ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reldmtpos GIF version

Theorem reldmtpos 6000
Description: Necessary and sufficient condition for dom tpos 𝐹 to be a relation. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reldmtpos (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)

Proof of Theorem reldmtpos
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 3958 . . . . 5 ∅ ∈ V
21eldm 4621 . . . 4 (∅ ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦𝐹𝑦)
3 vex 2622 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
4 brtpos0 5999 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ V → (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦))
53, 4ax-mp 7 . . . . . 6 (∅tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅𝐹𝑦)
6 0nelxp 4455 . . . . . . . 8 ¬ ∅ ∈ (V × V)
7 df-rel 4435 . . . . . . . . 9 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
8 ssel 3017 . . . . . . . . 9 (dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V) → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
97, 8sylbi 119 . . . . . . . 8 (Rel dom tpos 𝐹 → (∅ ∈ dom tpos 𝐹 → ∅ ∈ (V × V)))
106, 9mtoi 625 . . . . . . 7 (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
111, 3breldm 4628 . . . . . . 7 (∅tpos 𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom tpos 𝐹)
1210, 11nsyl3 591 . . . . . 6 (∅tpos 𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
135, 12sylbir 133 . . . . 5 (∅𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
1413exlimiv 1534 . . . 4 (∃𝑦𝐹𝑦 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
152, 14sylbi 119 . . 3 (∅ ∈ dom 𝐹 → ¬ Rel dom tpos 𝐹)
1615con2i 592 . 2 (Rel dom tpos 𝐹 → ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
17 vex 2622 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
1817eldm 4621 . . . . 5 (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹 ↔ ∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦)
19 relcnv 4797 . . . . . . . . . . 11 Rel dom 𝐹
20 df-rel 4435 . . . . . . . . . . 11 (Rel dom 𝐹dom 𝐹 ⊆ (V × V))
2119, 20mpbi 143 . . . . . . . . . 10 dom 𝐹 ⊆ (V × V)
2221sseli 3019 . . . . . . . . 9 (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V))
2322a1i 9 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V)))
24 elsni 3459 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
2524breq1d 3847 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ ∅tpos 𝐹𝑦))
261, 3breldm 4628 . . . . . . . . . . . . 13 (∅𝐹𝑦 → ∅ ∈ dom 𝐹)
2726pm2.24d 587 . . . . . . . . . . . 12 (∅𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V)))
285, 27sylbi 119 . . . . . . . . . . 11 (∅tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V)))
2925, 28syl6bi 161 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {∅} → (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥 ∈ (V × V))))
3029com3l 80 . . . . . . . . 9 (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V))))
3130impcom 123 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 ∈ (V × V)))
32 brtpos2 5998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ V → (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {𝑥}𝐹𝑦)))
333, 32ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 (𝑥tpos 𝐹𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ∧ {𝑥}𝐹𝑦))
3433simplbi 268 . . . . . . . . . 10 (𝑥tpos 𝐹𝑦𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}))
35 elun 3139 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∪ {∅}) ↔ (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ {∅}))
3634, 35sylib 120 . . . . . . . . 9 (𝑥tpos 𝐹𝑦 → (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ {∅}))
3736adantl 271 . . . . . . . 8 ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥tpos 𝐹𝑦) → (𝑥dom 𝐹𝑥 ∈ {∅}))
3823, 31, 37mpjaod 673 . . . . . . 7 ((¬ ∅ ∈ dom 𝐹𝑥tpos 𝐹𝑦) → 𝑥 ∈ (V × V))
3938ex 113 . . . . . 6 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥tpos 𝐹𝑦𝑥 ∈ (V × V)))
4039exlimdv 1747 . . . . 5 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (∃𝑦 𝑥tpos 𝐹𝑦𝑥 ∈ (V × V)))
4118, 40syl5bi 150 . . . 4 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ dom tpos 𝐹𝑥 ∈ (V × V)))
4241ssrdv 3029 . . 3 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → dom tpos 𝐹 ⊆ (V × V))
4342, 7sylibr 132 . 2 (¬ ∅ ∈ dom 𝐹 → Rel dom tpos 𝐹)
4416, 43impbii 124 1 (Rel dom tpos 𝐹 ↔ ¬ ∅ ∈ dom 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664  wex 1426  wcel 1438  Vcvv 2619  cun 2995  wss 2997  c0 3284  {csn 3441   cuni 3648   class class class wbr 3837   × cxp 4426  ccnv 4427  dom cdm 4428  Rel wrel 4433  tpos ctpos 5991
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-fv 5010  df-tpos 5992
This theorem is referenced by:  dmtpos  6003
  Copyright terms: Public domain W3C validator