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Theorem ntrivcvgap 11569
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
ntrivcvgap.2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgap (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑀,𝑛,𝑦   π‘˜,𝑍,𝑦   πœ‘,π‘˜,𝑛,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvgap
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgap.2 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2 uzm1 9571 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
42, 3eleq2s 2282 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
54ad2antlr 489 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)))
6 seqeq1 10461 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 β†’ seq𝑛( Β· , 𝐹) = seq𝑀( Β· , 𝐹))
76breq1d 4025 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 β†’ (seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8 seqex 10460 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ V
9 vex 2752 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
108, 9breldm 4843 . . . . . . . . . 10 (seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦 β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
117, 10biimtrdi 163 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 β†’ (seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦 β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
1211adantld 278 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13 eluzel2 9546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1413, 3eleq2s 2282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1514ad3antlr 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
16 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1716ad5ant15 521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
183, 15, 17prodf 11559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
19 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍)
2018, 19ffvelcdmd 5665 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ (seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
21 climcl 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 (seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2221adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
2320, 22mulcld 7991 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 𝑦) ∈ β„‚)
24 uzssz 9560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (β„€β‰₯β€˜π‘€) βŠ† β„€
253, 24eqsstri 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 βŠ† β„€
26 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
2725, 26sselid 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
2827zcnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
29 1cnd 7986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) β†’ 1 ∈ β„‚)
3028, 29npcand 8285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 βˆ’ 1) + 1) = 𝑛)
3130seqeq1d 10464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) β†’ seq((𝑛 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹) = seq𝑛( Β· , 𝐹))
3231breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) β†’ (seq((𝑛 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦))
3332biimpar 297 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq((𝑛 βˆ’ 1) + 1)( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦)
343, 19, 17, 33clim2prod 11560 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 𝑦))
35 breldmg 4845 . . . . . . . . . . . 12 ((seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ V ∧ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 𝑦) ∈ β„‚ ∧ seq𝑀( Β· , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( Β· , 𝐹)β€˜(𝑛 βˆ’ 1)) Β· 𝑦)) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
368, 23, 34, 35mp3an2i 1352 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3736an32s 568 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3837expcom 116 . . . . . . . . 9 ((𝑛 βˆ’ 1) ∈ 𝑍 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
393eqcomi 2191 . . . . . . . . 9 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = 𝑍
4038, 39eleq2s 2282 . . . . . . . 8 ((𝑛 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4112, 40jaoi 717 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 βˆ’ 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
425, 41mpcom 36 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4342ex 115 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦 β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4443adantld 278 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ ((𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4544exlimdv 1829 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4645rexlimdva 2604 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ 𝑍 βˆƒπ‘¦(𝑦 # 0 ∧ seq𝑛( Β· , 𝐹) ⇝ 𝑦) β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
471, 46mpd 13 1 (πœ‘ β†’ seq𝑀( Β· , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1363  βˆƒwex 1502   ∈ wcel 2158  βˆƒwrex 2466  Vcvv 2749   class class class wbr 4015  dom cdm 4638  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„‚cc 7822  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   Β· cmul 7829   βˆ’ cmin 8141   # cap 8551  β„€cz 9266  β„€β‰₯cuz 9541  seqcseq 10458   ⇝ cli 11299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300
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