Theorem unex 4257

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- ( A u. B ) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3662	. 2 |- U. { A , B } = ( A u. B )
4		prexg 4029	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 417	. . 3 |- { A , B } e. _V
6	5	uniex 4255	. 2 |- U. { A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2161	1 |- ( A u. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   u. cun 2995   {cpr 3442   U.cuni 3648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pr 4027  ax-un 4251

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649

This theorem is referenced by:  unexb  4258  rdg0  6134  unen  6513  findcard2  6585  findcard2s  6586  ac6sfi  6594  sbthlemi10  6654  finomni  6775  exmidfodomrlemim  6806  nn0ex  8649  xrex  9274