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Theorem unfidisj 6763
Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfidisj |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Proof of Theorem unfidisj
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq2 3190 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A u. w ) = ( A u. (/) ) )
21eleq1d 2183 . 2 |- ( w = (/) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. (/) ) e. Fin ) )
3 uneq2 3190 . . 3 |- ( w = y -> ( A u. w ) = ( A u. y ) )
43eleq1d 2183 . 2 |- ( w = y -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. y ) e. Fin ) )
5 uneq2 3190 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A u. w ) = ( A u. ( y u. { z } ) ) )
65eleq1d 2183 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
7 uneq2 3190 . . 3 |- ( w = B -> ( A u. w ) = ( A u. B ) )
87eleq1d 2183 . 2 |- ( w = B -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. B ) e. Fin ) )
9 un0 3362 . . 3 |- ( A u. (/) ) = A
10 simp1 964 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A e. Fin )
119, 10syl5eqel 2201 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. (/) ) e. Fin )
12 unass 3199 . . . 4 |- ( ( A u. y ) u. { z } ) = ( A u. ( y u. { z } ) )
13 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. y ) e. Fin )
14 vex 2660 . . . . . 6 |- z e. _V
1514a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. _V )
16 simplrr 508 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. ( B \ y ) )
1716eldifad 3048 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. B )
18 simp3 966 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
1918ad3antrrr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) = (/) )
20 minel 3390 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> -. z e. A )
2117, 19, 20syl2anc 406 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. A )
2216eldifbd 3049 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
23 ioran 724 . . . . . . 7 |- ( -. ( z e. A \/ z e. y ) <-> ( -. z e. A /\ -. z e. y ) )
2421, 22, 23sylanbrc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. ( z e. A \/ z e. y ) )
25 elun 3183 . . . . . 6 |- ( z e. ( A u. y ) <-> ( z e. A \/ z e. y ) )
2624, 25sylnibr 649 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. ( A u. y ) )
27 unsnfi 6760 . . . . 5 |- ( ( ( A u. y ) e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. ( A u. y ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
2813, 15, 26, 27syl3anc 1199 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
2912, 28syl5eqelr 2202 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3029ex 114 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A u. y ) e. Fin -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
31 simp2 965 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B e. Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6739 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 680   /\ w3a 945   = wceq 1314   e. wcel 1463   _Vcvv 2657   \ cdif 3034   u. cun 3035   i^i cin 3036   C_ wss 3037   (/)c0 3329   {csn 3493   Fincfn 6588
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-1o 6267  df-er 6383  df-en 6589  df-fin 6591
This theorem is referenced by:  unfiin  6767  prfidisj  6768  tpfidisj  6769  xpfi  6771  iunfidisj  6786  hashunlem  10440  hashun  10441  fsumsplitsnun  11077  fsum2dlemstep  11092  fsumconst  11112
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