Theorem reldmtpos 6279

Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos 𝐹 to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
reldmtpos	⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem reldmtpos

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4145	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	eldm 4842	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦∅𝐹𝑦)
3		vex 2755	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
4		brtpos0 6278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ V → (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦)
6		0nelxp 4672	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∅ ∈ (V × V)
7		df-rel 4651	. . . . . . . . 9 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
8		ssel 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
9	7, 8	sylbi 121	. . . . . . . 8 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
10	6, 9	mtoi 665	. . . . . . 7 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
11	1, 3	breldm 4849	. . . . . . 7 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
12	10, 11	nsyl3 627	. . . . . 6 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
13	5, 12	sylbir 135	. . . . 5 ⊢ (∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
14	13	exlimiv 1609	. . . 4 ⊢ (∃𝑦∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
15	2, 14	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∅ ∈ dom 𝐹 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
16	15	con2i 628	. 2 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
17		vex 2755	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
18	17	eldm 4842	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 ↔ ∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦)
19		relcnv 5024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Rel ◡dom 𝐹
20		df-rel 4651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Rel ◡dom 𝐹 ↔ ◡dom 𝐹 ⊆ (V × V))
21	19, 20	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡dom 𝐹 ⊆ (V × V)
22	21	sseli 3166	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V))
23	22	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
24		elsni 3625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
25	24	breq1d 4028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅tpos 𝐹𝑦))
26	1, 3	breldm 4849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom 𝐹)
27	26	pm2.24d 623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
28	5, 27	sylbi 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
29	25, 28	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V))))
30	29	com3l 81	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V))))
31	30	impcom 125	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V)))
32		brtpos2 6277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{𝑥}𝐹𝑦)))
33	3, 32	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ ∪ ◡{𝑥}𝐹𝑦))
34	33	simplbi 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}))
35		elun 3291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (◡dom 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
36	34, 35	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
37	36	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ ◡dom 𝐹 ∨ 𝑥 ∈ {∅}))
38	23, 31, 37	mpjaod 719	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑥tpos 𝐹𝑦) → 𝑥 ∈ (V × V))
39	38	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (V × V)))
40	39	exlimdv 1830	. . . . 5 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦 → 𝑥 ∈ (V × V)))
41	18, 40	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 → 𝑥 ∈ (V × V)))
42	41	ssrdv 3176	. . 3 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
43	42, 7	sylibr 134	. 2 ⊢ (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
44	16, 43	impbii 126	1 ⊢ (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ∪ cun 3142   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  {csn 3607  ∪ cuni 3824   class class class wbr 4018   × cxp 4642  ^◡ccnv 4643  dom cdm 4644  Rel wrel 4649  tpos ctpos 6270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-tpos 6271

This theorem is referenced by:  dmtpos  6282