Theorem bj-bdind 15422

Description: Boundedness of the formula "the setvar 𝑥 is an inductive class". (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-bdind	⊢ BOUNDED Ind 𝑥

Proof of Theorem bj-bdind

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bd0el 15360	. . 3 ⊢ BOUNDED ∅ ∈ 𝑥
2		bj-bdsucel 15374	. . . 4 ⊢ BOUNDED suc 𝑦 ∈ 𝑥
3	2	ax-bdal 15310	. . 3 ⊢ BOUNDED ∀𝑦 ∈ 𝑥 suc 𝑦 ∈ 𝑥
4	1, 3	ax-bdan 15307	. 2 ⊢ BOUNDED (∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 suc 𝑦 ∈ 𝑥)
5		df-bj-ind 15419	. 2 ⊢ (Ind 𝑥 ↔ (∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 suc 𝑦 ∈ 𝑥))
6	4, 5	bd0r 15317	1 ⊢ BOUNDED Ind 𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∅c0 3446  suc csuc 4396  BOUNDED wbd 15304  Ind wind 15418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-bd0 15305  ax-bdim 15306  ax-bdan 15307  ax-bdor 15308  ax-bdn 15309  ax-bdal 15310  ax-bdex 15311  ax-bdeq 15312  ax-bdel 15313  ax-bdsb 15314

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-sn 3624  df-suc 4402  df-bdc 15333  df-bj-ind 15419

This theorem is referenced by: (None)