Theorem iooidg 9946

Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iooidg	|- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Proof of Theorem iooidg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9945	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
2	1	anidms 397	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
3		xrltnsym2 9831	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* ) -> -. ( A < x /\ x < A ) )
4	3	ralrimiva 2563	. . 3 |- ( A e. RR* -> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
5		rabeq0 3467	. . 3 |- ( { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) <-> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
6	4, 5	sylibr 134	. 2 |- ( A e. RR* -> { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) )
7	2, 6	eqtrd 2222	1 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   {crab 2472   (/)c0 3437   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900   RR*cxr 8027   < clt 8028   (,)cioo 9925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-lttrn 7960

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-pnf 8030  df-mnf 8031  df-xr 8032  df-ltxr 8033  df-ioo 9929

This theorem is referenced by:  blssioo  14531