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Theorem sbthlemi5 6990
Description: Lemma for isbth 6996. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
sbthlem.1  |-  A  e. 
_V
sbthlem.2  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
sbthlem.3  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
Assertion
Ref Expression
sbthlemi5  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, f    x, g    x, H
Allowed substitution hints:    A( f, g)    B( f, g)    D( f, g)    H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi5
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbthlem.3 . . . . 5  |-  H  =  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
21dmeqi 4846 . . . 4  |-  dom  H  =  dom  ( ( f  |`  U. D )  u.  ( `' g  |`  ( A  \  U. D
) ) )
3 dmun 4852 . . . 4  |-  dom  (
( f  |`  U. D
)  u.  ( `' g  |`  ( A  \ 
U. D ) ) )  =  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )
4 dmres 4946 . . . . 5  |-  dom  (
f  |`  U. D )  =  ( U. D  i^i  dom  f )
5 dmres 4946 . . . . . 6  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
dom  `' g )
6 df-rn 4655 . . . . . . . 8  |-  ran  g  =  dom  `' g
76eqcomi 2193 . . . . . . 7  |-  dom  `' g  =  ran  g
87ineq2i 3348 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  U. D
)  i^i  dom  `' g )  =  ( ( A  \  U. D
)  i^i  ran  g )
95, 8eqtri 2210 . . . . 5  |-  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( A 
\  U. D )  i^i 
ran  g )
104, 9uneq12i 3302 . . . 4  |-  ( dom  ( f  |`  U. D
)  u.  dom  ( `' g  |`  ( A 
\  U. D ) ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
112, 3, 103eqtri 2214 . . 3  |-  dom  H  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
12 sbthlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e. 
_V
13 sbthlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  D  =  { x  |  ( x  C_  A  /\  ( g " ( B  \  ( f "
x ) ) ) 
C_  ( A  \  x ) ) }
1412, 13sbthlem1 6986 . . . . . . . . 9  |-  U. D  C_  ( A  \  (
g " ( B 
\  ( f " U. D ) ) ) )
15 difss 3276 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  ( g "
( B  \  (
f " U. D
) ) ) ) 
C_  A
1614, 15sstri 3179 . . . . . . . 8  |-  U. D  C_  A
17 sseq2 3194 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  C_  A
) )
1816, 17mpbiri 168 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  C_  dom  f
)
19 dfss 3158 . . . . . . 7  |-  ( U. D  C_  dom  f  <->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f ) )
2018, 19sylib 122 . . . . . 6  |-  ( dom  f  =  A  ->  U. D  =  ( U. D  i^i  dom  f
) )
2120uneq1d 3303 . . . . 5  |-  ( dom  f  =  A  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( A  \  U. D ) ) )
2212, 13sbthlemi3 6988 . . . . . . . 8  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( g " ( B  \ 
( f " U. D ) ) )  =  ( A  \  U. D ) )
23 imassrn 4999 . . . . . . . 8  |-  ( g
" ( B  \ 
( f " U. D ) ) ) 
C_  ran  g
2422, 23eqsstrrdi 3223 . . . . . . 7  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  C_  ran  g )
25 dfss 3158 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  U. D
)  C_  ran  g  <->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2624, 25sylib 122 . . . . . 6  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( A  \ 
U. D )  =  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) )
2726uneq2d 3304 . . . . 5  |-  ( (EXMID  /\ 
ran  g  C_  A
)  ->  ( ( U. D  i^i  dom  f
)  u.  ( A 
\  U. D ) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  ( ( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
2821, 27sylan9eq 2242 . . . 4  |-  ( ( dom  f  =  A  /\  (EXMID 
/\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
2928an12s 565 . . 3  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  -> 
( U. D  u.  ( A  \  U. D
) )  =  ( ( U. D  i^i  dom  f )  u.  (
( A  \  U. D )  i^i  ran  g ) ) )
3011, 29eqtr4id 2241 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
31 undifdcss 6951 . . . . 5  |-  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) )  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) )
32 exmidexmid 4214 . . . . . . 7  |-  (EXMID  -> DECID  y  e.  U. D
)
3332ralrimivw 2564 . . . . . 6  |-  (EXMID  ->  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D
)
3433biantrud 304 . . . . 5  |-  (EXMID  ->  ( U. D  C_  A  <->  ( U. D  C_  A  /\  A. y  e.  A DECID  y  e.  U. D ) ) )
3531, 34bitr4id 199 . . . 4  |-  (EXMID  ->  ( A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) )  <->  U. D  C_  A ) )
3616, 35mpbiri 168 . . 3  |-  (EXMID  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \  U. D ) ) )
3736adantr 276 . 2  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  A  =  ( U. D  u.  ( A  \ 
U. D ) ) )
3830, 37eqtr4d 2225 1  |-  ( (EXMID  /\  ( dom  f  =  A  /\  ran  g  C_  A ) )  ->  dom  H  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 835    = wceq 1364    e. wcel 2160   {cab 2175   A.wral 2468   _Vcvv 2752    \ cdif 3141    u. cun 3142    i^i cin 3143    C_ wss 3144   U.cuni 3824  EXMIDwem 4212   `'ccnv 4643   dom cdm 4644   ran crn 4645    |` cres 4646   "cima 4647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-exmid 4213  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657
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