Theorem iooidg 9685

Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iooidg	|- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Proof of Theorem iooidg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9684	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
2	1	anidms 394	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
3		xrltnsym2 9573	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* ) -> -. ( A < x /\ x < A ) )
4	3	ralrimiva 2503	. . 3 |- ( A e. RR* -> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
5		rabeq0 3387	. . 3 |- ( { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) <-> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
6	4, 5	sylibr 133	. 2 |- ( A e. RR* -> { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) )
7	2, 6	eqtrd 2170	1 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   {crab 2418   (/)c0 3358   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RR*cxr 7792   < clt 7793   (,)cioo 9664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-lttrn 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-ioo 9668

This theorem is referenced by:  blssioo  12703