Theorem grp1inv 13971

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	|- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . . 5 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	grp1 13970	. . . 4 |- ( I e. V -> M e. Grp )
3		eqid 2238	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
4		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
5	3, 4	grpinvf 13911	. . . 4 |- ( M e. Grp -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
7		snexg 4323	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
8		opexg 4370	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
9	8	anidms 401	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
10		opexg 4370	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
11	9, 10	mpancom 426	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
12		snexg 4323	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
14	1	grpbaseg 13540	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
15	7, 13, 14	syl2anc 415	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
16	15, 15	feq23d 5532	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) ) )
17	6, 16	mpbird 167	. 2 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : { I } --> { I } )
18		fsng 5884	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
19	18	anidms 401	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } )
21		restidsing 5122	. . . . . . 7 |- ( _I |` { I } ) = ( { I } X. { I } )
22		xpsng 5887	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
23	22	anidms 401	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
24	21, 23	eqtr2id 2284	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
25	24	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
26	20, 25	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) = { <. I , I >. } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
28	19, 27	sylbid 150	. 2 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
29	17, 28	mpd 13	1 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   {cpr 3710   <.cop 3712   _I cid 4435   X. cxp 4774   |` cres 4778   -->wf 5376   ` cfv 5380   ndxcnx 13407   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   Grpcgrp 13864   invgcminusg 13865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868

This theorem is used by: (None)