Theorem intopsn 12598

Description: The internal operation for a set is the trivial operation iff the set is a singleton. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
intopsn	|- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Proof of Theorem intopsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> .o. : ( B X. B ) --> B )
2		id 19	. . . . . 6 |- ( B = { Z } -> B = { Z } )
3	2	sqxpeqd 4630	. . . . 5 |- ( B = { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) )
4	3, 2	feq23d 5333	. . . 4 |- ( B = { Z } -> ( .o. : ( B X. B ) --> B <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
5	1, 4	syl5ibcom 154	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } -> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
6		fdm 5343	. . . . . . 7 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> dom .o. = ( B X. B ) )
7	6	eqcomd 2171	. . . . . 6 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> ( B X. B ) = dom .o. )
8	7	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B X. B ) = dom .o. )
9		fdm 5343	. . . . . 6 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> dom .o. = ( { Z } X. { Z } ) )
10	9	eqeq2d 2177	. . . . 5 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( ( B X. B ) = dom .o. <-> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
11	8, 10	syl5ibcom 154	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
12		xpid11 4827	. . . 4 |- ( ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) <-> B = { Z } )
13	11, 12	syl6ib 160	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> B = { Z } ) )
14	5, 13	impbid 128	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
15		simpr 109	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> Z e. B )
16		xpsng 5660	. . . 4 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
17	15, 16	sylancom 417	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
18	17	feq2d 5325	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } <-> .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } ) )
19		opexg 4206	. . . . 5 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> <. Z , Z >. e. _V )
20	19	anidms 395	. . . 4 |- ( Z e. B -> <. Z , Z >. e. _V )
21		fsng 5658	. . . 4 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
22	20, 21	mpancom 419	. . 3 |- ( Z e. B -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
23	22	adantl 275	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
24	14, 18, 23	3bitrd 213	1 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   <.cop 3579   X. cxp 4602   dom cdm 4604   -->wf 5184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by:  mgmb1mgm1  12599