ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sbthlemi5 Unicode version

Theorem sbthlemi5 6817
Description: Lemma for isbth 6823. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlemi5  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbthlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
2 sbthlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
31, 2sbthlem1 6813 . . . . . . . . 9  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
4 difss 3172 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
53, 4sstri 3076 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  A
6 sseq2 3091 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  C_  A
) )
75, 6mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  C_  dom  f
)
8 dfss 3055 . . . . . . 7  |-  ( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f ) )
97, 8sylib 121 . . . . . 6  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f
) )
109uneq1d 3199 . . . . 5  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) ) )
111, 2sbthlemi3 6815 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( g " ( B  \ 
( f " U. D ) ) )  =  ( A  \  U. D ) )
12 imassrn 4862 . . . . . . . 8  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g
1311, 12eqsstrrdi 3120 . . . . . . 7  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  C_  ran  g )
14 dfss 3055 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  U. D
)  C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1513, 14sylib 121 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1615uneq2d 3200 . . . . 5  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( ( U. D  i^i  dom  f
)  u.  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1710, 16sylan9eq 2170 . . . 4  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  (EXMID 
/\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1817an12s 539 . . 3  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
19 sbthlem.3 . . . . 5  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
2019dmeqi 4710 . . . 4  |-  dom  H  =  dom  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )
21 dmun 4716 . . . 4  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
22 dmres 4810 . . . . 5  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
23 dmres 4810 . . . . . 6  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
24 df-rn 4520 . . . . . . . 8  |-  ran  g  =  dom  `' g
2524eqcomi 2121 . . . . . . 7  |-  dom  `' g  =  ran  g
2625ineq2i 3244 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g )
2723, 26eqtri 2138 . . . . 5  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
ran  g )
2822, 27uneq12i 3198 . . . 4  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2920, 21, 283eqtri 2142 . . 3  |-  dom  H  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
3018, 29syl6reqr 2169 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
31 exmidexmid 4090 . . . . . . 7  |-  (EXMID  -> DECID  y  e.  U. D
)
3231ralrimivw 2483 . . . . . 6  |-  (EXMID  ->  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D
)
3332biantrud 302 . . . . 5  |-  (EXMID  ->  ( U. D  C_  A  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) ) )
34 undifdcss 6779 . . . . 5  |-  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) )  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) )
3533, 34syl6rbbr 198 . . . 4  |-  (EXMID  ->  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  <->  U. D  C_  A ) )
365, 35mpbiri 167 . . 3  |-  (EXMID  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) ) )
3736adantr 274 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
3830, 37eqtr4d 2153 1  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 804    = wceq 1316    e. wcel 1465   {cab 2103   A.wral 2393   _Vcvv 2660    \ cdif 3038    u. cun 3039    i^i cin 3040    C_ wss 3041   U.cuni 3706  EXMIDwem 4088   `'ccnv 4508   dom cdm 4509   ran crn 4510    |` cres 4511   "cima 4512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 801  df-dc 805  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-exmid 4089  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522
This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6821
  Copyright terms: Public domain W3C validator