ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnconst Unicode version

Theorem mapsnconst 6693
Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsnconst  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.b . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2 mapsncnv.x . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
32snex 4185 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
41, 3elmap 6676 . . . 4  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  F : { X } --> B )
52fsn2 5690 . . . . 5  |-  ( F : { X } --> B 
<->  ( ( F `  X )  e.  B  /\  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } ) )
65simprbi 275 . . . 4  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } )
74, 6sylbi 121 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  F  =  { <. X , 
( F `  X
) >. } )
8 mapsncnv.s . . . 4  |-  S  =  { X }
98oveq2i 5885 . . 3  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
107, 9eleq2s 2272 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. } )
118xpeq1i 4646 . . 3  |-  ( S  X.  { ( F `
 X ) } )  =  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )
12 fvexg 5534 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( B  ^m  S )  /\  X  e.  _V )  ->  ( F `  X
)  e.  _V )
132, 12mpan2 425 . . . 4  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  ( F `  X )  e.  _V )
14 xpsng 5691 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( F `  X )  e.  _V )  -> 
( { X }  X.  { ( F `  X ) } )  =  { <. X , 
( F `  X
) >. } )
152, 13, 14sylancr 414 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. } )
1611, 15eqtr2id 2223 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  { <. X ,  ( F `  X ) >. }  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
1710, 16eqtrd 2210 1  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3592   <.cop 3595    X. cxp 4624   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874    ^m cmap 6647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-map 6649
This theorem is referenced by:  mapsncnv  6694
  Copyright terms: Public domain W3C validator