Theorem grp1inv 13439

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	|- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . . 5 |- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. }
2	1	grp1 13438	. . . 4 |- ( I e. V -> M e. Grp )
3		eqid 2205	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
4		eqid 2205	. . . . 5 |- ( invg ` M ) = ( invg ` M )
5	3, 4	grpinvf 13379	. . . 4 |- ( M e. Grp -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
6	2, 5	syl 14	. . 3 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
7		snexg 4228	. . . . 5 |- ( I e. V -> { I } e. _V )
8		opexg 4272	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> <. I , I >. e. _V )
9	8	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> <. I , I >. e. _V )
10		opexg 4272	. . . . . . 7 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
11	9, 10	mpancom 422	. . . . . 6 |- ( I e. V -> <. <. I , I >. , I >. e. _V )
12		snexg 4228	. . . . . 6 |- ( <. <. I , I >. , I >. e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( I e. V -> { <. <. I , I >. , I >. } e. _V )
14	1	grpbaseg 12959	. . . . 5 |- ( ( { I } e. _V /\ { <. <. I , I >. , I >. } e. _V ) -> { I } = ( Base ` M ) )
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 |- ( I e. V -> { I } = ( Base ` M ) )
16	15, 15	feq23d 5421	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) ) )
17	6, 16	mpbird 167	. 2 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) : { I } --> { I } )
18		fsng 5753	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
19	18	anidms 397	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } <-> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) )
20		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = { <. I , I >. } )
21		restidsing 5015	. . . . . . 7 |- ( _I |` { I } ) = ( { I } X. { I } )
22		xpsng 5755	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
23	22	anidms 397	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( { I } X. { I } ) = { <. I , I >. } )
24	21, 23	eqtr2id 2251	. . . . . 6 |- ( I e. V -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
25	24	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> { <. I , I >. } = ( _I |` { I } ) )
26	20, 25	eqtrd 2238	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ ( invg ` M ) = { <. I , I >. } ) -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) = { <. I , I >. } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
28	19, 27	sylbid 150	. 2 |- ( I e. V -> ( ( invg ` M ) : { I } --> { I } -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) ) )
29	17, 28	mpd 13	1 |- ( I e. V -> ( invg ` M ) = ( _I |` { I } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   {csn 3633   {cpr 3634   <.cop 3636   _I cid 4335   X. cxp 4673   |` cres 4677   -->wf 5267   ` cfv 5271   ndxcnx 12829   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   Grpcgrp 13332   invgcminusg 13333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336

This theorem is referenced by: (None)