Theorem unex 4582

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- ( A u. B ) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3944	. 2 |- U. { A , B } = ( A u. B )
4		prexg 4344	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 430	. . 3 |- { A , B } e. _V
6	5	uniex 4578	. 2 |- U. { A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2312	1 |- ( A u. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   u. cun 3218   {cpr 3706   U.cuni 3930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-uni 3931

This theorem is referenced by:  unexb  4583  rdg0  6648  unen  7095  findcard2  7183  findcard2s  7184  ac6sfi  7192  sbthlemi10  7273  finomni  7470  exmidfodomrlemim  7543  nn0ex  9548  xrex  10237  xnn0nnen  10852  hashfibclem  11260  nninfct  12796  exmidunben  13295  strleun  13435  fngzsum  13685  fnpsr  14974