Theorem grp1inv 13862

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	|- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . . 5 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	grp1 13861	. . . 4 |- ( I e. V -> M e. Grp )
3		eqid 2234	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
4		eqid 2234	. . . . 5 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
5	3, 4	grpinvf 13802	. . . 4 |- ( M e. Grp -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
7		snexg 4302	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
8		opexg 4349	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
9	8	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
10		opexg 4349	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
11	9, 10	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
12		snexg 4302	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
14	1	grpbaseg 13424	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
16	15, 15	feq23d 5509	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) ) )
17	6, 16	mpbird 167	. 2 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : { I } --> { I } )
18		fsng 5855	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
19	18	anidms 397	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } )
21		restidsing 5099	. . . . . . 7 |- ( _I |` { I } ) = ( { I } X. { I } )
22		xpsng 5858	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
23	22	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
24	21, 23	eqtr2id 2280	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
25	24	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
26	20, 25	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) = { <. I , I >. } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
28	19, 27	sylbid 150	. 2 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
29	17, 28	mpd 13	1 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   {cpr 3695   <.cop 3697   _I cid 4414   X. cxp 4752   |` cres 4756   -->wf 5353   ` cfv 5357   ndxcnx 13293   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   Grpcgrp 13755   invgcminusg 13756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-grp 13758  df-minusg 13759

This theorem is referenced by: (None)