Theorem grp1inv 13554

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	|- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . . 5 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	grp1 13553	. . . 4 |- ( I e. V -> M e. Grp )
3		eqid 2207	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
4		eqid 2207	. . . . 5 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
5	3, 4	grpinvf 13494	. . . 4 |- ( M e. Grp -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
7		snexg 4244	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
8		opexg 4290	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
9	8	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
10		opexg 4290	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
11	9, 10	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
12		snexg 4244	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
14	1	grpbaseg 13074	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
16	15, 15	feq23d 5441	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) ) )
17	6, 16	mpbird 167	. 2 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : { I } --> { I } )
18		fsng 5776	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
19	18	anidms 397	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } )
21		restidsing 5034	. . . . . . 7 |- ( _I |` { I } ) = ( { I } X. { I } )
22		xpsng 5778	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
23	22	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
24	21, 23	eqtr2id 2253	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
25	24	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
26	20, 25	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) = { <. I , I >. } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
28	19, 27	sylbid 150	. 2 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
29	17, 28	mpd 13	1 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {csn 3643   {cpr 3644   <.cop 3646   _I cid 4353   X. cxp 4691   |` cres 4695   -->wf 5286   ` cfv 5290   ndxcnx 12944   Basecbs 12947   +g cplusg 13024   Grpcgrp 13447   invgcminusg 13448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-0g 13205  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451

This theorem is referenced by: (None)