Theorem difexg 4277

Description: Existence of a difference. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
difexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem difexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 3355	. 2 ⊢ (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴
2		ssexg 4274	. 2 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
3	1, 2	mpan 428	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  difexi  4278  difexd  4279  frirrg  4497  2oconcl  6716  phplem4dom  7167  fidifsnen  7176  findcard  7196  findcard2  7197  findcard2s  7198  fisseneq  7246  difinfsn  7446  ismkvnex  7501  exmidfodomrlemim  7559  ballotfilem7  13337  ballotfilem8  13338