Theorem unex 4532

Description: The union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 1-Jul-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
unex.1	|- A e. _V
unex.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
unex	|- ( A u. B ) e. _V

Proof of Theorem unex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unex.1	. . 3 |- A e. _V
2		unex.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	unipr 3902	. 2 |- U. { A , B } = ( A u. B )
4		prexg 4295	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { A , B } e. _V )
5	1, 2, 4	mp2an 426	. . 3 |- { A , B } e. _V
6	5	uniex 4528	. 2 |- U. { A , B } e. _V
7	3, 6	eqeltrri 2303	1 |- ( A u. B ) e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   u. cun 3195   {cpr 3667   U.cuni 3888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889

This theorem is referenced by:  unexb  4533  rdg0  6539  unen  6977  findcard2  7059  findcard2s  7060  ac6sfi  7068  sbthlemi10  7144  finomni  7318  exmidfodomrlemim  7390  nn0ex  9386  xrex  10064  xnn0nnen  10671  nninfct  12577  exmidunben  13012  strleun  13152  fngsum  13436  fnpsr  14646