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Theorem undifdcss 6740
Description: Union of complementary parts into whole and decidability. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
undifdcss  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem undifdcss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqimss2 3102 . . . 4  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  C_  A
)
2 undifss 3390 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  C_  A
)
31, 2sylibr 133 . . 3  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  B  C_  A
)
4 eleq2 2163 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
54biimpa 292 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
6 elun 3164 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B
) ) )
75, 6sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B ) ) )
8 eldifn 3146 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
98orim2i 719 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B ) )  -> 
( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
107, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
11 df-dc 787 . . . . 5  |-  (DECID  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B ) )
1210, 11sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  -> DECID  x  e.  B )
1312ralrimiva 2464 . . 3  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
143, 13jca 302 . 2  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
) )
15 elun1 3190 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
1615adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
17 simplr 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
18 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  -.  y  e.  B )
1917, 18eldifd 3031 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  ( A  \  B
) )
20 elun2 3191 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
2119, 20syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
22 eleq1 2162 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
2322dcbid 792 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (DECID  x  e.  B  <-> DECID  y  e.  B )
)
24 simplr 500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
25 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
2623, 24, 25rspcdva 2749 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  -> DECID  y  e.  B
)
27 exmiddc 788 . . . . . . 7  |-  (DECID  y  e.  B  ->  ( y  e.  B  \/  -.  y  e.  B )
)
2826, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  B  \/  -.  y  e.  B
) )
2916, 21, 28mpjaodan 753 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
3029ex 114 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
3130ssrdv 3053 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  C_  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
322biimpi 119 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  C_  A )
3332adantr 272 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  C_  A )
3431, 33eqssd 3064 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
3514, 34impbii 125 1  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 670  DECID wdc 786    = wceq 1299    e. wcel 1448   A.wral 2375    \ cdif 3018    u. cun 3019    C_ wss 3021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034
This theorem is referenced by:  sbthlemi5  6777  sbthlemi6  6778  exmidfodomrlemim  6966
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