ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpsng GIF version

Theorem xpsng 5435
Description: The cross product of two singletons. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsng ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpsng
StepHypRef Expression
1 fconstg 5170 . . 3 (𝐵𝑊 → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
21adantl 271 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵})
3 fsng 5433 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (({𝐴} × {𝐵}):{𝐴}⟶{𝐵} ↔ ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
42, 3mpbid 145 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ({𝐴} × {𝐵}) = {⟨𝐴, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  {csn 3431  cop 3434   × cxp 4409  wf 4977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988
This theorem is referenced by:  xpsn  5436  dfmptg  5439  fmptsn  5449  mapsnconst  6403
  Copyright terms: Public domain W3C validator