Theorem xrletrid 9841

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrletrid.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xrletrid.2	|- ( ph -> B e. RR* )
xrletrid.3	|- ( ph -> A <_ B )
xrletrid.4	|- ( ph -> B <_ A )

Assertion

Ref	Expression
xrletrid	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem xrletrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrletrid.3	. 2 |- ( ph -> A <_ B )
2		xrletrid.4	. 2 |- ( ph -> B <_ A )
3		xrletrid.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR* )
4		xrletrid.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR* )
5		xrletri3 9840	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
6	3, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )
7	1, 2, 6	mpbir2and 946	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   class class class wbr 4021   RR*cxr 8026   <_ cle 8028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-apti 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-xp 4653  df-cnv 4655  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033

This theorem is referenced by:  pcadd2  12384