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Theorem sbthlemi5 6853
Description: Lemma for isbth 6859. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlemi5  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbthlem.3 . . . . 5  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
21dmeqi 4744 . . . 4  |-  dom  H  =  dom  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )
3 dmun 4750 . . . 4  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
4 dmres 4844 . . . . 5  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
5 dmres 4844 . . . . . 6  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
6 df-rn 4554 . . . . . . . 8  |-  ran  g  =  dom  `' g
76eqcomi 2144 . . . . . . 7  |-  dom  `' g  =  ran  g
87ineq2i 3275 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g )
95, 8eqtri 2161 . . . . 5  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
ran  g )
104, 9uneq12i 3229 . . . 4  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
112, 3, 103eqtri 2165 . . 3  |-  dom  H  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
12 sbthlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
13 sbthlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
1412, 13sbthlem1 6849 . . . . . . . . 9  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
15 difss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
1614, 15sstri 3107 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  A
17 sseq2 3122 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  C_  A
) )
1816, 17mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  C_  dom  f
)
19 dfss 3086 . . . . . . 7  |-  ( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f ) )
2018, 19sylib 121 . . . . . 6  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f
) )
2120uneq1d 3230 . . . . 5  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) ) )
2212, 13sbthlemi3 6851 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( g " ( B  \ 
( f " U. D ) ) )  =  ( A  \  U. D ) )
23 imassrn 4896 . . . . . . . 8  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g
2422, 23eqsstrrdi 3151 . . . . . . 7  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  C_  ran  g )
25 dfss 3086 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  U. D
)  C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2624, 25sylib 121 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2726uneq2d 3231 . . . . 5  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( ( U. D  i^i  dom  f
)  u.  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
2821, 27sylan9eq 2193 . . . 4  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  (EXMID 
/\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
2928an12s 555 . . 3  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
3011, 29eqtr4id 2192 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
31 exmidexmid 4124 . . . . . . 7  |-  (EXMID  -> DECID  y  e.  U. D
)
3231ralrimivw 2507 . . . . . 6  |-  (EXMID  ->  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D
)
3332biantrud 302 . . . . 5  |-  (EXMID  ->  ( U. D  C_  A  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) ) )
34 undifdcss 6815 . . . . 5  |-  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) )  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) )
3533, 34syl6rbbr 198 . . . 4  |-  (EXMID  ->  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  <->  U. D  C_  A ) )
3616, 35mpbiri 167 . . 3  |-  (EXMID  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) ) )
3736adantr 274 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
3830, 37eqtr4d 2176 1  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 820    = wceq 1332    e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   _Vcvv 2687    \ cdif 3069    u. cun 3070    i^i cin 3071    C_ wss 3072   U.cuni 3740  EXMIDwem 4122   `'ccnv 4542   dom cdm 4543   ran crn 4544    |` cres 4545   "cima 4546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-exmid 4123  df-xp 4549  df-cnv 4551  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556
This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6857
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