Theorem difexg 4257

Description: Existence of a difference. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
difexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem difexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3349	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 4254	. 2 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 424	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∖ cdif 3211   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  difexi  4258  frirrg  4476  2oconcl  6685  phplem4dom  7129  fidifsnen  7138  findcard  7158  findcard2  7159  findcard2s  7160  fisseneq  7208  difinfsn  7404  ismkvnex  7459  exmidfodomrlemim  7517  ballotfilem7  13223  ballotfilem8  13224