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Theorem unfidisj 6887
Description: The union of two disjoint finite sets is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
unfidisj |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Proof of Theorem unfidisj
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uneq2 3270 . . 3 |- ( w = (/) -> ( A u. w ) = ( A u. (/) ) )
21eleq1d 2235 . 2 |- ( w = (/) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. (/) ) e. Fin ) )
3 uneq2 3270 . . 3 |- ( w = y -> ( A u. w ) = ( A u. y ) )
43eleq1d 2235 . 2 |- ( w = y -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. y ) e. Fin ) )
5 uneq2 3270 . . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( A u. w ) = ( A u. ( y u. { z } ) ) )
65eleq1d 2235 . 2 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
7 uneq2 3270 . . 3 |- ( w = B -> ( A u. w ) = ( A u. B ) )
87eleq1d 2235 . 2 |- ( w = B -> ( ( A u. w ) e. Fin <-> ( A u. B ) e. Fin ) )
9 un0 3442 . . 3 |- ( A u. (/) ) = A
10 simp1 987 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> A e. Fin )
119, 10eqeltrid 2253 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. (/) ) e. Fin )
12 unass 3279 . . . 4 |- ( ( A u. y ) u. { z } ) = ( A u. ( y u. { z } ) )
13 simpr 109 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. y ) e. Fin )
14 vex 2729 . . . . . 6 |- z e. _V
1514a1i 9 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. _V )
16 simplrr 526 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. ( B \ y ) )
1716eldifad 3127 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> z e. B )
18 simp3 989 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
1918ad3antrrr 484 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A i^i B ) = (/) )
20 minel 3470 . . . . . . . 8 |- ( ( z e. B /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> -. z e. A )
2117, 19, 20syl2anc 409 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. A )
2216eldifbd 3128 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
23 ioran 742 . . . . . . 7 |- ( -. ( z e. A \/ z e. y ) <-> ( -. z e. A /\ -. z e. y ) )
2421, 22, 23sylanbrc 414 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. ( z e. A \/ z e. y ) )
25 elun 3263 . . . . . 6 |- ( z e. ( A u. y ) <-> ( z e. A \/ z e. y ) )
2624, 25sylnibr 667 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> -. z e. ( A u. y ) )
27 unsnfi 6884 . . . . 5 |- ( ( ( A u. y ) e. Fin /\ z e. _V /\ -. z e. ( A u. y ) ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
2813, 15, 26, 27syl3anc 1228 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( ( A u. y ) u. { z } ) e. Fin )
2912, 28eqeltrrid 2254 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) /\ ( A u. y ) e. Fin ) -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin )
3029ex 114 . 2 |- ( ( ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ B /\ z e. ( B \ y ) ) ) -> ( ( A u. y ) e. Fin -> ( A u. ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
31 simp2 988 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> B e. Fin )
322, 4, 6, 8, 11, 30, 31findcard2sd 6858 1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. Fin /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( A u. B ) e. Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   Fincfn 6706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709
This theorem is referenced by:  unfiin  6891  prfidisj  6892  tpfidisj  6893  xpfi  6895  iunfidisj  6911  hashunlem  10717  hashun  10718  fsumsplitsnun  11360  fsum2dlemstep  11375  fsumconst  11395  fprodsplitsn  11574
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