Theorem bj-bdind 14822

Description: Boundedness of the formula "the setvar 𝑥 is an inductive class". (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-bdind	⊢ BOUNDED Ind 𝑥

Proof of Theorem bj-bdind

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bd0el 14760	. . 3 ⊢ BOUNDED ∅ ∈ 𝑥
2		bj-bdsucel 14774	. . . 4 ⊢ BOUNDED suc 𝑦 ∈ 𝑥
3	2	ax-bdal 14710	. . 3 ⊢ BOUNDED ∀𝑦 ∈ 𝑥 suc 𝑦 ∈ 𝑥
4	1, 3	ax-bdan 14707	. 2 ⊢ BOUNDED (∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 suc 𝑦 ∈ 𝑥)
5		df-bj-ind 14819	. 2 ⊢ (Ind 𝑥 ↔ (∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 suc 𝑦 ∈ 𝑥))
6	4, 5	bd0r 14717	1 ⊢ BOUNDED Ind 𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∅c0 3424  suc csuc 4367  BOUNDED wbd 14704  Ind wind 14818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-bd0 14705  ax-bdim 14706  ax-bdan 14707  ax-bdor 14708  ax-bdn 14709  ax-bdal 14710  ax-bdex 14711  ax-bdeq 14712  ax-bdel 14713  ax-bdsb 14714

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-sn 3600  df-suc 4373  df-bdc 14733  df-bj-ind 14819

This theorem is referenced by: (None)