Theorem unfidisj 7195

Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unfidisj	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Proof of Theorem unfidisj

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq2 3371	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A u. w ) = ( A u. (/) ) )
2	1	eleq1d 2303	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. (/) ) e. Fin ) )
3		uneq2 3371	. . 3 |- ( w = y -> ( A u. w ) = ( A u. y ) )
4	3	eleq1d 2303	. 2 |- ( w = y -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. y ) e. Fin ) )
5		uneq2 3371	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A u. w ) = ( A u. ( y u. { z } ) ) )
6	5	eleq1d 2303	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
7		uneq2 3371	. . 3 |- ( w = B -> ( A u. w ) = ( A u. B ) )
8	7	eleq1d 2303	. 2 |- ( w = B -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. B ) e. Fin ) )
9		un0 3546	. . 3 |- ( A u. (/) ) = A
10		simp1 1024	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A e. Fin )
11	9, 10	eqeltrid 2321	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. (/) ) e. Fin )
12		unass 3380	. . . 4 |- ( ( A u. y ) u. { z } ) = ( A u. ( y u. { z } ) )
13		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. y ) e. Fin )
14		vex 2818	. . . . . 6 |- z e. _V
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. _V )
16		simplrr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. ( B \ y ) )
17	16	eldifad 3225	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. B )
18		simp3 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
19	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) = (/) )
20		minel 3574	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> -. z e. A )
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. A )
22	16	eldifbd 3226	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
23		ioran 760	. . . . . . 7 |- ( -. ( z e. A \/ z e. y ) <-> ( -. z e. A /\ -. z e. y ) )
24	21, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. ( z e. A \/ z e. y ) )
25		elun 3364	. . . . . 6 |- ( z e. ( A u. y ) <-> ( z e. A \/ z e. y ) )
26	24, 25	sylnibr 684	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. ( A u. y ) )
27		unsnfi 7192	. . . . 5 |- ( ( ( A u. y ) e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. ( A u. y ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
28	13, 15, 26, 27	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
29	12, 28	eqeltrrid 2322	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin )
30	29	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A u. y ) e. Fin -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
31		simp2 1025	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B e. Fin )
32	2, 4, 6, 8, 11, 30, 31	findcard2sd 7162	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   \ cdif 3211   u. cun 3212   i^i cin 3213   C_ wss 3214   (/)c0 3512   {csn 3694   Fincfn 6988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991

This theorem is referenced by:  unfiin  7199  prfidisj  7200  tpfidisj  7202  xpfi  7205  iunfidisj  7226  hashunlem  11193  hashun  11194  fsumsplitsnun  12130  fsum2dlemstep  12145  fsumconst  12165  fprodsplitsn  12344  vtxdfifiun  16418