Theorem mapsnconst 6980

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	|- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 |- B e. _V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 |- X e. _V
3	2	snex 4324	. . . . 5 |- { X } e. _V
4	1, 3	elmap 6962	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m { X } ) <-> F : { X } --> B )
5	2	fsn2 5885	. . . . 5 |- ( F : { X } --> B <-> ( ( F ` X ) e. B /\ F = { <. X , ( F ` X ) >. } ) )
6	5	simprbi 275	. . . 4 |- ( F : { X } --> B -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
7	4, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( F e. ( B ^m { X } ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
8		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
9	8	oveq2i 6099	. . 3 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
10	7, 9	eleq2s 2333	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
11	8	xpeq1i 4796	. . 3 |- ( S X. { ( F ` X ) } ) = ( { X } X. { ( F ` X ) } )
12		fvexg 5717	. . . . 5 |- ( ( F e. ( B ^m S ) /\ X e. _V ) -> ( F ` X ) e. _V )
13	2, 12	mpan2 429	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( F ` X ) e. _V )
14		xpsng 5887	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ ( F ` X ) e. _V ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
15	2, 13, 14	sylancr 418	. . 3 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
16	11, 15	eqtr2id 2284	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> { <. X , ( F ` X ) >. } = ( S X. { ( F ` X ) } ) )
17	10, 16	eqtrd 2271	1 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   <.cop 3712   X. cxp 4774   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   ^m cmap 6926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-map 6928

This theorem is used by:  mapsncnv  6981