Theorem breldm 4808

Description: Membership of first of a binary relation in a domain. (Contributed by NM, 30-Jul-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
opeldm.1	⊢ 𝐴 ∈ V
opeldm.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
breldm	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Proof of Theorem breldm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3983	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2		opeldm.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		opeldm.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	opeldm 4807	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)
5	1, 4	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ dom 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  ⟨cop 3579   class class class wbr 3982  dom cdm 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-dm 4614

This theorem is referenced by:  exse2  4978  funcnv3  5250  dff13  5736  reldmtpos  6221  rntpos  6225  dftpos4  6231  tpostpos  6232  iserd  6527  ntrivcvgap  11489