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Theorem undifdcss 6613
Description: Union of complementary parts into whole and decidability. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
undifdcss  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem undifdcss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqimss2 3077 . . . 4  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  C_  A
)
2 undifss 3359 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  C_  A
)
31, 2sylibr 132 . . 3  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  B  C_  A
)
4 eleq2 2151 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
54biimpa 290 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
6 elun 3139 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B
) ) )
75, 6sylib 120 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B ) ) )
8 eldifn 3121 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
98orim2i 713 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B ) )  -> 
( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
107, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
11 df-dc 781 . . . . 5  |-  (DECID  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B ) )
1210, 11sylibr 132 . . . 4  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  -> DECID  x  e.  B )
1312ralrimiva 2446 . . 3  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
143, 13jca 300 . 2  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
) )
15 elun1 3165 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
1615adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
17 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
18 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  -.  y  e.  B )
1917, 18eldifd 3007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  ( A  \  B
) )
20 elun2 3166 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
2119, 20syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
22 eleq1 2150 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
2322dcbid 786 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (DECID  x  e.  B  <-> DECID  y  e.  B )
)
24 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
25 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
2623, 24, 25rspcdva 2727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  -> DECID  y  e.  B
)
27 exmiddc 782 . . . . . . 7  |-  (DECID  y  e.  B  ->  ( y  e.  B  \/  -.  y  e.  B )
)
2826, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  B  \/  -.  y  e.  B
) )
2916, 21, 28mpjaodan 747 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
3029ex 113 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
3130ssrdv 3029 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  C_  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
322biimpi 118 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  C_  A )
3332adantr 270 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  C_  A )
3431, 33eqssd 3040 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
3514, 34impbii 124 1  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359    \ cdif 2994    u. cun 2995    C_ wss 2997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010
This theorem is referenced by:  sbthlemi5  6649  sbthlemi6  6650  exmidfodomrlemim  6806
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