ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnconst Unicode version

Theorem mapsnconst 6696
Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsnconst  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.b . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2 mapsncnv.x . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
32snex 4187 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
41, 3elmap 6679 . . . 4  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  F : { X } --> B )
52fsn2 5692 . . . . 5  |-  ( F : { X } --> B 
<->  ( ( F `  X )  e.  B  /\  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } ) )
65simprbi 275 . . . 4  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } )
74, 6sylbi 121 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  F  =  { <. X , 
( F `  X
) >. } )
8 mapsncnv.s . . . 4  |-  S  =  { X }
98oveq2i 5888 . . 3  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
107, 9eleq2s 2272 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. } )
118xpeq1i 4648 . . 3  |-  ( S  X.  { ( F `
 X ) } )  =  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )
12 fvexg 5536 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( B  ^m  S )  /\  X  e.  _V )  ->  ( F `  X
)  e.  _V )
132, 12mpan2 425 . . . 4  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  ( F `  X )  e.  _V )
14 xpsng 5693 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( F `  X )  e.  _V )  -> 
( { X }  X.  { ( F `  X ) } )  =  { <. X , 
( F `  X
) >. } )
152, 13, 14sylancr 414 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. } )
1611, 15eqtr2id 2223 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  { <. X ,  ( F `  X ) >. }  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
1710, 16eqtrd 2210 1  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2739   {csn 3594   <.cop 3597    X. cxp 4626   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877    ^m cmap 6650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-map 6652
This theorem is referenced by:  mapsncnv  6697
  Copyright terms: Public domain W3C validator