Theorem iooidg 9984

Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iooidg	|- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Proof of Theorem iooidg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9983	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
2	1	anidms 397	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
3		xrltnsym2 9869	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* ) -> -. ( A < x /\ x < A ) )
4	3	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( A e. RR* -> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
5		rabeq0 3480	. . 3 |- ( { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) <-> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A e. RR* -> { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) )
7	2, 6	eqtrd 2229	1 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   (/)c0 3450   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   RR*cxr 8060   < clt 8061   (,)cioo 9963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-ioo 9967

This theorem is referenced by:  blssioo  14789