Theorem iooidg 9866

Description: An open interval with identical lower and upper bounds is empty. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iooidg	|- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Proof of Theorem iooidg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 9865	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
2	1	anidms 395	. 2 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } )
3		xrltnsym2 9751	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ x e. RR* ) -> -. ( A < x /\ x < A ) )
4	3	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( A e. RR* -> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
5		rabeq0 3444	. . 3 |- ( { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) <-> A. x e. RR* -. ( A < x /\ x < A ) )
6	4, 5	sylibr 133	. 2 |- ( A e. RR* -> { x e. RR* | ( A < x /\ x < A ) } = (/) )
7	2, 6	eqtrd 2203	1 |- ( A e. RR* -> ( A (,) A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   (/)c0 3414   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RR*cxr 7953   < clt 7954   (,)cioo 9845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-ioo 9849

This theorem is referenced by:  blssioo  13339