Theorem xpsng 5831

Description: The cross product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsng	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpsng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5542	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
3		fsng 5828	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵} ↔ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
4	2, 3	mpbid 147	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {csn 3673  ⟨cop 3676   × cxp 4729  ⟶wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340

This theorem is referenced by:  xpsn  5832  dfmptg  5835  fmptsn  5851  mapsnconst  6906  intopsn  13513  grp1inv  13753  ixpsnbasval  14545