Theorem xrletri3 10038

Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xrletri3	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Proof of Theorem xrletri3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 10031	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) ) )
2		ancom 266	. . 3 |- ( ( -. B < A /\ -. A < B ) <-> ( -. A < B /\ -. B < A ) )
3	1, 2	bitr4di 198	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
4		xrlenlt 8243	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5		xrlenlt 8243	. . . 4 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
6	5	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( B <_ A <-> -. A < B ) )
7	4, 6	anbi12d 473	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B <_ A ) <-> ( -. B < A /\ -. A < B ) ) )
8	3, 7	bitr4d 191	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088   RR*cxr 8212   < clt 8213   <_ cle 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-apti 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-cnv 4733  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219

This theorem is referenced by:  xrletrid  10039  xleadd1a  10107  xsubge0  10115  pc2dvds  12902  pc11  12903  psmetsym  15052  isxmet2d  15071  xmetsym  15091  xblss2  15128  xmetxp  15230