Theorem unex 4419

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- ( A u. B ) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3803	. 2 |- U. { A , B } = ( A u. B )
4		prexg 4189	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 423	. . 3 |- { A , B } e. _V
6	5	uniex 4415	. 2 |- U. { A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2240	1 |- ( A u. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   {cpr 3577   U.cuni 3789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790

This theorem is referenced by:  unexb  4420  rdg0  6355  unen  6782  findcard2  6855  findcard2s  6856  ac6sfi  6864  sbthlemi10  6931  finomni  7104  exmidfodomrlemim  7157  nn0ex  9120  xrex  9792  exmidunben  12359  strleun  12484