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Theorem unfidisj 6914
Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfidisj  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem unfidisj
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq2 3283 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  (/) ) )
21eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  u.  w )  e.  Fin  <->  ( A  u.  (/) )  e.  Fin ) )
3 uneq2 3283 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  y ) )
43eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  u.  w
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  y )  e.  Fin ) )
5 uneq2 3283 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) ) )
65eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A  u.  w )  e. 
Fin 
<->  ( A  u.  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) )
7 uneq2 3283 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  B ) )
87eleq1d 2246 . 2  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  u.  w
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  e.  Fin ) )
9 un0 3456 . . 3  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
10 simp1 997 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e. 
Fin )
119, 10eqeltrid 2264 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  (/) )  e.  Fin )
12 unass 3292 . . . 4  |-  ( ( A  u.  y )  u.  { z } )  =  ( A  u.  ( y  u. 
{ z } ) )
13 simpr 110 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  u.  y )  e.  Fin )
14 vex 2740 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1514a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  _V )
16 simplrr 536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  ( B  \  y ) )
1716eldifad 3140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  B
)
18 simp3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
1918ad3antrrr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
20 minel 3484 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  -.  z  e.  A )
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  A )
2216eldifbd 3141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y )
23 ioran 752 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( z  e.  A  \/  z  e.  y
)  <->  ( -.  z  e.  A  /\  -.  z  e.  y ) )
2421, 22, 23sylanbrc 417 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  ( z  e.  A  \/  z  e.  y ) )
25 elun 3276 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  u.  y )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  y ) )
2624, 25sylnibr 677 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  ( A  u.  y
) )
27 unsnfi 6911 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  y
)  e.  Fin  /\  z  e.  _V  /\  -.  z  e.  ( A  u.  y ) )  -> 
( ( A  u.  y )  u.  {
z } )  e. 
Fin )
2813, 15, 26, 27syl3anc 1238 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( ( A  u.  y )  u. 
{ z } )  e.  Fin )
2912, 28eqeltrrid 2265 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
3029ex 115 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  ->  ( ( A  u.  y )  e.  Fin  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin ) )
31 simp2 998 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e. 
Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6885 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    \ cdif 3126    u. cun 3127    i^i cin 3128    C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3591   Fincfn 6733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-1o 6410  df-er 6528  df-en 6734  df-fin 6736
This theorem is referenced by:  unfiin  6918  prfidisj  6919  tpfidisj  6920  xpfi  6922  iunfidisj  6938  hashunlem  10755  hashun  10756  fsumsplitsnun  11398  fsum2dlemstep  11413  fsumconst  11433  fprodsplitsn  11612
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