Theorem xrlelttr 9820

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttr	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Proof of Theorem xrlelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> A <_ B )
2		simpl1 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> A e. RR* )
3		simpl2 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> B e. RR* )
4		xrlenlt 8036	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> -. B < A )
7	6	pm2.21d 620	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( B < A -> A < C ) )
8		idd 21	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( A < C -> A < C ) )
9		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> B < C )
10		simpl3 1003	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> C e. RR* )
11		xrltso 9810	. . . . . 6 |- < Or RR*
12		sowlin 4332	. . . . . 6 |- ( ( < Or RR* /\ ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) ) -> ( B < C -> ( B < A \/ A < C ) ) )
13	11, 12	mpan 424	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B < C -> ( B < A \/ A < C ) ) )
14	3, 10, 2, 13	syl3anc 1248	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( B < C -> ( B < A \/ A < C ) ) )
15	9, 14	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( B < A \/ A < C ) )
16	7, 8, 15	mpjaod 719	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> A < C )
17	16	ex 115	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 979   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   Or wor 4307   RR*cxr 8005   < clt 8006   <_ cle 8007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012

This theorem is referenced by:  xrlelttrd  9824  xrre  9834  xrre2  9835  iooss1  9930  iccssioo  9956  iccssico  9959  iocssioo  9977  ioossioo  9979  ico0  10276  bldisj  14254  xblm  14270  blsscls2  14346  metcnpi3  14370