Theorem unex 4562

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- ( A u. B ) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3928	. 2 |- U. { A , B } = ( A u. B )
4		prexg 4325	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . 3 |- { A , B } e. _V
6	5	uniex 4558	. 2 |- U. { A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2306	1 |- ( A u. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   {cpr 3690   U.cuni 3914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915

This theorem is referenced by:  unexb  4563  rdg0  6618  unen  7058  findcard2  7146  findcard2s  7147  ac6sfi  7155  sbthlemi10  7236  finomni  7431  exmidfodomrlemim  7504  nn0ex  9502  xrex  10189  xnn0nnen  10799  hashfibclem  11206  nninfct  12737  exmidunben  13177  strleun  13317  fngsum  13601  fnpsr  14815