Theorem unex 4370

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- ( A u. B ) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3758	. 2 |- U. { A , B } = ( A u. B )
4		prexg 4141	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 423	. . 3 |- { A , B } e. _V
6	5	uniex 4367	. 2 |- U. { A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2214	1 |- ( A u. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   u. cun 3074   {cpr 3533   U.cuni 3744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745

This theorem is referenced by:  unexb  4371  rdg0  6292  unen  6718  findcard2  6791  findcard2s  6792  ac6sfi  6800  sbthlemi10  6862  finomni  7020  exmidfodomrlemim  7074  nn0ex  9007  xrex  9669  exmidunben  11975  strleun  12087