Theorem unex 4473

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- ( A u. B ) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3850	. 2 |- U. { A , B } = ( A u. B )
4		prexg 4241	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . 3 |- { A , B } e. _V
6	5	uniex 4469	. 2 |- U. { A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2267	1 |- ( A u. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3152   {cpr 3620   U.cuni 3836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-sn 3625  df-pr 3626  df-uni 3837

This theorem is referenced by:  unexb  4474  rdg0  6442  unen  6872  findcard2  6947  findcard2s  6948  ac6sfi  6956  sbthlemi10  7027  finomni  7201  exmidfodomrlemim  7263  nn0ex  9249  xrex  9925  xnn0nnen  10511  nninfct  12181  exmidunben  12586  strleun  12725  fngsum  12974  fnpsr  14164