ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iooidg Unicode version

Theorem iooidg 9975
Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
iooidg  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A (,) A )  =  (/) )

Proof of Theorem iooidg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 9974 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( A (,) A )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  A ) } )
21anidms 397 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A (,) A )  =  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  A ) } )
3 xrltnsym2 9860 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  -.  ( A  <  x  /\  x  <  A ) )
43ralrimiva 2567 . . 3  |-  ( A  e.  RR*  ->  A. x  e.  RR*  -.  ( A  <  x  /\  x  <  A ) )
5 rabeq0 3476 . . 3  |-  ( { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  A ) }  =  (/)  <->  A. x  e.  RR*  -.  ( A  <  x  /\  x  <  A ) )
64, 5sylibr 134 . 2  |-  ( A  e.  RR*  ->  { x  e.  RR*  |  ( A  <  x  /\  x  <  A ) }  =  (/) )
72, 6eqtrd 2226 1  |-  ( A  e.  RR*  ->  ( A (,) A )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   (/)c0 3446   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   RR*cxr 8053    < clt 8054   (,)cioo 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-ioo 9958
This theorem is referenced by:  blssioo  14713
  Copyright terms: Public domain W3C validator