3119    C_ wss 3121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134
This theorem is referenced by:  sbthlemi5  6935  sbthlemi6  6936  exmidfodomrlemim  7167  bj-charfundcALT  13806
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