ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrletri3 Unicode version

Theorem xrletri3 9836
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
xrletri3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )

Proof of Theorem xrletri3
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9829 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) ) )
2 ancom 266 . . 3  |-  ( ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B
)  <->  ( -.  A  <  B  /\  -.  B  <  A ) )
31, 2bitr4di 198 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  B  <  A  /\  -.  A  <  B ) ) )
4 xrlenlt 8053 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  <_  B  <->  -.  B  <  A ) )
5 xrlenlt 8053 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
65ancoms 268 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
74, 6anbi12d 473 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <_  A )  <-> 
( -.  B  < 
A  /\  -.  A  <  B ) ) )
83, 7bitr4d 191 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   RR*cxr 8022    < clt 8023    <_ cle 8024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-apti 7957
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4650  df-cnv 4652  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029
This theorem is referenced by:  xrletrid  9837  xleadd1a  9905  xsubge0  9913  pc2dvds  12365  pc11  12366  psmetsym  14306  isxmet2d  14325  xmetsym  14345  xblss2  14382  xmetxp  14484
  Copyright terms: Public domain W3C validator