Theorem xrletri3 9740

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xrletri3	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Proof of Theorem xrletri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 9733	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
2		ancom 264	. . 3 |- ( ( -. B < A /\ -. A < B ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
3	1, 2	bitr4di 197	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
4		xrlenlt 7963	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		xrlenlt 7963	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
6	5	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
7	4, 6	anbi12d 465	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
8	3, 7	bitr4d 190	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   RR*cxr 7932   < clt 7933   <_ cle 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-apti 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939

This theorem is referenced by:  xrletrid  9741  xleadd1a  9809  xsubge0  9817  pc2dvds  12261  pc11  12262  psmetsym  12979  isxmet2d  12998  xmetsym  13018  xblss2  13055  xmetxp  13157