Theorem undifdcss 6819

Description: Union of complementary parts into whole and decidability. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
undifdcss	|- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) <-> ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem undifdcss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqimss2 3157	. . . 4 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
2		undifss 3448	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
3	1, 2	sylibr 133	. . 3 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> B C_ A )
4		eleq2 2204	. . . . . . . 8 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( x e. A <-> x e. ( B u. ( A \ B ) ) ) )
5	4	biimpa 294	. . . . . . 7 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( B u. ( A \ B ) ) )
6		elun 3222	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B u. ( A \ B ) ) <-> ( x e. B \/ x e. ( A \ B ) ) )
7	5, 6	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ x e. ( A \ B ) ) )
8		eldifn 3204	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A \ B ) -> -. x e. B )
9	8	orim2i 751	. . . . . 6 |- ( ( x e. B \/ x e. ( A \ B ) ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
10	7, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
11		df-dc 821	. . . . 5 |- (DECID x e. B <-> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
12	10, 11	sylibr 133	. . . 4 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> DECID x e. B )
13	12	ralrimiva 2508	. . 3 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> A. x e. A DECID x e. B )
14	3, 13	jca 304	. 2 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) )
15		elun1 3248	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
16	15	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ y e. B ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
17		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> y e. A )
18		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> -. y e. B )
19	17, 18	eldifd 3086	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> y e. ( A \ B ) )
20		elun2 3249	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A \ B ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
22		eleq1 2203	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
23	22	dcbid 824	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> (DECID x e. B <-> DECID y e. B ) )
24		simplr 520	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> A. x e. A DECID x e. B )
25		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> y e. A )
26	23, 24, 25	rspcdva 2798	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> DECID y e. B )
27		exmiddc 822	. . . . . . 7 |- (DECID y e. B -> ( y e. B \/ -. y e. B ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> ( y e. B \/ -. y e. B ) )
29	16, 21, 28	mpjaodan 788	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
30	29	ex 114	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( y e. A -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) ) )
31	30	ssrdv 3108	. . 3 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A C_ ( B u. ( A \ B ) ) )
32	2	biimpi 119	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
33	32	adantr 274	. . 3 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
34	31, 33	eqssd 3119	. 2 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )
35	14, 34	impbii 125	1 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) <-> ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 820   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   \ cdif 3073   u. cun 3074   C_ wss 3076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089

This theorem is referenced by:  sbthlemi5  6857  sbthlemi6  6858  exmidfodomrlemim  7074