Theorem intopsn 12621

Description: The internal operation for a set is the trivial operation iff the set is a singleton. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
intopsn	|- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Proof of Theorem intopsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 108	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> .o. : ( B X. B ) --> B )
2		id 19	. . . . . 6 |- ( B = { Z } -> B = { Z } )
3	2	sqxpeqd 4637	. . . . 5 |- ( B = { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) )
4	3, 2	feq23d 5343	. . . 4 |- ( B = { Z } -> ( .o. : ( B X. B ) --> B <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
5	1, 4	syl5ibcom 154	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } -> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
6		fdm 5353	. . . . . . 7 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> dom .o. = ( B X. B ) )
7	6	eqcomd 2176	. . . . . 6 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> ( B X. B ) = dom .o. )
8	7	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B X. B ) = dom .o. )
9		fdm 5353	. . . . . 6 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> dom .o. = ( { Z } X. { Z } ) )
10	9	eqeq2d 2182	. . . . 5 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( ( B X. B ) = dom .o. <-> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
11	8, 10	syl5ibcom 154	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
12		xpid11 4834	. . . 4 |- ( ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) <-> B = { Z } )
13	11, 12	syl6ib 160	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> B = { Z } ) )
14	5, 13	impbid 128	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
15		simpr 109	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> Z e. B )
16		xpsng 5671	. . . 4 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
17	15, 16	sylancom 418	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
18	17	feq2d 5335	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } <-> .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } ) )
19		opexg 4213	. . . . 5 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> <. Z , Z >. e. _V )
20	19	anidms 395	. . . 4 |- ( Z e. B -> <. Z , Z >. e. _V )
21		fsng 5669	. . . 4 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
22	20, 21	mpancom 420	. . 3 |- ( Z e. B -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
23	22	adantl 275	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
24	14, 18, 23	3bitrd 213	1 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3583   <.cop 3586   X. cxp 4609   dom cdm 4611   -->wf 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205

This theorem is referenced by:  mgmb1mgm1  12622