ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgap GIF version

Theorem ntrivcvgap 11449
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgap.2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgap (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦   𝜑,𝑘,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvgap
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgap.2 . 2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2 uzm1 9470 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2252 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
54ad2antlr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
6 seqeq1 10351 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
76breq1d 3976 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8 seqex 10350 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
9 vex 2715 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
108, 9breldm 4791 . . . . . . . . . 10 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
117, 10syl6bi 162 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
1211adantld 276 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13 eluzel2 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1413, 3eleq2s 2252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑀 ∈ ℤ)
1514ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → 𝑀 ∈ ℤ)
16 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1716ad5ant15 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
183, 15, 17prodf 11439 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
19 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 − 1) ∈ 𝑍)
2018, 19ffvelrnd 5604 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
21 climcl 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦𝑦 ∈ ℂ)
2221adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
2320, 22mulcld 7899 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ ℂ)
24 uzssz 9459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
253, 24eqsstri 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 ⊆ ℤ
26 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛𝑍)
2725, 26sseldi 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
2827zcnd 9288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℂ)
29 1cnd 7895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 1 ∈ ℂ)
3028, 29npcand 8191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
3130seqeq1d 10354 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑛( · , 𝐹))
3231breq1d 3976 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → (seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
3332biimpar 295 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
343, 19, 17, 33clim2prod 11440 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦))
35 breldmg 4793 . . . . . . . . . . . 12 ((seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V ∧ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦)) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
368, 23, 34, 35mp3an2i 1324 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3736an32s 558 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3837expcom 115 . . . . . . . . 9 ((𝑛 − 1) ∈ 𝑍 → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
393eqcomi 2161 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = 𝑍
4038, 39eleq2s 2252 . . . . . . . 8 ((𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4112, 40jaoi 706 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
425, 41mpcom 36 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4342ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4443adantld 276 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4544exlimdv 1799 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4645rexlimdva 2574 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
471, 46mpd 13 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 698   = wceq 1335  wex 1472  wcel 2128  wrex 2436  Vcvv 2712   class class class wbr 3966  dom cdm 4587  cfv 5171  (class class class)co 5825  cc 7731  0cc0 7733  1c1 7734   + caddc 7736   · cmul 7738  cmin 8047   # cap 8457  cz 9168  cuz 9440  seqcseq 10348  cli 11179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-frec 6339  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-rp 9562  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator