Theorem reldmtpos 6104

Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos 𝐹 to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmtpos	⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem reldmtpos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4015	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	eldm 4696	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦∅𝐹𝑦)
3		vex 2660	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
4		brtpos0 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦))
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦)
6		0nelxp 4527	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
7		df-rel 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
8		ssel 3057	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
9	7, 8	sylbi 120	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
10	6, 9	mtoi 636	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
11	1, 3	breldm 4703	. . . . . . 7 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
12	10, 11	nsyl3 598	. . . . . 6 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
13	5, 12	sylbir 134	. . . . 5 ⊢ (∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
14	13	exlimiv 1560	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
15	2, 14	sylbi 120	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
16	15	con2i 599	. 2 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
17		vex 2660	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	eldm 4696	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 ↔ ∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦)
19		relcnv 4875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ◡dom 𝐹
20		df-rel 4506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Rel ◡dom 𝐹 ↔ ◡dom 𝐹 ⊆ (V × V))
21	19, 20	mpbi 144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡dom 𝐹 ⊆ (V × V)
22	21	sseli 3059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V))
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
24		elsni 3511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
25	24	breq1d 3905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅tpos 𝐹𝑦))
26	1, 3	breldm 4703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom 𝐹)
27	26	pm2.24d 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
28	5, 27	sylbi 120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
29	25, 28	syl6bi 162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V))))
30	29	com3l 81	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V))))
31	30	impcom 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V)))
32		brtpos2 6102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{𝑥}𝐹𝑦)))
33	3, 32	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{𝑥}𝐹𝑦))
34	33	simplbi 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}))
35		elun 3183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
36	34, 35	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
37	36	adantl 273	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
38	23, 31, 37	mpjaod 690	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → 𝑥 ∈ (V × V))
39	38	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (V × V)))
40	39	exlimdv 1773	. . . . 5 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (V × V)))
41	18, 40	syl5bi 151	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
42	41	ssrdv 3069	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
43	42, 7	sylibr 133	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
44	16, 43	impbii 125	1 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 680  ∃wex 1451   ∈ wcel 1463  Vcvv 2657   ∪ cun 3035   ⊆ wss 3037  ∅c0 3329  {csn 3493  ∪ cuni 3702   class class class wbr 3895   × cxp 4497  ^◡ccnv 4498  dom cdm 4499  Rel wrel 4504  tpos ctpos 6095

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-fv 5089  df-tpos 6096

This theorem is referenced by:  dmtpos  6107