Theorem undifdcss 6558

Description: Union of complementary parts into whole and decidability. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
undifdcss	|- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) <-> ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem undifdcss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqimss2 3063	. . . 4 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
2		undifss 3344	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
3	1, 2	sylibr 132	. . 3 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> B C_ A )
4		eleq2 2146	. . . . . . . 8 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( x e. A <-> x e. ( B u. ( A \ B ) ) ) )
5	4	biimpa 290	. . . . . . 7 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( B u. ( A \ B ) ) )
6		elun 3125	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B u. ( A \ B ) ) <-> ( x e. B \/ x e. ( A \ B ) ) )
7	5, 6	sylib 120	. . . . . 6 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ x e. ( A \ B ) ) )
8		eldifn 3107	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A \ B ) -> -. x e. B )
9	8	orim2i 711	. . . . . 6 |- ( ( x e. B \/ x e. ( A \ B ) ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
10	7, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
11		df-dc 777	. . . . 5 |- (DECID x e. B <-> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
12	10, 11	sylibr 132	. . . 4 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> DECID x e. B )
13	12	ralrimiva 2440	. . 3 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> A. x e. A DECID x e. B )
14	3, 13	jca 300	. 2 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) )
15		elun1 3151	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
16	15	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ y e. B ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
17		simplr 497	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> y e. A )
18		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> -. y e. B )
19	17, 18	eldifd 2994	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> y e. ( A \ B ) )
20		elun2 3152	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A \ B ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
22		eleq1 2145	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
23	22	dcbid 782	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> (DECID x e. B <-> DECID y e. B ) )
24		simplr 497	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> A. x e. A DECID x e. B )
25		simpr 108	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> y e. A )
26	23, 24, 25	rspcdva 2717	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> DECID y e. B )
27		exmiddc 778	. . . . . . 7 |- (DECID y e. B -> ( y e. B \/ -. y e. B ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> ( y e. B \/ -. y e. B ) )
29	16, 21, 28	mpjaodan 745	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
30	29	ex 113	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( y e. A -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) ) )
31	30	ssrdv 3016	. . 3 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A C_ ( B u. ( A \ B ) ) )
32	2	biimpi 118	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
33	32	adantr 270	. . 3 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
34	31, 33	eqssd 3027	. 2 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )
35	14, 34	impbii 124	1 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) <-> ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2353   \ cdif 2981   u. cun 2982   C_ wss 2984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemim  6728