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Theorem ntrivcvgap 11511
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgap.2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgap (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦   𝜑,𝑘,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvgap
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgap.2 . 2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2 uzm1 9517 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2265 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
54ad2antlr 486 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
6 seqeq1 10404 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
76breq1d 3999 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8 seqex 10403 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
9 vex 2733 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
108, 9breldm 4815 . . . . . . . . . 10 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
117, 10syl6bi 162 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
1211adantld 276 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13 eluzel2 9492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1413, 3eleq2s 2265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑀 ∈ ℤ)
1514ad3antlr 490 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → 𝑀 ∈ ℤ)
16 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1716ad5ant15 518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
183, 15, 17prodf 11501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
19 simplr 525 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 − 1) ∈ 𝑍)
2018, 19ffvelrnd 5632 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
21 climcl 11245 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦𝑦 ∈ ℂ)
2221adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
2320, 22mulcld 7940 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ ℂ)
24 uzssz 9506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
253, 24eqsstri 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 ⊆ ℤ
26 simplr 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛𝑍)
2725, 26sselid 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
2827zcnd 9335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℂ)
29 1cnd 7936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 1 ∈ ℂ)
3028, 29npcand 8234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
3130seqeq1d 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑛( · , 𝐹))
3231breq1d 3999 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → (seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
3332biimpar 295 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
343, 19, 17, 33clim2prod 11502 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦))
35 breldmg 4817 . . . . . . . . . . . 12 ((seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V ∧ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦)) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
368, 23, 34, 35mp3an2i 1337 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3736an32s 563 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3837expcom 115 . . . . . . . . 9 ((𝑛 − 1) ∈ 𝑍 → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
393eqcomi 2174 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = 𝑍
4038, 39eleq2s 2265 . . . . . . . 8 ((𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4112, 40jaoi 711 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
425, 41mpcom 36 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4342ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4443adantld 276 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4544exlimdv 1812 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4645rexlimdva 2587 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
471, 46mpd 13 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 703   = wceq 1348  wex 1485  wcel 2141  wrex 2449  Vcvv 2730   class class class wbr 3989  dom cdm 4611  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779  cmin 8090   # cap 8500  cz 9212  cuz 9487  seqcseq 10401  cli 11241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242
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