Theorem mapsnconst 6596

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	|- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 |- B e. _V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 |- X e. _V
3	2	snex 4117	. . . . 5 |- { X } e. _V
4	1, 3	elmap 6579	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m { X } ) <-> F : { X } --> B )
5	2	fsn2 5602	. . . . 5 |- ( F : { X } --> B <-> ( ( F ` X ) e. B /\ F = { <. X , ( F ` X ) >. } ) )
6	5	simprbi 273	. . . 4 |- ( F : { X } --> B -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
7	4, 6	sylbi 120	. . 3 |- ( F e. ( B ^m { X } ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
8		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
9	8	oveq2i 5793	. . 3 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
10	7, 9	eleq2s 2235	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
11	8	xpeq1i 4567	. . 3 |- ( S X. { ( F ` X ) } ) = ( { X } X. { ( F ` X ) } )
12		fvexg 5448	. . . . 5 |- ( ( F e. ( B ^m S ) /\ X e. _V ) -> ( F ` X ) e. _V )
13	2, 12	mpan2 422	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( F ` X ) e. _V )
14		xpsng 5603	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ ( F ` X ) e. _V ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
15	2, 13, 14	sylancr 411	. . 3 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
16	11, 15	syl5req 2186	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> { <. X , ( F ` X ) >. } = ( S X. { ( F ` X ) } ) )
17	10, 16	eqtrd 2173	1 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   {csn 3532   <.cop 3535   X. cxp 4545   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   ^m cmap 6550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-map 6552

This theorem is referenced by:  mapsncnv  6597