ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exse2 GIF version

Theorem exse2 4760
Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exse2 (𝑅𝑉𝑅 Se 𝐴)

Proof of Theorem exse2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2362 . . . . 5 {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥} = {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)}
2 vex 2615 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
3 vex 2615 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
42, 3breldm 4597 . . . . . . 7 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ dom 𝑅)
54adantl 271 . . . . . 6 ((𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 ∈ dom 𝑅)
65abssi 3080 . . . . 5 {𝑦 ∣ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥)} ⊆ dom 𝑅
71, 6eqsstri 3040 . . . 4 {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥} ⊆ dom 𝑅
8 dmexg 4654 . . . 4 (𝑅𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
9 ssexg 3943 . . . 4 (({𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥} ⊆ dom 𝑅 ∧ dom 𝑅 ∈ V) → {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥} ∈ V)
107, 8, 9sylancr 405 . . 3 (𝑅𝑉 → {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥} ∈ V)
1110ralrimivw 2441 . 2 (𝑅𝑉 → ∀𝑥𝐴 {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥} ∈ V)
12 df-se 4123 . 2 (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 {𝑦𝐴𝑦𝑅𝑥} ∈ V)
1311, 12sylibr 132 1 (𝑅𝑉𝑅 Se 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1434  {cab 2069  wral 2353  {crab 2357  Vcvv 2612  wss 2984   class class class wbr 3811   Se wse 4119  dom cdm 4400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-se 4123  df-cnv 4408  df-dm 4410  df-rn 4411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator