Theorem sbthlemi5 6955

Description: Lemma for isbth 6961. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlemi5	|- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
2	1	dmeqi 4825	. . . 4 |- dom H = dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
3		dmun 4831	. . . 4 |- dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
4		dmres 4925	. . . . 5 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
5		dmres 4925	. . . . . 6 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
6		df-rn 4635	. . . . . . . 8 |- ran g = dom `' g
7	6	eqcomi 2181	. . . . . . 7 |- dom `' g = ran g
8	7	ineq2i 3333	. . . . . 6 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
9	5, 8	eqtri 2198	. . . . 5 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
10	4, 9	uneq12i 3287	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
11	2, 3, 10	3eqtri 2202	. . 3 |- dom H = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
12		sbthlem.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
13		sbthlem.2	. . . . . . . . . 10 |- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
14	12, 13	sbthlem1 6951	. . . . . . . . 9 |- U. D C_ ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) )
15		difss 3261	. . . . . . . . 9 |- ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) ) C_ A
16	14, 15	sstri 3164	. . . . . . . 8 |- U. D C_ A
17		sseq2 3179	. . . . . . . 8 |- ( dom f = A -> ( U. D C_ dom f <-> U. D C_ A ) )
18	16, 17	mpbiri 168	. . . . . . 7 |- ( dom f = A -> U. D C_ dom f )
19		dfss 3143	. . . . . . 7 |- ( U. D C_ dom f <-> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
20	18, 19	sylib 122	. . . . . 6 |- ( dom f = A -> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
21	20	uneq1d 3288	. . . . 5 |- ( dom f = A -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) )
22	12, 13	sbthlemi3 6953	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) = ( A \ U. D ) )
23		imassrn 4978	. . . . . . . 8 |- ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) C_ ran g
24	22, 23	eqsstrrdi 3208	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) C_ ran g )
25		dfss 3143	. . . . . . 7 |- ( ( A \ U. D ) C_ ran g <-> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
26	24, 25	sylib 122	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
27	26	uneq2d 3289	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
28	21, 27	sylan9eq 2230	. . . 4 |- ( ( dom f = A /\ (EXMID /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
29	28	an12s 565	. . 3 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
30	11, 29	eqtr4id 2229	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
31		undifdcss 6917	. . . . 5 |- ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) )
32		exmidexmid 4194	. . . . . . 7 |- (EXMID -> DECID y e. U. D )
33	32	ralrimivw 2551	. . . . . 6 |- (EXMID -> A. y e. A DECID y e. U. D )
34	33	biantrud 304	. . . . 5 |- (EXMID -> ( U. D C_ A <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) ) )
35	31, 34	bitr4id 199	. . . 4 |- (EXMID -> ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> U. D C_ A ) )
36	16, 35	mpbiri 168	. . 3 |- (EXMID -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
37	36	adantr 276	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
38	30, 37	eqtr4d 2213	1 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   _Vcvv 2737   \ cdif 3126   u. cun 3127   i^i cin 3128   C_ wss 3129   U.cuni 3808  EXMIDwem 4192   `'ccnv 4623   dom cdm 4624   ran crn 4625   |` cres 4626   "cima 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-exmid 4193  df-xp 4630  df-cnv 4632  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6959