ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnconst Unicode version

Theorem mapsnconst 6639
Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsnconst  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.b . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2 mapsncnv.x . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
32snex 4146 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
41, 3elmap 6622 . . . 4  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  F : { X } --> B )
52fsn2 5641 . . . . 5  |-  ( F : { X } --> B 
<->  ( ( F `  X )  e.  B  /\  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } ) )
65simprbi 273 . . . 4  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } )
74, 6sylbi 120 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  F  =  { <. X , 
( F `  X
) >. } )
8 mapsncnv.s . . . 4  |-  S  =  { X }
98oveq2i 5835 . . 3  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
107, 9eleq2s 2252 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. } )
118xpeq1i 4606 . . 3  |-  ( S  X.  { ( F `
 X ) } )  =  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )
12 fvexg 5487 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( B  ^m  S )  /\  X  e.  _V )  ->  ( F `  X
)  e.  _V )
132, 12mpan2 422 . . . 4  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  ( F `  X )  e.  _V )
14 xpsng 5642 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( F `  X )  e.  _V )  -> 
( { X }  X.  { ( F `  X ) } )  =  { <. X , 
( F `  X
) >. } )
152, 13, 14sylancr 411 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. } )
1611, 15eqtr2id 2203 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  { <. X ,  ( F `  X ) >. }  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
1710, 16eqtrd 2190 1  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1335    e. wcel 2128   _Vcvv 2712   {csn 3560   <.cop 3563    X. cxp 4584   -->wf 5166   ` cfv 5170  (class class class)co 5824    ^m cmap 6593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-map 6595
This theorem is referenced by:  mapsncnv  6640
  Copyright terms: Public domain W3C validator