Theorem undifdcss 6979

Description: Union of complementary parts into whole and decidability. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
undifdcss	|- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) <-> ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem undifdcss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqimss2 3234	. . . 4 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
2		undifss 3527	. . . 4 |- ( B C_ A <-> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
3	1, 2	sylibr 134	. . 3 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> B C_ A )
4		eleq2 2257	. . . . . . . 8 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( x e. A <-> x e. ( B u. ( A \ B ) ) ) )
5	4	biimpa 296	. . . . . . 7 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> x e. ( B u. ( A \ B ) ) )
6		elun 3300	. . . . . . 7 |- ( x e. ( B u. ( A \ B ) ) <-> ( x e. B \/ x e. ( A \ B ) ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ x e. ( A \ B ) ) )
8		eldifn 3282	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A \ B ) -> -. x e. B )
9	8	orim2i 762	. . . . . 6 |- ( ( x e. B \/ x e. ( A \ B ) ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
10	7, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
11		df-dc 836	. . . . 5 |- (DECID x e. B <-> ( x e. B \/ -. x e. B ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . 4 |- ( ( A = ( B u. ( A \ B ) ) /\ x e. A ) -> DECID x e. B )
13	12	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> A. x e. A DECID x e. B )
14	3, 13	jca 306	. 2 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) -> ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) )
15		elun1 3326	. . . . . . 7 |- ( y e. B -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ y e. B ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
17		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> y e. A )
18		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> -. y e. B )
19	17, 18	eldifd 3163	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> y e. ( A \ B ) )
20		elun2 3327	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A \ B ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
21	19, 20	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) /\ -. y e. B ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
22		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
23	22	dcbid 839	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> (DECID x e. B <-> DECID y e. B ) )
24		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> A. x e. A DECID x e. B )
25		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> y e. A )
26	23, 24, 25	rspcdva 2869	. . . . . . 7 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> DECID y e. B )
27		exmiddc 837	. . . . . . 7 |- (DECID y e. B -> ( y e. B \/ -. y e. B ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> ( y e. B \/ -. y e. B ) )
29	16, 21, 28	mpjaodan 799	. . . . 5 |- ( ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) /\ y e. A ) -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) )
30	29	ex 115	. . . 4 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( y e. A -> y e. ( B u. ( A \ B ) ) ) )
31	30	ssrdv 3185	. . 3 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A C_ ( B u. ( A \ B ) ) )
32	2	biimpi 120	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
33	32	adantr 276	. . 3 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> ( B u. ( A \ B ) ) C_ A )
34	31, 33	eqssd 3196	. 2 |- ( ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) -> A = ( B u. ( A \ B ) ) )
35	14, 34	impbii 126	1 |- ( A = ( B u. ( A \ B ) ) <-> ( B C_ A /\ A. x e. A DECID x e. B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   \ cdif 3150   u. cun 3151   C_ wss 3153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166

This theorem is referenced by:  sbthlemi5  7020  sbthlemi6  7021  exmidfodomrlemim  7261  bj-charfundcALT  15301