Theorem unex 4362

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- ( A u. B ) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3750	. 2 |- U. { A , B } = ( A u. B )
4		prexg 4133	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 422	. . 3 |- { A , B } e. _V
6	5	uniex 4359	. 2 |- U. { A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2213	1 |- ( A u. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   u. cun 3069   {cpr 3528   U.cuni 3736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737

This theorem is referenced by:  unexb  4363  rdg0  6284  unen  6710  findcard2  6783  findcard2s  6784  ac6sfi  6792  sbthlemi10  6854  finomni  7012  exmidfodomrlemim  7057  nn0ex  8983  xrex  9639  exmidunben  11939  strleun  12048