Theorem sbthlemi5 7268

Description: Lemma for isbth 7274. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlemi5	|- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
2	1	dmeqi 4977	. . . 4 |- dom H = dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
3		dmun 4983	. . . 4 |- dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
4		dmres 5079	. . . . 5 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
5		dmres 5079	. . . . . 6 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
6		df-rn 4780	. . . . . . . 8 |- ran g = dom `' g
7	6	eqcomi 2242	. . . . . . 7 |- dom `' g = ran g
8	7	ineq2i 3429	. . . . . 6 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
9	5, 8	eqtri 2259	. . . . 5 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
10	4, 9	uneq12i 3381	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
11	2, 3, 10	3eqtri 2263	. . 3 |- dom H = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
12		sbthlem.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
13		sbthlem.2	. . . . . . . . . 10 |- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
14	12, 13	sbthlem1 7264	. . . . . . . . 9 |- U. D C_ ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) )
15		difss 3355	. . . . . . . . 9 |- ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) ) C_ A
16	14, 15	sstri 3257	. . . . . . . 8 |- U. D C_ A
17		sseq2 3272	. . . . . . . 8 |- ( dom f = A -> ( U. D C_ dom f <-> U. D C_ A ) )
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( dom f = A -> U. D C_ dom f )
19		dfss 3234	. . . . . . 7 |- ( U. D C_ dom f <-> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
20	18, 19	sylib 122	. . . . . 6 |- ( dom f = A -> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
21	20	uneq1d 3382	. . . . 5 |- ( dom f = A -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) )
22	12, 13	sbthlemi3 7266	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) = ( A \ U. D ) )
23		imassrn 5132	. . . . . . . 8 |- ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) C_ ran g
24	22, 23	eqsstrrdi 3301	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) C_ ran g )
25		dfss 3234	. . . . . . 7 |- ( ( A \ U. D ) C_ ran g <-> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
26	24, 25	sylib 122	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
27	26	uneq2d 3383	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
28	21, 27	sylan9eq 2291	. . . 4 |- ( ( dom f = A /\ (EXMID /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
29	28	an12s 571	. . 3 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
30	11, 29	eqtr4id 2290	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
31		undifdcss 7220	. . . . 5 |- ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) )
32		exmidexmid 4328	. . . . . . 7 |- (EXMID -> DECID y e. U. D )
33	32	ralrimivw 2624	. . . . . 6 |- (EXMID -> A. y e. A DECID y e. U. D )
34	33	biantrud 304	. . . . 5 |- (EXMID -> ( U. D C_ A <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) ) )
35	31, 34	bitr4id 199	. . . 4 |- (EXMID -> ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> U. D C_ A ) )
36	16, 35	mpbiri 168	. . 3 |- (EXMID -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
37	36	adantr 276	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
38	30, 37	eqtr4d 2274	1 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   u. cun 3218   i^i cin 3219   C_ wss 3220   U.cuni 3930  EXMIDwem 4326   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   ran crn 4770   |` cres 4771   "cima 4772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-exmid 4327  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  7272