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Theorem sbthlemi5 6798
Description: Lemma for isbth 6804. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlemi5  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbthlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
2 sbthlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
31, 2sbthlem1 6794 . . . . . . . . 9  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
4 difss 3166 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
53, 4sstri 3070 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  A
6 sseq2 3085 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  C_  A
) )
75, 6mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  C_  dom  f
)
8 dfss 3049 . . . . . . 7  |-  ( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f ) )
97, 8sylib 121 . . . . . 6  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f
) )
109uneq1d 3193 . . . . 5  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) ) )
111, 2sbthlemi3 6796 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( g " ( B  \ 
( f " U. D ) ) )  =  ( A  \  U. D ) )
12 imassrn 4848 . . . . . . . 8  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g
1311, 12syl6eqssr 3114 . . . . . . 7  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  C_  ran  g )
14 dfss 3049 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  U. D
)  C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1513, 14sylib 121 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1615uneq2d 3194 . . . . 5  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( ( U. D  i^i  dom  f
)  u.  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1710, 16sylan9eq 2165 . . . 4  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  (EXMID 
/\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1817an12s 537 . . 3  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
19 sbthlem.3 . . . . 5  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
2019dmeqi 4698 . . . 4  |-  dom  H  =  dom  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )
21 dmun 4704 . . . 4  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
22 dmres 4796 . . . . 5  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
23 dmres 4796 . . . . . 6  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
24 df-rn 4508 . . . . . . . 8  |-  ran  g  =  dom  `' g
2524eqcomi 2117 . . . . . . 7  |-  dom  `' g  =  ran  g
2625ineq2i 3238 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g )
2723, 26eqtri 2133 . . . . 5  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
ran  g )
2822, 27uneq12i 3192 . . . 4  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2920, 21, 283eqtri 2137 . . 3  |-  dom  H  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
3018, 29syl6reqr 2164 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
31 exmidexmid 4078 . . . . . . 7  |-  (EXMID  -> DECID  y  e.  U. D
)
3231ralrimivw 2478 . . . . . 6  |-  (EXMID  ->  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D
)
3332biantrud 300 . . . . 5  |-  (EXMID  ->  ( U. D  C_  A  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) ) )
34 undifdcss 6761 . . . . 5  |-  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) )  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) )
3533, 34syl6rbbr 198 . . . 4  |-  (EXMID  ->  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  <->  U. D  C_  A ) )
365, 35mpbiri 167 . . 3  |-  (EXMID  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) ) )
3736adantr 272 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
3830, 37eqtr4d 2148 1  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 802    = wceq 1312    e. wcel 1461   {cab 2099   A.wral 2388   _Vcvv 2655    \ cdif 3032    u. cun 3033    i^i cin 3034    C_ wss 3035   U.cuni 3700  EXMIDwem 4076   `'ccnv 4496   dom cdm 4497   ran crn 4498    |` cres 4499   "cima 4500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-exmid 4077  df-xp 4503  df-cnv 4505  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510
This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6802
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