Theorem xrltnsym2 10031

Description: 'Less than' is antisymmetric and irreflexive for extended reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
xrltnsym2	|- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )

Proof of Theorem xrltnsym2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltnsym 10030	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A < B -> -. B < A ) )
2		imnan 696	. 2 |- ( ( A < B -> -. B < A ) <-> -. ( A < B /\ B < A ) )
3	1, 2	sylib 122	1 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> -. ( A < B /\ B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2201   class class class wbr 4087   RR*cxr 8215   < clt 8216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4206  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-lttrn 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-br 4088  df-opab 4150  df-xp 4730  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221

This theorem is referenced by:  iooidg  10146