Theorem sbthlemi5 6649

Description: Lemma for isbth 6655. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sbthlemi5	|- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f   x, g   x, H

Allowed substitution hints:   A( f, g)   B( f, g)   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. _V
2		sbthlem.2	. . . . . . . . . 10 |- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
3	1, 2	sbthlem1 6645	. . . . . . . . 9 |- U. D C_ ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) )
4		difss 3124	. . . . . . . . 9 |- ( A \ ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) ) C_ A
5	3, 4	sstri 3032	. . . . . . . 8 |- U. D C_ A
6		sseq2 3046	. . . . . . . 8 |- ( dom f = A -> ( U. D C_ dom f <-> U. D C_ A ) )
7	5, 6	mpbiri 166	. . . . . . 7 |- ( dom f = A -> U. D C_ dom f )
8		dfss 3011	. . . . . . 7 |- ( U. D C_ dom f <-> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
9	7, 8	sylib 120	. . . . . 6 |- ( dom f = A -> U. D = ( U. D i^i dom f ) )
10	9	uneq1d 3151	. . . . 5 |- ( dom f = A -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) )
11	1, 2	sbthlemi3 6647	. . . . . . . 8 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) = ( A \ U. D ) )
12		imassrn 4772	. . . . . . . 8 |- ( g " ( B \ ( f " U. D ) ) ) C_ ran g
13	11, 12	syl6eqssr 3075	. . . . . . 7 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) C_ ran g )
14		dfss 3011	. . . . . . 7 |- ( ( A \ U. D ) C_ ran g <-> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
15	13, 14	sylib 120	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( A \ U. D ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
16	15	uneq2d 3152	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ ran g C_ A ) -> ( ( U. D i^i dom f ) u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
17	10, 16	sylan9eq 2140	. . . 4 |- ( ( dom f = A /\ (EXMID /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
18	17	an12s 532	. . 3 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> ( U. D u. ( A \ U. D ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) ) )
19		sbthlem.3	. . . . 5 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
20	19	dmeqi 4625	. . . 4 |- dom H = dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
21		dmun 4631	. . . 4 |- dom ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
22		dmres 4721	. . . . 5 |- dom ( f |` U. D ) = ( U. D i^i dom f )
23		dmres 4721	. . . . . 6 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g )
24		df-rn 4439	. . . . . . . 8 |- ran g = dom `' g
25	24	eqcomi 2092	. . . . . . 7 |- dom `' g = ran g
26	25	ineq2i 3196	. . . . . 6 |- ( ( A \ U. D ) i^i dom `' g ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
27	23, 26	eqtri 2108	. . . . 5 |- dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) = ( ( A \ U. D ) i^i ran g )
28	22, 27	uneq12i 3150	. . . 4 |- ( dom ( f |` U. D ) u. dom ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
29	20, 21, 28	3eqtri 2112	. . 3 |- dom H = ( ( U. D i^i dom f ) u. ( ( A \ U. D ) i^i ran g ) )
30	18, 29	syl6reqr 2139	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
31		exmidexmid 4022	. . . . . . 7 |- (EXMID -> DECID y e. U. D )
32	31	ralrimivw 2447	. . . . . 6 |- (EXMID -> A. y e. A DECID y e. U. D )
33	32	biantrud 298	. . . . 5 |- (EXMID -> ( U. D C_ A <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) ) )
34		undifdcss 6613	. . . . 5 |- ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> ( U. D C_ A /\ A. y e. A DECID y e. U. D ) )
35	33, 34	syl6rbbr 197	. . . 4 |- (EXMID -> ( A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) <-> U. D C_ A ) )
36	5, 35	mpbiri 166	. . 3 |- (EXMID -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
37	36	adantr 270	. 2 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> A = ( U. D u. ( A \ U. D ) ) )
38	30, 37	eqtr4d 2123	1 |- ( (EXMID /\ ( dom f = A /\ ran g C_ A ) ) -> dom H = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102  DECID wdc 780   = wceq 1289   e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   _Vcvv 2619   \ cdif 2994   u. cun 2995   i^i cin 2996   C_ wss 2997   U.cuni 3648  EXMIDwem 4020   `'ccnv 4427   dom cdm 4428   ran crn 4429   |` cres 4430   "cima 4431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-stab 776  df-dc 781  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-exmid 4021  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441

This theorem is referenced by:  sbthlemi9  6653