Theorem intopsn 13630

Description: The internal operation for a set is the trivial operation iff the set is a singleton. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 23-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
intopsn	|- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Proof of Theorem intopsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> .o. : ( B X. B ) --> B )
2		id 19	. . . . . 6 |- ( B = { Z } -> B = { Z } )
3	2	sqxpeqd 4780	. . . . 5 |- ( B = { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) )
4	3, 2	feq23d 5509	. . . 4 |- ( B = { Z } -> ( .o. : ( B X. B ) --> B <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
5	1, 4	syl5ibcom 155	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } -> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
6		fdm 5519	. . . . . . 7 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> dom .o. = ( B X. B ) )
7	6	eqcomd 2240	. . . . . 6 |- ( .o. : ( B X. B ) --> B -> ( B X. B ) = dom .o. )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B X. B ) = dom .o. )
9		fdm 5519	. . . . . 6 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> dom .o. = ( { Z } X. { Z } ) )
10	9	eqeq2d 2246	. . . . 5 |- ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( ( B X. B ) = dom .o. <-> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
11	8, 10	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) ) )
12		xpid11 4985	. . . 4 |- ( ( B X. B ) = ( { Z } X. { Z } ) <-> B = { Z } )
13	11, 12	imbitrdi 161	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } -> B = { Z } ) )
14	5, 13	impbid 129	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } ) )
15		simpr 110	. . . 4 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> Z e. B )
16		xpsng 5858	. . . 4 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
17	15, 16	sylancom 420	. . 3 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( { Z } X. { Z } ) = { <. Z , Z >. } )
18	17	feq2d 5501	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : ( { Z } X. { Z } ) --> { Z } <-> .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } ) )
19		opexg 4349	. . . . 5 |- ( ( Z e. B /\ Z e. B ) -> <. Z , Z >. e. _V )
20	19	anidms 397	. . . 4 |- ( Z e. B -> <. Z , Z >. e. _V )
21		fsng 5855	. . . 4 |- ( ( <. Z , Z >. e. _V /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
22	20, 21	mpancom 422	. . 3 |- ( Z e. B -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
23	22	adantl 277	. 2 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( .o. : { <. Z , Z >. } --> { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )
24	14, 18, 23	3bitrd 214	1 |- ( ( .o. : ( B X. B ) --> B /\ Z e. B ) -> ( B = { Z } <-> .o. = { <. <. Z , Z >. , Z >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   <.cop 3697   X. cxp 4752   dom cdm 4754   -->wf 5353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364

This theorem is referenced by:  mgmb1mgm1  13631