Theorem intopsn 13117

Description: The internal operation for a set is the trivial operation iff the set is a singleton. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
intopsn	|- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Proof of Theorem intopsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> .o. : ( B X. B ) --> B )
2		id 19	. . . . . 6 |- ( B = { Z } -> B = { Z } )
3	2	sqxpeqd 4699	. . . . 5 |- ( B = { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) )
4	3, 2	feq23d 5415	. . . 4 |- ( B = { Z } -> ( .o. : ( B X. B ) --> B <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
5	1, 4	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } -> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
6		fdm 5425	. . . . . . 7 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> dom .o. = ( B X. B ) )
7	6	eqcomd 2210	. . . . . 6 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> ( B X. B ) = dom .o. )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B X. B ) = dom .o. )
9		fdm 5425	. . . . . 6 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> dom .o. = ( { Z } X. { Z } ) )
10	9	eqeq2d 2216	. . . . 5 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( ( B X. B ) = dom .o. <-> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
11	8, 10	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
12		xpid11 4899	. . . 4 |- ( ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) <-> B = { Z } )
13	11, 12	imbitrdi 161	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> B = { Z } ) )
14	5, 13	impbid 129	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
15		simpr 110	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> Z e. B )
16		xpsng 5749	. . . 4 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
17	15, 16	sylancom 420	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
18	17	feq2d 5407	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } <-> .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } ) )
19		opexg 4271	. . . . 5 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> <. Z , Z >. e. _V )
20	19	anidms 397	. . . 4 |- ( Z e. B -> <. Z , Z >. e. _V )
21		fsng 5747	. . . 4 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
22	20, 21	mpancom 422	. . 3 |- ( Z e. B -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
23	22	adantl 277	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
24	14, 18, 23	3bitrd 214	1 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   {csn 3632   <.cop 3635   X. cxp 4671   dom cdm 4673   -->wf 5264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275

This theorem is referenced by:  mgmb1mgm1  13118