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Theorem unfidisj 6612
Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfidisj  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem unfidisj
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq2 3146 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  (/) ) )
21eleq1d 2156 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  u.  w )  e.  Fin  <->  ( A  u.  (/) )  e.  Fin ) )
3 uneq2 3146 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  y ) )
43eleq1d 2156 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  u.  w
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  y )  e.  Fin ) )
5 uneq2 3146 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) ) )
65eleq1d 2156 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A  u.  w )  e. 
Fin 
<->  ( A  u.  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) )
7 uneq2 3146 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  B ) )
87eleq1d 2156 . 2  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  u.  w
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  e.  Fin ) )
9 un0 3314 . . 3  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
10 simp1 943 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e. 
Fin )
119, 10syl5eqel 2174 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  (/) )  e.  Fin )
12 unass 3155 . . . 4  |-  ( ( A  u.  y )  u.  { z } )  =  ( A  u.  ( y  u. 
{ z } ) )
13 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  u.  y )  e.  Fin )
14 vex 2622 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1514a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  _V )
16 simplrr 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  ( B  \  y ) )
1716eldifad 3008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  B
)
18 simp3 945 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
1918ad3antrrr 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
20 minel 3341 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  -.  z  e.  A )
2117, 19, 20syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  A )
2216eldifbd 3009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y )
23 ioran 704 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( z  e.  A  \/  z  e.  y
)  <->  ( -.  z  e.  A  /\  -.  z  e.  y ) )
2421, 22, 23sylanbrc 408 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  ( z  e.  A  \/  z  e.  y ) )
25 elun 3139 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  u.  y )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  y ) )
2624, 25sylnibr 637 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  ( A  u.  y
) )
27 unsnfi 6609 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  y
)  e.  Fin  /\  z  e.  _V  /\  -.  z  e.  ( A  u.  y ) )  -> 
( ( A  u.  y )  u.  {
z } )  e. 
Fin )
2813, 15, 26, 27syl3anc 1174 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( ( A  u.  y )  u. 
{ z } )  e.  Fin )
2912, 28syl5eqelr 2175 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
3029ex 113 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  ->  ( ( A  u.  y )  e.  Fin  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin ) )
31 simp2 944 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e. 
Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6588 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    \ cdif 2994    u. cun 2995    i^i cin 2996    C_ wss 2997   (/)c0 3284   {csn 3441   Fincfn 6437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1o 6163  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440
This theorem is referenced by:  unfiin  6616  prfidisj  6617  tpfidisj  6618  xpfi  6619  iunfidisj  6634  hashunlem  10177  hashun  10178  fsumsplitsnun  10776  fsum2dlemstep  10791  fsumconst  10811
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