Theorem grp1inv 12977

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	|- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . . 5 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	grp1 12976	. . . 4 |- ( I e. V -> M e. Grp )
3		eqid 2177	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
4		eqid 2177	. . . . 5 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
5	3, 4	grpinvf 12920	. . . 4 |- ( M e. Grp -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
7		snexg 4185	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
8		opexg 4229	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
9	8	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
10		opexg 4229	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
11	9, 10	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
12		snexg 4185	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
14	1	grpbaseg 12585	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
16	15, 15	feq23d 5362	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) ) )
17	6, 16	mpbird 167	. 2 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : { I } --> { I } )
18		fsng 5690	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
19	18	anidms 397	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } )
21		restidsing 4964	. . . . . . 7 |- ( _I |` { I } ) = ( { I } X. { I } )
22		xpsng 5692	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
23	22	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
24	21, 23	eqtr2id 2223	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
25	24	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
26	20, 25	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) = { <. I , I >. } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
28	19, 27	sylbid 150	. 2 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
29	17, 28	mpd 13	1 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   {csn 3593   {cpr 3594   <.cop 3596   _I cid 4289   X. cxp 4625   |` cres 4629   -->wf 5213   ` cfv 5217   ndxcnx 12459   Basecbs 12462   +g cplusg 12536   Grpcgrp 12877   invgcminusg 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881

This theorem is referenced by: (None)