Theorem xrlelttr 9710

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttr	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Proof of Theorem xrlelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 521	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> A <_ B )
2		simpl1 985	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> A e. RR* )
3		simpl2 986	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> B e. RR* )
4		xrlenlt 7942	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6	1, 5	mpbid 146	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> -. B < A )
7	6	pm2.21d 609	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( B < A -> A < C ) )
8		idd 21	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( A < C -> A < C ) )
9		simprr 522	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> B < C )
10		simpl3 987	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> C e. RR* )
11		xrltso 9703	. . . . . 6 |- < Or RR*
12		sowlin 4280	. . . . . 6 |- ( ( < Or RR* /\ ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) ) -> ( B < C -> ( B < A \/ A < C ) ) )
13	11, 12	mpan 421	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B < C -> ( B < A \/ A < C ) ) )
14	3, 10, 2, 13	syl3anc 1220	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( B < C -> ( B < A \/ A < C ) ) )
15	9, 14	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( B < A \/ A < C ) )
16	7, 8, 15	mpjaod 708	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> A < C )
17	16	ex 114	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 963   e. wcel 2128   class class class wbr 3965   Or wor 4255   RR*cxr 7911   < clt 7912   <_ cle 7913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918

This theorem is referenced by:  xrlelttrd  9714  xrre  9724  xrre2  9725  iooss1  9820  iccssioo  9846  iccssico  9849  iocssioo  9867  ioossioo  9869  ico0  10161  bldisj  12812  xblm  12828  blsscls2  12904  metcnpi3  12928