Theorem mapsnconst 6403

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	|- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 |- B e. _V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 |- X e. _V
3	2	snex 3994	. . . . 5 |- { X } e. _V
4	1, 3	elmap 6386	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m { X } ) <-> F : { X } --> B )
5	2	fsn2 5434	. . . . 5 |- ( F : { X } --> B <-> ( ( F ` X ) e. B /\ F = { <. X , ( F ` X ) >. } ) )
6	5	simprbi 269	. . . 4 |- ( F : { X } --> B -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
7	4, 6	sylbi 119	. . 3 |- ( F e. ( B ^m { X } ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
8		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
9	8	oveq2i 5624	. . 3 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
10	7, 9	eleq2s 2179	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
11	8	xpeq1i 4431	. . 3 |- ( S X. { ( F ` X ) } ) = ( { X } X. { ( F ` X ) } )
12		fvexg 5287	. . . . 5 |- ( ( F e. ( B ^m S ) /\ X e. _V ) -> ( F ` X ) e. _V )
13	2, 12	mpan2 416	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( F ` X ) e. _V )
14		xpsng 5435	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ ( F ` X ) e. _V ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
15	2, 13, 14	sylancr 405	. . 3 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
16	11, 15	syl5req 2130	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> { <. X , ( F ` X ) >. } = ( S X. { ( F ` X ) } ) )
17	10, 16	eqtrd 2117	1 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1287   e. wcel 1436   _Vcvv 2615   {csn 3431   <.cop 3434   X. cxp 4409   -->wf 4977   ` cfv 4981  (class class class)co 5613   ^m cmap 6357

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-map 6359

This theorem is referenced by:  mapsncnv  6404