Theorem mapsnconst 6839

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	|- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 |- B e. _V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 |- X e. _V
3	2	snex 4268	. . . . 5 |- { X } e. _V
4	1, 3	elmap 6822	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m { X } ) <-> F : { X } --> B )
5	2	fsn2 5808	. . . . 5 |- ( F : { X } --> B <-> ( ( F ` X ) e. B /\ F = { <. X , ( F ` X ) >. } ) )
6	5	simprbi 275	. . . 4 |- ( F : { X } --> B -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
7	4, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( F e. ( B ^m { X } ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
8		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
9	8	oveq2i 6011	. . 3 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
10	7, 9	eleq2s 2324	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
11	8	xpeq1i 4738	. . 3 |- ( S X. { ( F ` X ) } ) = ( { X } X. { ( F ` X ) } )
12		fvexg 5645	. . . . 5 |- ( ( F e. ( B ^m S ) /\ X e. _V ) -> ( F ` X ) e. _V )
13	2, 12	mpan2 425	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( F ` X ) e. _V )
14		xpsng 5809	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ ( F ` X ) e. _V ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . 3 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
16	11, 15	eqtr2id 2275	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> { <. X , ( F ` X ) >. } = ( S X. { ( F ` X ) } ) )
17	10, 16	eqtrd 2262	1 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   <.cop 3669   X. cxp 4716   -->wf 5313   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   ^m cmap 6793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-map 6795

This theorem is referenced by:  mapsncnv  6840