Theorem iooidg 9909

Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iooidg	|- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Proof of Theorem iooidg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9908	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
2	1	anidms 397	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
3		xrltnsym2 9794	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* ) -> -. ( A < x /\ x < A ) )
4	3	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( A e. RR* -> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
5		rabeq0 3453	. . 3 |- ( { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) <-> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A e. RR* -> { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) )
7	2, 6	eqtrd 2210	1 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   (/)c0 3423   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   RR*cxr 7991   < clt 7992   (,)cioo 9888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-lttrn 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-ioo 9892

This theorem is referenced by:  blssioo  14048