Theorem sbthlemi5 6798

Description: Lemma for isbth 6804. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlemi5	|- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
2		sbthlem.2	. . . . . . . . . 10 |- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
3	1, 2	sbthlem1 6794	. . . . . . . . 9 |- U. D C_ ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) )
4		difss 3166	. . . . . . . . 9 |- ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) ) C_ A
5	3, 4	sstri 3070	. . . . . . . 8 |- U. D C_ A
6		sseq2 3085	. . . . . . . 8 |- ( dom f = A -> ( U. D C_ dom f <-> U. D C_ A ) )
7	5, 6	mpbiri 167	. . . . . . 7 |- ( dom f = A -> U. D C_ dom f )
8		dfss 3049	. . . . . . 7 |- ( U. D C_ dom f <-> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
9	7, 8	sylib 121	. . . . . 6 |- ( dom f = A -> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
10	9	uneq1d 3193	. . . . 5 |- ( dom f = A -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) )
11	1, 2	sbthlemi3 6796	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) = ( A \ U. D ) )
12		imassrn 4848	. . . . . . . 8 |- ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) C_ ran g
13	11, 12	syl6eqssr 3114	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) C_ ran g )
14		dfss 3049	. . . . . . 7 |- ( ( A \ U. D ) C_ ran g <-> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
15	13, 14	sylib 121	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
16	15	uneq2d 3194	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
17	10, 16	sylan9eq 2165	. . . 4 |- ( ( dom f = A /\ (EXMID /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
18	17	an12s 537	. . 3 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
19		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
20	19	dmeqi 4698	. . . 4 |- dom H = dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
21		dmun 4704	. . . 4 |- dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
22		dmres 4796	. . . . 5 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
23		dmres 4796	. . . . . 6 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
24		df-rn 4508	. . . . . . . 8 |- ran g = dom `' g
25	24	eqcomi 2117	. . . . . . 7 |- dom `' g = ran g
26	25	ineq2i 3238	. . . . . 6 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
27	23, 26	eqtri 2133	. . . . 5 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
28	22, 27	uneq12i 3192	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
29	20, 21, 28	3eqtri 2137	. . 3 |- dom H = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
30	18, 29	syl6reqr 2164	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
31		exmidexmid 4078	. . . . . . 7 |- (EXMID -> DECID y e. U. D )
32	31	ralrimivw 2478	. . . . . 6 |- (EXMID -> A. y e. A DECID y e. U. D )
33	32	biantrud 300	. . . . 5 |- (EXMID -> ( U. D C_ A <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) ) )
34		undifdcss 6761	. . . . 5 |- ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) )
35	33, 34	syl6rbbr 198	. . . 4 |- (EXMID -> ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> U. D C_ A ) )
36	5, 35	mpbiri 167	. . 3 |- (EXMID -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
37	36	adantr 272	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
38	30, 37	eqtr4d 2148	1 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 802   = wceq 1312   e. wcel 1461   {cab 2099   A.wral 2388   _Vcvv 2655   \ cdif 3032   u. cun 3033   i^i cin 3034   C_ wss 3035   U.cuni 3700  EXMIDwem 4076   `'ccnv 4496   dom cdm 4497   ran crn 4498   |` cres 4499   "cima 4500

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-exmid 4077  df-xp 4503  df-cnv 4505  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6802