Theorem xrlelttr 9928

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttr	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Proof of Theorem xrlelttr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> A <_ B )
2		simpl1 1003	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> A e. RR* )
3		simpl2 1004	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> B e. RR* )
4		xrlenlt 8137	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> -. B < A )
7	6	pm2.21d 620	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( B < A -> A < C ) )
8		idd 21	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( A < C -> A < C ) )
9		simprr 531	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> B < C )
10		simpl3 1005	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> C e. RR* )
11		xrltso 9918	. . . . . 6 |- < Or RR*
12		sowlin 4367	. . . . . 6 |- ( ( < Or RR* /\ ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) ) -> ( B < C -> ( B < A \/ A < C ) ) )
13	11, 12	mpan 424	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B < C -> ( B < A \/ A < C ) ) )
14	3, 10, 2, 13	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( B < C -> ( B < A \/ A < C ) ) )
15	9, 14	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> ( B < A \/ A < C ) )
16	7, 8, 15	mpjaod 720	. 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( A <_ B /\ B < C ) ) -> A < C )
17	16	ex 115	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( ( A <_ B /\ B < C ) -> A < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   /\ w3a 981   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   Or wor 4342   RR*cxr 8106   < clt 8107   <_ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113

This theorem is referenced by:  xrlelttrd  9932  xrre  9942  xrre2  9943  iooss1  10038  iccssioo  10064  iccssico  10067  iocssioo  10085  ioossioo  10087  ico0  10404  bldisj  14873  xblm  14889  blsscls2  14965  metcnpi3  14989