Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frirrg GIF version

Theorem frirrg 4272
 Description: A well-founded relation is irreflexive. This is the case where 𝐴 exists. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
frirrg ((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem frirrg
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))
2 simpl3 986 . . . 4 (((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵𝐴)
31, 2sseldd 3098 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
4 neldifsnd 3654 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
53, 4pm2.65da 650 . 2 ((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) → ¬ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))
6 simplr 519 . . . . . 6 (((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) → 𝑥𝐴)
7 simplr 519 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝑅𝐵)
87ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑅𝐵)
9 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐵)
108, 9breqtrrd 3956 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑅𝑥)
11 breq1 3932 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦𝑅𝑥𝐵𝑅𝑥))
12 eleq1 2202 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})))
1311, 12imbi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐵 → ((𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) ↔ (𝐵𝑅𝑥𝐵 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
14 simplr 519 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})))
15 simpll3 1022 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵𝐴)
1615ad2antrr 479 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝐴)
1713, 14, 16rspcdva 2794 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → (𝐵𝑅𝑥𝐵 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})))
1810, 17mpd 13 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
19 neldifsnd 3654 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) ∧ 𝑥 = 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
2018, 19pm2.65da 650 . . . . . . 7 (((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
21 velsn 3544 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝐵} ↔ 𝑥 = 𝐵)
2220, 21sylnibr 666 . . . . . 6 (((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) → ¬ 𝑥 ∈ {𝐵})
236, 22eldifd 3081 . . . . 5 (((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))
2423ex 114 . . . 4 ((((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})))
2524ralrimiva 2505 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) → ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})))
26 df-frind 4254 . . . . . . . 8 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑠 FrFor 𝑅𝐴𝑠)
27 df-frfor 4253 . . . . . . . . 9 ( FrFor 𝑅𝐴𝑠 ↔ (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠))
2827albii 1446 . . . . . . . 8 (∀𝑠 FrFor 𝑅𝐴𝑠 ↔ ∀𝑠(∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠))
2926, 28bitri 183 . . . . . . 7 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑠(∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠))
3029biimpi 119 . . . . . 6 (𝑅 Fr 𝐴 → ∀𝑠(∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠))
31303ad2ant1 1002 . . . . 5 ((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) → ∀𝑠(∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠))
32 difexg 4069 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ V)
33 eleq2 2203 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝐴 ∖ {𝐵}) → (𝑦𝑠𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})))
3433imbi2d 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) ↔ (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
3534ralbidv 2437 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐴 ∖ {𝐵}) → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
36 eleq2 2203 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = (𝐴 ∖ {𝐵}) → (𝑥𝑠𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})))
3735, 36imbi12d 233 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
3837ralbidv 2437 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐴 ∖ {𝐵}) → (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
39 sseq2 3121 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝐴 ∖ {𝐵}) → (𝐴𝑠𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})))
4038, 39imbi12d 233 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝐴 ∖ {𝐵}) → ((∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠) ↔ (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
4140spcgv 2773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ V → (∀𝑠(∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠) → (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
4232, 41syl 14 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (∀𝑠(∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠) → (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
43423ad2ant2 1003 . . . . 5 ((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) → (∀𝑠(∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦𝑠) → 𝑥𝑠) → 𝐴𝑠) → (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))))
4431, 43mpd 13 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})))
4544adantr 274 . . 3 (((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) → (∀𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥𝑦 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝐵})) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})))
4625, 45mpd 13 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝐵𝑅𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))
475, 46mtand 654 1 ((𝑅 Fr 𝐴𝐴𝑉𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962  ∀wal 1329   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  Vcvv 2686   ∖ cdif 3068   ⊆ wss 3071  {csn 3527   class class class wbr 3929   FrFor wfrfor 4249   Fr wfr 4250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-frfor 4253  df-frind 4254 This theorem is referenced by:  efrirr  4275  wepo  4281  wetriext  4491
 Copyright terms: Public domain W3C validator