Theorem unex 4426

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- ( A u. B ) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3810	. 2 |- U. { A , B } = ( A u. B )
4		prexg 4196	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 424	. . 3 |- { A , B } e. _V
6	5	uniex 4422	. 2 |- U. { A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2244	1 |- ( A u. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   {cpr 3584   U.cuni 3796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797

This theorem is referenced by:  unexb  4427  rdg0  6366  unen  6794  findcard2  6867  findcard2s  6868  ac6sfi  6876  sbthlemi10  6943  finomni  7116  exmidfodomrlemim  7178  nn0ex  9141  xrex  9813  exmidunben  12381  strleun  12507