Theorem mapsnconst 6942

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	|- S = { X }
mapsncnv.b	|- B e. _V
mapsncnv.x	|- X e. _V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	|- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 |- B e. _V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 |- X e. _V
3	2	snex 4303	. . . . 5 |- { X } e. _V
4	1, 3	elmap 6924	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m { X } ) <-> F : { X } --> B )
5	2	fsn2 5856	. . . . 5 |- ( F : { X } --> B <-> ( ( F ` X ) e. B /\ F = { <. X , ( F ` X ) >. } ) )
6	5	simprbi 275	. . . 4 |- ( F : { X } --> B -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
7	4, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( F e. ( B ^m { X } ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
8		mapsncnv.s	. . . 4 |- S = { X }
9	8	oveq2i 6069	. . 3 |- ( B ^m S ) = ( B ^m { X } )
10	7, 9	eleq2s 2329	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = { <. X , ( F ` X ) >. } )
11	8	xpeq1i 4774	. . 3 |- ( S X. { ( F ` X ) } ) = ( { X } X. { ( F ` X ) } )
12		fvexg 5694	. . . . 5 |- ( ( F e. ( B ^m S ) /\ X e. _V ) -> ( F ` X ) e. _V )
13	2, 12	mpan2 425	. . . 4 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( F ` X ) e. _V )
14		xpsng 5858	. . . 4 |- ( ( X e. _V /\ ( F ` X ) e. _V ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . 3 |- ( F e. ( B ^m S ) -> ( { X } X. { ( F ` X ) } ) = { <. X , ( F ` X ) >. } )
16	11, 15	eqtr2id 2280	. 2 |- ( F e. ( B ^m S ) -> { <. X , ( F ` X ) >. } = ( S X. { ( F ` X ) } ) )
17	10, 16	eqtrd 2267	1 |- ( F e. ( B ^m S ) -> F = ( S X. { ( F ` X ) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   <.cop 3697   X. cxp 4752   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-map 6897

This theorem is referenced by:  mapsncnv  6943