Theorem exse2 4921

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 Se 𝐴)

Proof of Theorem exse2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2426	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦𝑅𝑥} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)}
2		vex 2692	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
3		vex 2692	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	2, 3	breldm 4751	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 → 𝑦 ∈ dom 𝑅)
5	4	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 ∈ dom 𝑅)
6	5	abssi 3177	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ⊆ dom 𝑅
7	1, 6	eqsstri 3134	. . . 4 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦𝑅𝑥} ⊆ dom 𝑅
8		dmexg 4811	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → dom 𝑅 ∈ V)
9		ssexg 4075	. . . 4 ⊢ (({𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦𝑅𝑥} ⊆ dom 𝑅 ∧ dom 𝑅 ∈ V) → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦𝑅𝑥} ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancr 411	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦𝑅𝑥} ∈ V)
11	10	ralrimivw 2509	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦𝑅𝑥} ∈ V)
12		df-se 4263	. 2 ⊢ (𝑅 Se 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦𝑅𝑥} ∈ V)
13	11, 12	sylibr 133	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 Se 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1481  {cab 2126  ∀wral 2417  {crab 2421  Vcvv 2689   ⊆ wss 3076   class class class wbr 3937   Se wse 4259  dom cdm 4547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-se 4263  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by: (None)