ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapsnconst Unicode version

Theorem mapsnconst 6554
Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s  |-  S  =  { X }
mapsncnv.b  |-  B  e. 
_V
mapsncnv.x  |-  X  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
mapsnconst  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )

Proof of Theorem mapsnconst
StepHypRef Expression
1 mapsncnv.b . . . . 5  |-  B  e. 
_V
2 mapsncnv.x . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
32snex 4077 . . . . 5  |-  { X }  e.  _V
41, 3elmap 6537 . . . 4  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  <->  F : { X } --> B )
52fsn2 5560 . . . . 5  |-  ( F : { X } --> B 
<->  ( ( F `  X )  e.  B  /\  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } ) )
65simprbi 271 . . . 4  |-  ( F : { X } --> B  ->  F  =  { <. X ,  ( F `
 X ) >. } )
74, 6sylbi 120 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  { X } )  ->  F  =  { <. X , 
( F `  X
) >. } )
8 mapsncnv.s . . . 4  |-  S  =  { X }
98oveq2i 5751 . . 3  |-  ( B  ^m  S )  =  ( B  ^m  { X } )
107, 9eleq2s 2210 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. } )
118xpeq1i 4527 . . 3  |-  ( S  X.  { ( F `
 X ) } )  =  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )
12 fvexg 5406 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( B  ^m  S )  /\  X  e.  _V )  ->  ( F `  X
)  e.  _V )
132, 12mpan2 419 . . . 4  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  ( F `  X )  e.  _V )
14 xpsng 5561 . . . 4  |-  ( ( X  e.  _V  /\  ( F `  X )  e.  _V )  -> 
( { X }  X.  { ( F `  X ) } )  =  { <. X , 
( F `  X
) >. } )
152, 13, 14sylancr 408 . . 3  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  ( { X }  X.  {
( F `  X
) } )  =  { <. X ,  ( F `  X )
>. } )
1611, 15syl5req 2161 . 2  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  { <. X ,  ( F `  X ) >. }  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
1710, 16eqtrd 2148 1  |-  ( F  e.  ( B  ^m  S )  ->  F  =  ( S  X.  { ( F `  X ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1314    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   {csn 3495   <.cop 3498    X. cxp 4505   -->wf 5087   ` cfv 5091  (class class class)co 5740    ^m cmap 6508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-map 6510
This theorem is referenced by:  mapsncnv  6555
  Copyright terms: Public domain W3C validator