Theorem sbthlemi5 7230

Description: Lemma for isbth 7236. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlemi5	|- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
2	1	dmeqi 4956	. . . 4 |- dom H = dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
3		dmun 4962	. . . 4 |- dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
4		dmres 5058	. . . . 5 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
5		dmres 5058	. . . . . 6 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
6		df-rn 4759	. . . . . . . 8 |- ran g = dom `' g
7	6	eqcomi 2236	. . . . . . 7 |- dom `' g = ran g
8	7	ineq2i 3418	. . . . . 6 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
9	5, 8	eqtri 2253	. . . . 5 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
10	4, 9	uneq12i 3370	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
11	2, 3, 10	3eqtri 2257	. . 3 |- dom H = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
12		sbthlem.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
13		sbthlem.2	. . . . . . . . . 10 |- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
14	12, 13	sbthlem1 7226	. . . . . . . . 9 |- U. D C_ ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) )
15		difss 3344	. . . . . . . . 9 |- ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) ) C_ A
16	14, 15	sstri 3246	. . . . . . . 8 |- U. D C_ A
17		sseq2 3261	. . . . . . . 8 |- ( dom f = A -> ( U. D C_ dom f <-> U. D C_ A ) )
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( dom f = A -> U. D C_ dom f )
19		dfss 3224	. . . . . . 7 |- ( U. D C_ dom f <-> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
20	18, 19	sylib 122	. . . . . 6 |- ( dom f = A -> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
21	20	uneq1d 3371	. . . . 5 |- ( dom f = A -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) )
22	12, 13	sbthlemi3 7228	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) = ( A \ U. D ) )
23		imassrn 5111	. . . . . . . 8 |- ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) C_ ran g
24	22, 23	eqsstrrdi 3290	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) C_ ran g )
25		dfss 3224	. . . . . . 7 |- ( ( A \ U. D ) C_ ran g <-> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
26	24, 25	sylib 122	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
27	26	uneq2d 3372	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
28	21, 27	sylan9eq 2285	. . . 4 |- ( ( dom f = A /\ (EXMID /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
29	28	an12s 567	. . 3 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
30	11, 29	eqtr4id 2284	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
31		undifdcss 7182	. . . . 5 |- ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) )
32		exmidexmid 4308	. . . . . . 7 |- (EXMID -> DECID y e. U. D )
33	32	ralrimivw 2616	. . . . . 6 |- (EXMID -> A. y e. A DECID y e. U. D )
34	33	biantrud 304	. . . . 5 |- (EXMID -> ( U. D C_ A <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) ) )
35	31, 34	bitr4id 199	. . . 4 |- (EXMID -> ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> U. D C_ A ) )
36	16, 35	mpbiri 168	. . 3 |- (EXMID -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
37	36	adantr 276	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
38	30, 37	eqtr4d 2268	1 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   A.wral 2520   _Vcvv 2812   \ cdif 3207   u. cun 3208   i^i cin 3209   C_ wss 3210   U.cuni 3913  EXMIDwem 4306   `'ccnv 4747   dom cdm 4748   ran crn 4749   |` cres 4750   "cima 4751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-exmid 4307  df-xp 4754  df-cnv 4756  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  7234