Theorem reldmtpos 6308

Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos 𝐹 to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmtpos	⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem reldmtpos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4157	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	eldm 4860	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦∅𝐹𝑦)
3		vex 2763	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
4		brtpos0 6307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦)
6		0nelxp 4688	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
7		df-rel 4667	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
8		ssel 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
9	7, 8	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
10	6, 9	mtoi 665	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
11	1, 3	breldm 4867	. . . . . . 7 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
12	10, 11	nsyl3 627	. . . . . 6 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
13	5, 12	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ (∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
14	13	exlimiv 1609	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
15	2, 14	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
16	15	con2i 628	. 2 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
17		vex 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	eldm 4860	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 ↔ ∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦)
19		relcnv 5044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ◡dom 𝐹
20		df-rel 4667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Rel ◡dom 𝐹 ↔ ◡dom 𝐹 ⊆ (V × V))
21	19, 20	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡dom 𝐹 ⊆ (V × V)
22	21	sseli 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V))
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
24		elsni 3637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
25	24	breq1d 4040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅tpos 𝐹𝑦))
26	1, 3	breldm 4867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom 𝐹)
27	26	pm2.24d 623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
28	5, 27	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
29	25, 28	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V))))
30	29	com3l 81	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V))))
31	30	impcom 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V)))
32		brtpos2 6306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{𝑥}𝐹𝑦)))
33	3, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{𝑥}𝐹𝑦))
34	33	simplbi 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}))
35		elun 3301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
36	34, 35	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
38	23, 31, 37	mpjaod 719	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → 𝑥 ∈ (V × V))
39	38	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (V × V)))
40	39	exlimdv 1830	. . . . 5 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (V × V)))
41	18, 40	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
42	41	ssrdv 3186	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
43	42, 7	sylibr 134	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
44	16, 43	impbii 126	1 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∪ cun 3152   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447  {csn 3619  ∪ cuni 3836   class class class wbr 4030   × cxp 4658  ^◡ccnv 4659  dom cdm 4660  Rel wrel 4665  tpos ctpos 6299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-tpos 6300

This theorem is referenced by:  dmtpos  6311