Theorem unfidisj 7113

Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unfidisj	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Proof of Theorem unfidisj

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq2 3355	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A u. w ) = ( A u. (/) ) )
2	1	eleq1d 2300	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. (/) ) e. Fin ) )
3		uneq2 3355	. . 3 |- ( w = y -> ( A u. w ) = ( A u. y ) )
4	3	eleq1d 2300	. 2 |- ( w = y -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. y ) e. Fin ) )
5		uneq2 3355	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A u. w ) = ( A u. ( y u. { z } ) ) )
6	5	eleq1d 2300	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
7		uneq2 3355	. . 3 |- ( w = B -> ( A u. w ) = ( A u. B ) )
8	7	eleq1d 2300	. 2 |- ( w = B -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. B ) e. Fin ) )
9		un0 3528	. . 3 |- ( A u. (/) ) = A
10		simp1 1023	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A e. Fin )
11	9, 10	eqeltrid 2318	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. (/) ) e. Fin )
12		unass 3364	. . . 4 |- ( ( A u. y ) u. { z } ) = ( A u. ( y u. { z } ) )
13		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. y ) e. Fin )
14		vex 2805	. . . . . 6 |- z e. _V
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. _V )
16		simplrr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. ( B \ y ) )
17	16	eldifad 3211	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. B )
18		simp3 1025	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
19	18	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) = (/) )
20		minel 3556	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> -. z e. A )
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. A )
22	16	eldifbd 3212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
23		ioran 759	. . . . . . 7 |- ( -. ( z e. A \/ z e. y ) <-> ( -. z e. A /\ -. z e. y ) )
24	21, 22, 23	sylanbrc 417	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. ( z e. A \/ z e. y ) )
25		elun 3348	. . . . . 6 |- ( z e. ( A u. y ) <-> ( z e. A \/ z e. y ) )
26	24, 25	sylnibr 683	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. ( A u. y ) )
27		unsnfi 7110	. . . . 5 |- ( ( ( A u. y ) e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. ( A u. y ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
28	13, 15, 26, 27	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
29	12, 28	eqeltrrid 2319	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin )
30	29	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A u. y ) e. Fin -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
31		simp2 1024	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B e. Fin )
32	2, 4, 6, 8, 11, 30, 31	findcard2sd 7080	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   \ cdif 3197   u. cun 3198   i^i cin 3199   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6581  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  unfiin  7117  prfidisj  7118  tpfidisj  7120  xpfi  7123  iunfidisj  7144  hashunlem  11066  hashun  11067  fsumsplitsnun  11979  fsum2dlemstep  11994  fsumconst  12014  fprodsplitsn  12193  vtxdfifiun  16147