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Theorem undifdcss 6935
Description: Union of complementary parts into whole and decidability. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
undifdcss  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem undifdcss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqimss2 3222 . . . 4  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  C_  A
)
2 undifss 3515 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  <->  ( B  u.  ( A  \  B
) )  C_  A
)
31, 2sylibr 134 . . 3  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  B  C_  A
)
4 eleq2 2251 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
54biimpa 296 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
6 elun 3288 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B
) ) )
75, 6sylib 122 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B ) ) )
8 eldifn 3270 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  \  B )  ->  -.  x  e.  B )
98orim2i 762 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  \/  x  e.  ( A  \  B ) )  -> 
( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
107, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B
) )
11 df-dc 836 . . . . 5  |-  (DECID  x  e.  B  <->  ( x  e.  B  \/  -.  x  e.  B ) )
1210, 11sylibr 134 . . . 4  |-  ( ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  /\  x  e.  A )  -> DECID  x  e.  B )
1312ralrimiva 2560 . . 3  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
143, 13jca 306 . 2  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  ->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
) )
15 elun1 3314 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
1615adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
17 simplr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  A )
18 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  -.  y  e.  B )
1917, 18eldifd 3151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  ( A  \  B
) )
20 elun2 3315 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  \  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
2119, 20syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A
)  /\  -.  y  e.  B )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
22 eleq1 2250 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
2322dcbid 839 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (DECID  x  e.  B  <-> DECID  y  e.  B )
)
24 simplr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  A. x  e.  A DECID  x  e.  B
)
25 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
2623, 24, 25rspcdva 2858 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  -> DECID  y  e.  B
)
27 exmiddc 837 . . . . . . 7  |-  (DECID  y  e.  B  ->  ( y  e.  B  \/  -.  y  e.  B )
)
2826, 27syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  B  \/  -.  y  e.  B
) )
2916, 21, 28mpjaodan 799 . . . . 5  |-  ( ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
3029ex 115 . . . 4  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
y  e.  ( B  u.  ( A  \  B ) ) ) )
3130ssrdv 3173 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  C_  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
322biimpi 120 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  C_  A )
3332adantr 276 . . 3  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  ( B  u.  ( A  \  B ) )  C_  A )
3431, 33eqssd 3184 . 2  |-  ( ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B )  ->  A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) ) )
3514, 34impbii 126 1  |-  ( A  =  ( B  u.  ( A  \  B ) )  <->  ( B  C_  A  /\  A. x  e.  A DECID  x  e.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465    \ cdif 3138    u. cun 3139    C_ wss 3141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154
This theorem is referenced by:  sbthlemi5  6973  sbthlemi6  6974  exmidfodomrlemim  7213  bj-charfundcALT  14801
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