Theorem unfidisj 7219

Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
unfidisj	|- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Proof of Theorem unfidisj

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uneq2 3377	. . 3 |- ( w = (/) -> ( A u. w ) = ( A u. (/) ) )
2	1	eleq1d 2307	. 2 |- ( w = (/) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. (/) ) e. Fin ) )
3		uneq2 3377	. . 3 |- ( w = y -> ( A u. w ) = ( A u. y ) )
4	3	eleq1d 2307	. 2 |- ( w = y -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. y ) e. Fin ) )
5		uneq2 3377	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A u. w ) = ( A u. ( y u. { z } ) ) )
6	5	eleq1d 2307	. 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
7		uneq2 3377	. . 3 |- ( w = B -> ( A u. w ) = ( A u. B ) )
8	7	eleq1d 2307	. 2 |- ( w = B -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. B ) e. Fin ) )
9		un0 3556	. . 3 |- ( A u. (/) ) = A
10		simp1 1028	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A e. Fin )
11	9, 10	eqeltrid 2325	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. (/) ) e. Fin )
12		unass 3386	. . . 4 |- ( ( A u. y ) u. { z } ) = ( A u. ( y u. { z } ) )
13		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. y ) e. Fin )
14		vex 2824	. . . . . 6 |- z e. _V
15	14	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. _V )
16		simplrr 542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. ( B \ y ) )
17	16	eldifad 3231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. B )
18		simp3 1030	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
19	18	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) = (/) )
20		minel 3585	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> -. z e. A )
21	17, 19, 20	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. A )
22	16	eldifbd 3232	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
23		ioran 764	. . . . . . 7 |- ( -. ( z e. A \/ z e. y ) <-> ( -. z e. A /\ -. z e. y ) )
24	21, 22, 23	sylanbrc 421	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. ( z e. A \/ z e. y ) )
25		elun 3370	. . . . . 6 |- ( z e. ( A u. y ) <-> ( z e. A \/ z e. y ) )
26	24, 25	sylnibr 688	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. ( A u. y ) )
27		unsnfi 7216	. . . . 5 |- ( ( ( A u. y ) e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. ( A u. y ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
28	13, 15, 26, 27	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
29	12, 28	eqeltrrid 2326	. . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin )
30	29	ex 115	. 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A u. y ) e. Fin -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
31		simp2 1029	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B e. Fin )
32	2, 4, 6, 8, 11, 30, 31	findcard2sd 7186	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  unfiin  7223  prfidisj  7224  tpfidisj  7226  xpfi  7229  iunfidisj  7250  hashunlem  11222  hashun  11223  hashf1lem2  11264  fsumsplitsnun  12164  fsum2dlemstep  12179  fsumconst  12199  fprodsplitsn  12378  vtxdfifiun  16452