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Theorem sbthlemi5 6649
Description: Lemma for isbth 6655. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlemi5  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbthlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
2 sbthlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
31, 2sbthlem1 6645 . . . . . . . . 9  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
4 difss 3124 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
53, 4sstri 3032 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  A
6 sseq2 3046 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  C_  A
) )
75, 6mpbiri 166 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  C_  dom  f
)
8 dfss 3011 . . . . . . 7  |-  ( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f ) )
97, 8sylib 120 . . . . . 6  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f
) )
109uneq1d 3151 . . . . 5  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) ) )
111, 2sbthlemi3 6647 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( g " ( B  \ 
( f " U. D ) ) )  =  ( A  \  U. D ) )
12 imassrn 4772 . . . . . . . 8  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g
1311, 12syl6eqssr 3075 . . . . . . 7  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  C_  ran  g )
14 dfss 3011 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  U. D
)  C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1513, 14sylib 120 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
1615uneq2d 3152 . . . . 5  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( ( U. D  i^i  dom  f
)  u.  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1710, 16sylan9eq 2140 . . . 4  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  (EXMID 
/\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
1817an12s 532 . . 3  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
19 sbthlem.3 . . . . 5  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
2019dmeqi 4625 . . . 4  |-  dom  H  =  dom  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )
21 dmun 4631 . . . 4  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
22 dmres 4721 . . . . 5  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
23 dmres 4721 . . . . . 6  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
24 df-rn 4439 . . . . . . . 8  |-  ran  g  =  dom  `' g
2524eqcomi 2092 . . . . . . 7  |-  dom  `' g  =  ran  g
2625ineq2i 3196 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g )
2723, 26eqtri 2108 . . . . 5  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
ran  g )
2822, 27uneq12i 3150 . . . 4  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2920, 21, 283eqtri 2112 . . 3  |-  dom  H  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
3018, 29syl6reqr 2139 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
31 exmidexmid 4022 . . . . . . 7  |-  (EXMID  -> DECID  y  e.  U. D
)
3231ralrimivw 2447 . . . . . 6  |-  (EXMID  ->  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D
)
3332biantrud 298 . . . . 5  |-  (EXMID  ->  ( U. D  C_  A  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) ) )
34 undifdcss 6613 . . . . 5  |-  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) )  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) )
3533, 34syl6rbbr 197 . . . 4  |-  (EXMID  ->  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  <->  U. D  C_  A ) )
365, 35mpbiri 166 . . 3  |-  (EXMID  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) ) )
3736adantr 270 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
3830, 37eqtr4d 2123 1  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   _Vcvv 2619    \ cdif 2994    u. cun 2995    i^i cin 2996    C_ wss 2997   U.cuni 3648  EXMIDwem 4020   `'ccnv 4427   dom cdm 4428   ran crn 4429    |` cres 4430   "cima 4431
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-stab 776  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-exmid 4021  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441
This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6653
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