Theorem ntrivcvgap 12334

Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrivcvg.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ntrivcvgap.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
ntrivcvgap	⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦   𝜑,𝑘,𝑛,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvgap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrivcvgap.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2		uzm1 9963	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
3		ntrivcvg.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleq2s 2333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
5	4	ad2antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
6		seqeq1 10902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
7	6	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8		seqex 10901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
9		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	breldm 4985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
11	7, 10	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
12	11	adantld 278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13		eluzel2 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13, 3	eleq2s 2333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → 𝑀 ∈ ℤ)
15	14	ad3antlr 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → 𝑀 ∈ ℤ)
16		ntrivcvg.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
17	16	ad5ant15 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
18	3, 15, 17	prodf 12324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
19		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 − 1) ∈ 𝑍)
20	18, 19	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
21		climcl 12067	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
23	20, 22	mulcld 8347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ ℂ)
24		uzssz 9952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
25	3, 24	eqsstri 3280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
26		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ 𝑍)
27	25, 26	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 9774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℂ)
29		1cnd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 1 ∈ ℂ)
30	28, 29	npcand 8643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
31	30	seqeq1d 10905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑛( · , 𝐹))
32	31	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → (seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
33	32	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
34	3, 19, 17, 33	clim2prod 12325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦))
35		breldmg 4987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V ∧ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ ℂ ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦)) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
36	8, 23, 34, 35	mp3an2i 1383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
37	36	an32s 574	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
38	37	expcom 116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ 𝑍 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
39	3	eqcomi 2242	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = 𝑍
40	38, 39	eleq2s 2333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
41	12, 40	jaoi 728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
42	5, 41	mpcom 36	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
43	42	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
44	43	adantld 278	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
45	44	exlimdv 1872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
46	45	rexlimdva 2668	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑛 ∈ 𝑍 ∃𝑦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
47	1, 46	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   class class class wbr 4130  dom cdm 4774  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  0cc0 8180  1c1 8181   + caddc 8183   · cmul 8185   − cmin 8499   # cap 8912  ℤcz 9649  ℤ_≥cuz 9931  seqcseq 10899   ⇝ cli 12063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299  ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-rp 10066  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-cj 11623  df-re 11624  df-im 11625  df-rsqrt 11780  df-abs 11781  df-clim 12064

This theorem is used by: (None)