Theorem intopsn 13069

Description: The internal operation for a set is the trivial operation iff the set is a singleton. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
intopsn	|- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Proof of Theorem intopsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> .o. : ( B X. B ) --> B )
2		id 19	. . . . . 6 |- ( B = { Z } -> B = { Z } )
3	2	sqxpeqd 4690	. . . . 5 |- ( B = { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) )
4	3, 2	feq23d 5406	. . . 4 |- ( B = { Z } -> ( .o. : ( B X. B ) --> B <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
5	1, 4	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } -> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
6		fdm 5416	. . . . . . 7 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> dom .o. = ( B X. B ) )
7	6	eqcomd 2202	. . . . . 6 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> ( B X. B ) = dom .o. )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B X. B ) = dom .o. )
9		fdm 5416	. . . . . 6 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> dom .o. = ( { Z } X. { Z } ) )
10	9	eqeq2d 2208	. . . . 5 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( ( B X. B ) = dom .o. <-> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
11	8, 10	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
12		xpid11 4890	. . . 4 |- ( ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) <-> B = { Z } )
13	11, 12	imbitrdi 161	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> B = { Z } ) )
14	5, 13	impbid 129	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
15		simpr 110	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> Z e. B )
16		xpsng 5740	. . . 4 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
17	15, 16	sylancom 420	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
18	17	feq2d 5398	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } <-> .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } ) )
19		opexg 4262	. . . . 5 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> <. Z , Z >. e. _V )
20	19	anidms 397	. . . 4 |- ( Z e. B -> <. Z , Z >. e. _V )
21		fsng 5738	. . . 4 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
22	20, 21	mpancom 422	. . 3 |- ( Z e. B -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
23	22	adantl 277	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
24	14, 18, 23	3bitrd 214	1 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3623   <.cop 3626   X. cxp 4662   dom cdm 4664   -->wf 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266

This theorem is referenced by:  mgmb1mgm1  13070