ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unfidisj Unicode version

Theorem unfidisj 6778
Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfidisj  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e. 
Fin )

Proof of Theorem unfidisj
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq2 3194 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  (/) ) )
21eleq1d 2186 . 2  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A  u.  w )  e.  Fin  <->  ( A  u.  (/) )  e.  Fin ) )
3 uneq2 3194 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  y ) )
43eleq1d 2186 . 2  |-  ( w  =  y  ->  (
( A  u.  w
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  y )  e.  Fin ) )
5 uneq2 3194 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  ( y  u.  { z } ) ) )
65eleq1d 2186 . 2  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A  u.  w )  e. 
Fin 
<->  ( A  u.  (
y  u.  { z } ) )  e. 
Fin ) )
7 uneq2 3194 . . 3  |-  ( w  =  B  ->  ( A  u.  w )  =  ( A  u.  B ) )
87eleq1d 2186 . 2  |-  ( w  =  B  ->  (
( A  u.  w
)  e.  Fin  <->  ( A  u.  B )  e.  Fin ) )
9 un0 3366 . . 3  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
10 simp1 966 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e. 
Fin )
119, 10eqeltrid 2204 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  (/) )  e.  Fin )
12 unass 3203 . . . 4  |-  ( ( A  u.  y )  u.  { z } )  =  ( A  u.  ( y  u. 
{ z } ) )
13 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  u.  y )  e.  Fin )
14 vex 2663 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1514a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  _V )
16 simplrr 510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  ( B  \  y ) )
1716eldifad 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  B
)
18 simp3 968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
1918ad3antrrr 483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
20 minel 3394 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  B  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  -.  z  e.  A )
2117, 19, 20syl2anc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  A )
2216eldifbd 3053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y )
23 ioran 726 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( z  e.  A  \/  z  e.  y
)  <->  ( -.  z  e.  A  /\  -.  z  e.  y ) )
2421, 22, 23sylanbrc 413 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  ( z  e.  A  \/  z  e.  y ) )
25 elun 3187 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  u.  y )  <->  ( z  e.  A  \/  z  e.  y ) )
2624, 25sylnibr 651 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  ( A  u.  y
) )
27 unsnfi 6775 . . . . 5  |-  ( ( ( A  u.  y
)  e.  Fin  /\  z  e.  _V  /\  -.  z  e.  ( A  u.  y ) )  -> 
( ( A  u.  y )  u.  {
z } )  e. 
Fin )
2813, 15, 26, 27syl3anc 1201 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( ( A  u.  y )  u. 
{ z } )  e.  Fin )
2912, 28eqeltrrid 2205 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  /\  ( A  u.  y )  e.  Fin )  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
3029ex 114 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  B  /\  z  e.  ( B  \  y ) ) )  ->  ( ( A  u.  y )  e.  Fin  ->  ( A  u.  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin ) )
31 simp2 967 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e. 
Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6754 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    \ cdif 3038    u. cun 3039    i^i cin 3040    C_ wss 3041   (/)c0 3333   {csn 3497   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1o 6281  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  unfiin  6782  prfidisj  6783  tpfidisj  6784  xpfi  6786  iunfidisj  6802  hashunlem  10518  hashun  10519  fsumsplitsnun  11156  fsum2dlemstep  11171  fsumconst  11191
  Copyright terms: Public domain W3C validator