Theorem bj-bdind 15140

Description: Boundedness of the formula "the setvar 𝑥 is an inductive class". (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-bdind	⊢ BOUNDED Ind 𝑥

Proof of Theorem bj-bdind

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-bd0el 15078	. . 3 ⊢ BOUNDED ∅ ∈ 𝑥
2		bj-bdsucel 15092	. . . 4 ⊢ BOUNDED suc 𝑦 ∈ 𝑥
3	2	ax-bdal 15028	. . 3 ⊢ BOUNDED ∀𝑦 ∈ 𝑥 suc 𝑦 ∈ 𝑥
4	1, 3	ax-bdan 15025	. 2 ⊢ BOUNDED (∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 suc 𝑦 ∈ 𝑥)
5		df-bj-ind 15137	. 2 ⊢ (Ind 𝑥 ↔ (∅ ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 suc 𝑦 ∈ 𝑥))
6	4, 5	bd0r 15035	1 ⊢ BOUNDED Ind 𝑥

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∅c0 3437  suc csuc 4383  BOUNDED wbd 15022  Ind wind 15136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-bd0 15023  ax-bdim 15024  ax-bdan 15025  ax-bdor 15026  ax-bdn 15027  ax-bdal 15028  ax-bdex 15029  ax-bdeq 15030  ax-bdel 15031  ax-bdsb 15032

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-sn 3613  df-suc 4389  df-bdc 15051  df-bj-ind 15137

This theorem is referenced by: (None)