Theorem xrletri3 9879

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xrletri3	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Proof of Theorem xrletri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 9872	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
2		ancom 266	. . 3 |- ( ( -. B < A /\ -. A < B ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
3	1, 2	bitr4di 198	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
4		xrlenlt 8091	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		xrlenlt 8091	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
6	5	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
8	3, 7	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   RR*cxr 8060   < clt 8061   <_ cle 8062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-apti 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-cnv 4671  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067

This theorem is referenced by:  xrletrid  9880  xleadd1a  9948  xsubge0  9956  pc2dvds  12499  pc11  12500  psmetsym  14565  isxmet2d  14584  xmetsym  14604  xblss2  14641  xmetxp  14743